Wendepunkte bzw. Wendestellen sind Punkte, an denen sich die Krümmung des Graphen von einer Links- zu einer Rechtskrümmung oder umgekehrt verändert. Diex-Koordinate des Wendepunktes nennt man Wendestelle.
Tipp: Würde man den Graphen mit dem Fahrrad (von oben gesehen) von negativenx-Werten hin zu positivenx-Werten abfahren, so müsste man den Lenker im ersten Wendepunkt nach rechts einschlagen und im zweiten nach links.
Wendepunkte bestimmen
Mit dem folgenden Vorgehen bestimmt man die Wendepunkte:
VORGEHEN
1.
Bestimme die zweite und die dritte Ableitung:f′′(x)undf′′′(x)
2.
„Notwendige Bedingung“:
Berechne die NullstellenxWder zweiten Ableitung, also diex-Koordinaten der potenziellen Wendepunkte:
f′′(x)=0
3.
„Hinreichende Bedingung“:
Setze die erhaltenenx-Werte einzeln in die dritte Ableitung ein und prüfe:
f′′′(xW)>0
Rechts-links-Wendestelle
f′′′(xW)<0
Links-rechts-Wendestelle
f′′′(xW)=0
Keine Wendestelle
4.
y-Werte berechnen:
WendestellenxWinf(x)einsetzen, um die zugehörigeny-Werte zu erhalten.
Beispiel
Bestimme die Wendestelle der Funktion:f(x)=x3−3x2−9x+27
Ableitungen:
Erste Ableitung:f′(x)=3x2−6x−9
Zweite Ableitung: f′′(x)=6x−6
Dritte Ableitung:f′′′(x)=6
Notwendige Bedingung:f′′(x)=0
6x−6=0
Auflösen:
xW=1
Hinreichende Bedingung:f′′′(x)=0
xW=1 prüfen:f′′′(1)=6Rechts-links-Wendestelle
Zugehörige y-Werte:
f(1)=16
Wendepunkt:W(1∣16)
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Lerne mit Grundlagen
Lerne in kleinen Schritten mit Theorieeinheiten und wende das Gelernte mit Übungssets an!
Dauer:
Teil 1
Ableitung Exponential- und Logarithmusfunktion
Teil 2
Ableitung Exponentialfunktion & Ableitungsregeln
Teil 3
Ableitung trigonometrischer Funktionen
Teil 4
Ableitung Potenzfunktion und Ableitungsregeln
Teil 5
Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel
Abkürzung
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Optional
Teil 6
Wendepunkte bestimmen und unterscheiden
Finaler Test
Test aller vorherigen Teile, um einen Belohnungsplaneten zu erhalten.
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Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Wie bestimmt man Wendepunkte?
1. Bestimme die zweite und die dritte Ableitung.
2. Berechne die Nullstellen x_W der zweiten Ableitung, also die x-Koordinaten der potentiellen Wendepunkte.
3. Setze die erhaltenen x-Werte einzeln in die dritte Ableitung ein und prüfe:
f'''(x_W ) > 0 Rechts-links-Wendestelle
f'''(x_W ) < 0 Links-rechts-Wendestelle
f'''(x_W ) = 0 Keine Wendestelle
4. y-Werte berechnen.
Wie nennt man die x-Koordinate des Wendepunkts?
Die x-Koordinate des Wendepunktes nennt man Wendestelle.
Was sind Wendepunkte?
Wendepunkte bzw. Wendestellen sind Punkte, an denen sich die Krümmung des Graphen von einer Links- zu einer Rechtskrümmung oder umgekehrt verändert.