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Wendepunkte bestimmen und unterscheiden

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Erklärvideo

Lehrperson: Nadine

Zusammenfassung

Wendepunkte bestimmen und unterscheiden

Definition

Wendepunkte bzw. Wendestellen sind Punkte, an denen sich die Krümmung des Graphen von einer Links- zu einer Rechtskrümmung oder umgekehrt verändert. Die xxx​-Koordinate des Wendepunktes nennt man Wendestelle.


Tipp: Würde man den Graphen mit dem Fahrrad (von oben gesehen) von negativen xxx​-Werten hin zu positiven xxx​-Werten abfahren, so müsste man den Lenker im ersten Wendepunkt nach rechts einschlagen und im zweiten nach links.


Mathematik; Extremstellen und Wendestellen; 10. Klasse Gymnasium; Wendepunkte bestimmen und unterscheiden



Wendepunkte bestimmen

Mit dem folgenden Vorgehen bestimmt man die Wendepunkte:


VORGEHEN

1.

Bestimme die zweite und die dritte Ableitung: f′′(x)f''\left(x\right)f′′(x)​ und f′′′(x)f'''\left(x\right)f′′′(x)​

2.

„Notwendige Bedingung“:

Berechne die Nullstellen xWx_WxW​​ der zweiten Ableitung, also die xxx​-Koordinaten der potenziellen Wendepunkte:

f′′(x)=0f^{\prime\prime}\left(x\right)=0f′′(x)=0​​


3.

„Hinreichende Bedingung“:

Setze die erhaltenen xxx​-Werte einzeln in die dritte Ableitung ein und prüfe:

​f′′′(xW)>0f'''\left(x_W\right)>0f′′′(xW​)>0​​

Rechts-links-Wendestelle

​f′′′(xW)<0f'''\left(x_W\right)<0f′′′(xW​)<0​​

Links-rechts-Wendestelle

​f′′′(xW)=0f'''\left(x_W\right)=0f′′′(xW​)=0​​

Keine Wendestelle

4.

yyy​-Werte berechnen:

Wendestellen xWx_WxW​​ in f(x)f(x)f(x)​ einsetzen, um die zugehörigen yyy​-Werte zu erhalten.


Beispiel

Bestimme die Wendestelle der Funktion: f(x)=x3−3x2−9x+27f\left(x\right)=x^3-3x^2-9x+27f(x)=x3−3x2−9x+27​


Ableitungen:

Erste Ableitung: f′(x)=3x2−6x−9f^\prime\left(x\right)=3x^2-6x-9f′(x)=3x2−6x−9​

Zweite Ableitung:  f′′(x)=6x−6\ f^{\prime\prime}\left(x\right)=6x-6 f′′(x)=6x−6​

Dritte Ableitung: f′′′(x)=6f^{\prime\prime\prime}\left(x\right)=6f′′′(x)=6​


Notwendige Bedingung: f′′(x)=0f''\left(x\right)=0f′′(x)=0​

6x−6=06x-6=06x−6=0​​

Auflösen:

xW=1x_W=1xW​=1​​

Hinreichende Bedingung: f′′′(x)≠0f'''\left(x\right)\neq0f′′′(x)=0​

xW=1x_W=1xW​=1​ prüfen: f′′′(1)=6f'''\left(1\right)=6f′′′(1)=6​  Rechts-links-Wendestelle

Zugehörige y-Werte:

f(1)=16f\left(1\right)=16f(1)=16​​

Wendepunkt: W(1|16)‾\underline{W\left(1\middle|16\right)}W(1∣16)​​



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Ableitung Exponential- und Logarithmusfunktion

Teil 1

Ableitung Exponential- und Logarithmusfunktion

Ableitung Exponentialfunktion & Ableitungsregeln

Teil 2

Ableitung Exponentialfunktion & Ableitungsregeln

Ableitung trigonometrischer Funktionen

Teil 3

Ableitung trigonometrischer Funktionen

Ableitung Potenzfunktion und Ableitungsregeln

Teil 4

Ableitung Potenzfunktion und Ableitungsregeln

Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel

Teil 5

Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel

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Wendepunkte bestimmen und unterscheiden

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Wendepunkte bestimmen und unterscheiden

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie bestimmt man Wendepunkte?

1. Bestimme die zweite und die dritte Ableitung. 2. Berechne die Nullstellen x_W der zweiten Ableitung, also die x-Koordinaten der potentiellen Wendepunkte. 3. Setze die erhaltenen x-Werte einzeln in die dritte Ableitung ein und prüfe: f'''(x_W ) > 0 Rechts-links-Wendestelle f'''(x_W ) < 0 Links-rechts-Wendestelle f'''(x_W ) = 0 Keine Wendestelle 4. y-Werte berechnen.

Wie nennt man die x-Koordinate des Wendepunkts?

Die x-Koordinate des Wendepunktes nennt man Wendestelle.

Was sind Wendepunkte?

Wendepunkte bzw. Wendestellen sind Punkte, an denen sich die Krümmung des Graphen von einer Links- zu einer Rechtskrümmung oder umgekehrt verändert.

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