Wendepunkte bzw. Wendestellen sind Punkte, an denen sich die Krümmung des Graphen von einer Links- zu einer Rechtskrümmung oder umgekehrt verändert. Die $x$ -Koordinate des Wendepunktes nennt man Wendestelle.

Tipp: Würde man den Graphen mit dem Fahrrad (von oben gesehen) von negativen $x$ -Werten hin zu positiven $x$ -Werten abfahren, so müsste man den Lenker im ersten Wendepunkt nach rechts einschlagen und im zweiten nach links.

Wendepunkte bestimmen

Mit dem folgenden Vorgehen bestimmt man die Wendepunkte:

VORGEHEN

Bestimme die zweite und die dritte Ableitung: $f''\left(x\right)$ und $f'''\left(x\right)$

„Notwendige Bedingung“:

Berechne die Nullstellen $x_W$ der zweiten Ableitung, also die $x$ -Koordinaten der potenziellen Wendepunkte:

$f^{\prime\prime}\left(x\right)=0$

„Hinreichende Bedingung“:

Setze die erhaltenen $x$ -Werte einzeln in die dritte Ableitung ein und prüfe:

$f'''\left(x_W\right)>0$	Rechts-links-Wendestelle
$f'''\left(x_W\right)<0$	Links-rechts-Wendestelle
$f'''\left(x_W\right)=0$	Keine Wendestelle

$y$ -Werte berechnen:

Wendestellen $x_W$ in $f(x)$ einsetzen, um die zugehörigen $y$ -Werte zu erhalten.

Beispiel

Bestimme die Wendestelle der Funktion: $f\left(x\right)=x^3-3x^2-9x+27$

Ableitungen:

Erste Ableitung: $f^\prime\left(x\right)=3x^2-6x-9$

Zweite Ableitung: $\ f^{\prime\prime}\left(x\right)=6x-6$

Dritte Ableitung: $f^{\prime\prime\prime}\left(x\right)=6$

Notwendige Bedingung: $f''\left(x\right)=0$

$6x-6=0$

Auflösen:

$x_W=1$

Hinreichende Bedingung: $f'''\left(x\right)\neq0$

$x_W=1$ prüfen: $f'''\left(1\right)=6$  Rechts-links-Wendestelle

Zugehörige y-Werte:

$f\left(1\right)=16$

Wendepunkt: $\underline{W\left(1\middle|16\right)}$

Leicht

2 Aufgaben

Mittel

3 Aufgaben

Schwierig

3 Aufgaben

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie bestimmt man Wendepunkte?

1. Bestimme die zweite und die dritte Ableitung. 2. Berechne die Nullstellen x_W der zweiten Ableitung, also die x-Koordinaten der potentiellen Wendepunkte. 3. Setze die erhaltenen x-Werte einzeln in die dritte Ableitung ein und prüfe: f'''(x_W ) > 0 Rechts-links-Wendestelle f'''(x_W ) < 0 Links-rechts-Wendestelle f'''(x_W ) = 0 Keine Wendestelle 4. y-Werte berechnen.

Wie nennt man die x-Koordinate des Wendepunkts?

Die x-Koordinate des Wendepunktes nennt man Wendestelle.

Was sind Wendepunkte?

Wendepunkte bzw. Wendestellen sind Punkte, an denen sich die Krümmung des Graphen von einer Links- zu einer Rechtskrümmung oder umgekehrt verändert.

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