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Funktionenscharen: Definition & Beispiele

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Lehrperson: Nele

Zusammenfassung

Funktionenscharen: Definition & Beispiele

Definition

Eine Kurvenschar (Funktionenschar) ist eine Vielzahl von Funktionen. Sie wird mit ft(x)=yf_t\left(x\right)=y bezeichnet und hat neben der Variable xx einen Parameter in der Funktion, z.B. den Parameter tt. Alle Eigenschaften einer Funktion kann man abhängig vom Parameter behandeln. Mit jedem Wert von tt beschreibt man eine andere, aber ähnliche, Funktion.


Tipps
  • Rechne mit dem Parameter so, als wäre dieser eine Konstante. Berechne alle Schritte der Kurvendiskussion mit dem Parameter.
  • Setze gewünschte Werte für den Parameter erst ganz am Ende ein.


Beispiel

ft(x)=tex2+tf_t\left(x\right)=t\cdot e^{-x^2}+t​​

Graphen je nach Wert von tt​:

Mathematik; Extrem- und Wendepunkte; 11.-12. Klasse Gymnasium; Funktionenscharen: Definition & Beispiele



Ortskurve

Auf einer Ortskurve liegen alle Punkte von Kurvenscharen, die die gleichen Eigenschaften erfüllen. Zum Beispiel verbindet eine Ortskurve die Maxima von Kurvenscharen.

Im Folgenden wird erklärt, wie man die Funktionsgleichung einer Ortskurve, die die Extrema der Funktionenschar verbindet, bestimmt. Die Ortskurve, welche die Wendepunkte oder die Nullpunkte der Funktionenschar verbindet, wird ähnlich bestimmt.


VORGEHEN

1.

Bestimme die erste und die zweite Ableitung: ft(x)f_t'\left(x\right) und ft(x)f_t''\left(x\right)

(Man leitet nach xx ab; tt ist ein Parameter, der zunächst konstant gehalten wird.)

2.

Berechne die Nullstellen der ersten Ableitung, um die xx-Koordinate des Extremums zu erhalten. Bestimme durch Einsetzen in die zweite Ableitung, um welche Art des Extremums es sich handelt.

3.

Erhalte die yy-Koordinate des Extremums durch Einsetzen der xx-Koordinate in die Funktionenschar ft(x)f_t\left(x\right).

4.

Stelle die xx-Koordinate des Extremums nach der Variable tt um. 

Anmerkung: Man sagt zu dem Vorgehen auch, dass man die Umkehrfunktion bildet.

5.

Setze nun die erhaltene Gleichung für tt, welche von xx abhängt, in die Gleichung für die yy-Koordinate des Extremums ein. 

6.

Bestimme den Definitionsbereich der Ortskurve unter Verwendung des angegebenen Definitionsbereichs für die Funktionenschar und aus der Gleichung für die xx-Koordinate des Extremums. Die im 5. Schritt erhalte Funktion der Form y=f(x)y=f(x) zusammen mit dem bestimmten Definitionsbereich, ist die Ortskurve.


Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar

ft(x)=2x23tx+4x+2,       t0f_t\left(x\right)=2x^2-3tx+4x+2,\ \ \ \ \ \ \ t\geq0​​


Es soll die Ortskurve bestimmt werden, welche die Extrema der Funktionenschar verbindet.

Zunächst werden die erste und die zweite Ableitung (nach xx) der Funktionenschar gebildet:


ft(x)=4x3t+4                 ft(x)=4f_t^\prime\left(x\right)=4x-3t+4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f_t^{\prime\prime}(x)=4​​


Da die zweite Ableitung positiv ist für alle Werte, die xx annehmen kann, kann es sich beim Extremum, das bestimmt werden soll, nur um einen Tiefpunkt handeln. Dessen xx-Wert wird durch das Nullsetzen der ersten Ableitung bestimmt:

ft(x)=4x3t+4=0 x=34t1f_t^\prime\left(x\right)=4x-3t+4=0\ \rightarrow x=\frac{3}{4}t-1​​


Die -Koordinate des Tiefpunktes bestimmt sich als:


ft(x=34t1)=2(34t1)23t(34t1)+4(34t1)+2=98t2+3tf_t\left(x=\frac{3}{4}t-1\right)=2\left(\frac{3}{4}t-1\right)^2-3t\left(\frac{3}{4}t-1\right)+4\left(\frac{3}{4}t-1\right)+2=-\frac{9}{8}t^2+3t​​


Der Tiefpunkt ist also gegeben durch: 

T(34t1=x98t2+3t=y)T\left(\underbrace{\frac{3}{4}t-1}_{=x}| \underbrace{-\frac{9}{8}t^2+3t}_{=y}\right)​​


Stellt man nun die Gleichung für die xx-Koordinate des Tiefpunktes nach um so ergibt sich:

t=43(x+1)t=\frac{4}{3}(x+1)​​


Dies eingesetzt in die yy-Koordinate ergibt:

y=98t2+3t=98169(x+1)2+4(x+1)=2x2+2y=-\frac{9}{8}t^2+3t=-\frac{9}{8}\cdot\frac{16}{9}\left(x+1\right)^2+4\left(x+1\right)=-2x^2+2​​


Nun muss nur noch der Definitionsbereich bestimmt werden.

x=34t1 ;t0x1x=\frac{3}{4}t-1\ ;t\geq0\rightarrow x\geq-1​​


Die Ortskurve ist daher: 

y=2x2+2  ;x1\underline{y={-2x}^2+2\ \ ;x\geq-1}​​


Grafisch dargestellt sieht das ganze folgendermaßen aus (Schwarz ist die Ortskurve, in verschiedenen Grautönen sind ein paar Varianten der Funktionenschar für verschiedene Werte von tt dargestellt.):

Mathematik; Extrem- und Wendepunkte; 11.-12. Klasse Gymnasium; Funktionenscharen: Definition & Beispiele



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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie bestimmt man eine Ortskurve?

Was ist eine Ortskurve?

Was ist eine Schar einer Funktion?

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