Eine Kurvenschar (Funktionenschar) ist eine Vielzahl von Funktionen. Sie wird mit $f_t\left(x\right)=y$ bezeichnet und hat neben der Variable $x$ einen Parameter in der Funktion, z.B. den Parameter $t$ . Alle Eigenschaften einer Funktion kann man abhängig vom Parameter behandeln. Mit jedem Wert von $t$ beschreibt man eine andere, aber ähnliche, Funktion.

Tipps

Rechne mit dem Parameter so, als wäre dieser eine Konstante. Berechne alle Schritte der Kurvendiskussion mit dem Parameter.
Setze gewünschte Werte für den Parameter erst ganz am Ende ein.

Beispiel

$f_t\left(x\right)=t\cdot e^{-x^2}+t$

Graphen je nach Wert von $t$ :

Mathematik; Extrem- und Wendepunkte; 11.-12. Klasse Gymnasium; Funktionenscharen: Definition & Beispiele

Ortskurve

Auf einer Ortskurve liegen alle Punkte von Kurvenscharen, die die gleichen Eigenschaften erfüllen. Zum Beispiel verbindet eine Ortskurve die Maxima von Kurvenscharen.

Im Folgenden wird erklärt, wie man die Funktionsgleichung einer Ortskurve, die die Extrema der Funktionenschar verbindet, bestimmt. Die Ortskurve, welche die Wendepunkte oder die Nullpunkte der Funktionenschar verbindet, wird ähnlich bestimmt.

VORGEHEN

1.	Bestimme die erste und die zweite Ableitung: $f_t'\left(x\right)$ und $f_t''\left(x\right)$ (Man leitet nach $x$ ab; $t$ ist ein Parameter, der zunächst konstant gehalten wird.)
2.	Berechne die Nullstellen der ersten Ableitung, um die $x$ -Koordinate des Extremums zu erhalten. Bestimme durch Einsetzen in die zweite Ableitung, um welche Art des Extremums es sich handelt.
3.	Erhalte die $y$ -Koordinate des Extremums durch Einsetzen der $x$ -Koordinate in die Funktionenschar $f_t\left(x\right)$ .
4.	Stelle die $x$ -Koordinate des Extremums nach der Variable $t$ um. Anmerkung: Man sagt zu dem Vorgehen auch, dass man die Umkehrfunktion bildet.
5.	Setze nun die erhaltene Gleichung für $t$ , welche von $x$ abhängt, in die Gleichung für die $y$ -Koordinate des Extremums ein.
6.	Bestimme den Definitionsbereich der Ortskurve unter Verwendung des angegebenen Definitionsbereichs für die Funktionenschar und aus der Gleichung für die $x$ -Koordinate des Extremums. Die im 5. Schritt erhalte Funktion der Form $y=f(x)$ zusammen mit dem bestimmten Definitionsbereich, ist die Ortskurve.

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar

$f_t\left(x\right)=2x^2-3tx+4x+2,\ \ \ \ \ \ \ t\geq0$ 

Es soll die Ortskurve bestimmt werden, welche die Extrema der Funktionenschar verbindet.

Zunächst werden die erste und die zweite Ableitung (nach $x$ ) der Funktionenschar gebildet:

$f_t^\prime\left(x\right)=4x-3t+4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f_t^{\prime\prime}(x)=4$ 

Da die zweite Ableitung positiv ist für alle Werte, die $x$ annehmen kann, kann es sich beim Extremum, das bestimmt werden soll, nur um einen Tiefpunkt handeln. Dessen $x$ -Wert wird durch das Nullsetzen der ersten Ableitung bestimmt:

$f_t^\prime\left(x\right)=4x-3t+4=0\ \rightarrow x=\frac{3}{4}t-1$ 

Die -Koordinate des Tiefpunktes bestimmt sich als:

$f_t\left(x=\frac{3}{4}t-1\right)=2\left(\frac{3}{4}t-1\right)^2-3t\left(\frac{3}{4}t-1\right)+4\left(\frac{3}{4}t-1\right)+2=-\frac{9}{8}t^2+3t$ 

Der Tiefpunkt ist also gegeben durch:

$T\left(\underbrace{\frac{3}{4}t-1}_{=x}| \underbrace{-\frac{9}{8}t^2+3t}_{=y}\right)$ 

Stellt man nun die Gleichung für die $x$ -Koordinate des Tiefpunktes nach um so ergibt sich:

$t=\frac{4}{3}(x+1)$ 

Dies eingesetzt in die $y$ -Koordinate ergibt:

$y=-\frac{9}{8}t^2+3t=-\frac{9}{8}\cdot\frac{16}{9}\left(x+1\right)^2+4\left(x+1\right)=-2x^2+2$ 

Nun muss nur noch der Definitionsbereich bestimmt werden.

$x=\frac{3}{4}t-1\ ;t\geq0\rightarrow x\geq-1$ 

Die Ortskurve ist daher:

$\underline{y={-2x}^2+2\ \ ;x\geq-1}$ 

Grafisch dargestellt sieht das ganze folgendermaßen aus (Schwarz ist die Ortskurve, in verschiedenen Grautönen sind ein paar Varianten der Funktionenschar für verschiedene Werte von $t$ dargestellt.):

Leicht

1 Aufgaben

Mittel

1 Aufgaben

Schwierig

3 Aufgaben

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie bestimmt man eine Ortskurve?

1. Bestimme die erste und die zweite Ableitung: f_t'(x) und f_t''(x) (Man leitet nach x ab, t ist ein Parameter, der zunächst konstant gehalten wird.) 2. Berechne die Nullstellen der ersten Ableitung, um die x-Koordinate des Extremas zu erhalten. Bestimme durch Einsetzen in die zweite Ableitung, um welche Art des Extremas es sich handelt. 3. Erhalte die y-Koordinate des Extremas durch Einsetzen der x-Koordinate in die Funktionenschar f_t (x). 4. Stelle die x-Koordinate des Extremas nach der Variable t um. 5. Setze nun die erhaltene Gleichung für t, welche von x abhängt, in die Gleichung für die y-Koordinate des Extremas ein. 6. Bestimme den Definitionsbereich der Ortskurve unter Verwendung des angegebenen Definitionsbereichs für die Funktionenschar und aus der Gleichung für die x-Koordinate des Extremas. Die im 5. Schritt erhalte Funktion der Form y=f(x) zusammen mit dem bestimmten Definitionsbereich, ist die Ortskurve.

Was ist eine Ortskurve?

Auf einer Ortskurve liegen alle Punkte von Kurvenscharen, die die gleichen Eigenschaften erfüllen. Zum Beispiel verbindet eine Ortskurve die Maxima von Kurvenscharen. Im Folgenden wird erklärt, wie man die Funktionsgleichung einer Ortskurve, die die Extrema der Funktionenschar verbindet, bestimmt. Die Ortskurve, welche die Wendepunkte oder die Nullpunkte der Funktionenschar verbindet, wird ähnlich bestimmt.

Was ist eine Schar einer Funktion?

Eine Kurvenschar (Funktionenschar) ist eine Vielzahl von Funktionen. Sie wird mit f_t (x)=y bezeichnet und hat neben der Variablen x einen Parameter in der Funktion, z.B. den Parameter t. Alle Eigenschaften einer Funktion kann man anhängig vom Parameter behandeln. Mit jedem Wert von t beschreibt man eine andere, aber ähnliche, Funktion.

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