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Satz von Bayes: Definition & Formel

Definition

Der Satz von Bayes (auch Bayes Theorem genannt) verbindet die bedingten Wahrscheinlichkeiten von zwei Ereignissen. Mit ihm kann man die bedingte Wahrscheinlichkeit des einen Ereignisses berechnen, wenn die andere bedingte Wahrscheinlichkeit bekannt ist.



Formel

Die Formel für den Satz von Bayes:




P(A∣B)=P(B∣A)⋅P(A)P(B)P(A|B)=\frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}P(A∣B)=P(B)P(B∣A)⋅P(A)​​


PB(A)=PA(B)⋅P(A)P(B)P_B(A)=\frac{P_A(B) \cdot P(A)}{P(B)}PB​(A)=P(B)PA​(B)⋅P(A)​​


​P(A)P(A)P(A)​

Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A   eintritt.

​P(B)P(B)P(B)​

Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B   eintritt.

​P(A∣B)P(A|B)P(A∣B)​

Die Wahrscheinlichkeit, dass  A eintritt, unter der 

Bedingung, dass B   eingetreten ist (auch PB(A)P_B(A)PB​(A)​ ).

​P(B∣A)P(B|A)P(B∣A)​

Die Wahrscheinlichkeit, dass B  eintritt, unter der 

Bedingung, dass A eingetreten ist (auch PA(B)P_A(B)PA​(B)​ ).


Beispiel – Anwendung Satz von Bayes

Die Medizinstudenten im ersten Jahr hatten zwei Prüfungen und folgende Statistiken sind bekannt:

  • Erfolgsquote der ersten Prüfung: 70%70 \%70%
  • Erfolgsquote der zweiten Prüfung: 40%40 \%40%
  • Wahrscheinlichkeit, dass ein Student die erste Prüfung bestanden hat, unter der Voraussetzung, dass er die zweite Prüfung bestanden hat: 80%80 \%80%

Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler die zweite Prüfung bestanden hat, unter der Voraussetzung, dass er bereits die Erste bestanden hat.


Ereignisse:

  • B: Erste Prüfung bestanden
  • A: Zweite Prüfung bestanden

Wahrscheinlichkeiten aus dem Text:

​P(A)=40%=0,4P(A)=40 \% =0{,}4P(A)=40%=0,4​​
​P(B)=70%=0,7P(B)=70 \% =0{,}7P(B)=70%=0,7​​
​P(B∣A)=80%=0,8P(B|A)=80 \%=0{,}8P(B∣A)=80%=0,8​​


Bedingte Wahrscheinlichkeit mithilfe vom Satz von Bayes:


P(A∣B)=P(B∣A)⋅P(A)P(B)=0,8⋅0,40,7≈0,46‾P(A|B)= \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}=\frac{0,8 \cdot 0,4}{0,7} \approx \underline{0{,}46}P(A∣B)=P(B)P(B∣A)⋅P(A)​=0,70,8⋅0,4​≈0,46​​​


Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler die zweite Prüfung bestanden hat unter der Voraussetzung, dass er bereits die Erste bestanden hat, ist ca. 46%46 \%46%.



 

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wofür braucht man den Satz von Bayes?

Man braucht ihn, um bedingte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.

Was ist die Formel vom Satz von Bayes?

Die Formel lautet: P(A|B)=(P(B|A)∙P(A))/P(B) .

Was ist der Satz von Bayes?

Der Satz von Bayes ist ein mathematischer Satz, welcher die bedingten Wahrscheinlichkeiten von zwei Ereignissen verbindet.

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