Wendepunkte bestimmen und unterscheiden

Definition

Wendepunkte bzw. Wendestellen sind Punkte, an denen sich die Krümmung des Graphen von einer Links- zu einer Rechtskrümmung oder umgekehrt verändert. Die $$x$$​-Koordinate des Wendepunktes nennt man Wendestelle.

Tipp: Würde man den Graphen mit dem Fahrrad (von oben gesehen) von negativen $$x$$​-Werten hin zu positiven $$x$$​-Werten abfahren, so müsste man den Lenker im ersten Wendepunkt nach rechts einschlagen und im zweiten nach links.

Wendepunkte bestimmen

Mit dem folgenden Vorgehen bestimmt man die Wendepunkte:

VORGEHEN

Beispiel

Bestimme die Wendestelle der Funktion: $$f\left(x\right)=x^3-3x^2-9x+27$$​

Ableitungen:

Erste Ableitung: $$f^\prime\left(x\right)=3x^2-6x-9$$​

Zweite Ableitung: $$\ f^{\prime\prime}\left(x\right)=6x-6$$​

Dritte Ableitung: $$f^{\prime\prime\prime}\left(x\right)=6$$​

Notwendige Bedingung: $$f''\left(x\right)=0$$​

$$6x-6=0$$​​

Auflösen:

$$x_W=1$$​​

Hinreichende Bedingung: $$f'''\left(x\right)\neq0$$​

$$x_W=1$$​ prüfen: $$f'''\left(1\right)=6$$​  Rechts-links-Wendestelle

Zugehörige y-Werte:

$$f\left(1\right)=16$$​​

Wendepunkt: $$\underline{W\left(1\middle|16\right)}$$​