Normalenvektoren sind parallel (paarweise kollinear).
Stützpunkte liegen auf allen Ebenen.
PARALLEL
Ebenen sind parallel, sie schneiden sich nicht.
Normalenvektoren sind parallel (paarweise kollinear).
Stützpunkte liegen nicht auf mehreren Ebenen.
EINE ODER MEHRERE SCHNITTGERADE(N)
Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden s.
Normalenvektoren liegen in einer Ebene (komplanar).
EIN SCHNITTPUNKT
Ebenen schneiden sich in einem Schnittpunkt S.
Normalenvektoren liegen nicht in einer Ebene (gemeinsam nicht kollinear).
Lage von zwei Ebenen bestimmen
Es ist am einfachsten, wenn beide Ebenen in der Koordinatenform vorliegen. Falls dies nicht der Fall ist, soll man beide entsprechend umwandeln.
Vorgehen
1.
Normalenvektoren auf Parallelität überprüfen.
nE=s⋅nF
Falls parallel: Ebenen identisch oder parallel:
2a.
Setze einen Aufrisspunkt der einen Ebene in die Ebenengleichung der anderen Ebene ein.
Ist die Gleichung erfüllt, so sind die Ebenenparallel undidentisch.
Ist die Gleichung nicht erfüllt, so sind die Ebenen nurparallel und nicht identisch.
Falls nicht parallel: Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden
2b.
Schnittgerade s bestimmen:
Richtungsvektor:u=nE×nF
Stützpunkt P: Ein Punkt, welcher auf E und F liegt: Durch systematisches probieren herausfinden
Tipp: Setze eine Koordinate von P gleich null in dernicht null ist. Identifiziere nun die anderen beiden Koordinaten von P.
Beispiel
Gegeben sind: E:2x−y+z=1 und F:x+y−2z=−1
Normalenvektoren:
nE=⎝⎛2−11⎠⎞ und nF=⎝⎛11−2⎠⎞
Parallelität prüfen:
⎝⎛2−11⎠⎞=s⋅⎝⎛11−2⎠⎞ nicht parallel
Schnittgerade bilden:
Richtungsvektor:
u=⎝⎛2−11⎠⎞×⎝⎛11−2⎠⎞=⎝⎛153⎠⎞
Stützpunkt (durchprobieren):
Wählex=0:
In die Ebenengleichung einsetzen:
E:−y+z=1F:y−2z=−1
Mögliche Koordinaten welche beide Gleichungen erfüllen:y=−1,z=0
A(0∣−1∣0)
Schnittgerade:
x=⎝⎛0−10⎠⎞+t⋅⎝⎛153⎠⎞,t∈R
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Lerne mit Grundlagen
Lerne in kleinen Schritten mit Theorieeinheiten und wende das Gelernte mit Übungssets an!
Dauer:
Teil 1
Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung
Abkürzung
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Optional
Teil 2
Lagebeziehungen zwischen Ebenen
Finaler Test
Test aller vorherigen Teile, um einen Belohnungsplaneten zu erhalten.
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Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Wie können drei Ebenen zueinander liegen?
Es gibt vier Möglichkeiten. Entweder sind alle drei Ebenen identisch, sie sind alle parallel, sie haben eine oder mehrere Schnittgeraden oder alle drei Ebenen schneiden sich in genau einem Punkt.
Wie finde ich heraus ob zwei Ebenen parallel sind?
Zwei Ebenen sind genau dann parallel wenn der Normalvektoren der einen Ebene ein Vielfaches des Normalvektors der anderen Ebene ist.
Wie können zwei Ebenen zueinander liegen?
Es gibt drei Möglichkeiten. Die zwei Ebenen sind identisch, die zwei Ebenen sind parallel oder die zwei Ebenen haben eine einzige Schnittgerade.