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Erklärvideo

Lehrperson: Martin

Zusammenfassung

Lagebeziehungen zwischen Ebenen

Lage von Ebenen

Gegenseitige Lage von zwei Ebenen

IDENTISCH

Ebenen liegen aufeinander:

  • Normalenvektoren sind parallel (kollinear).
  • Stützpunkte liegen in beiden Ebenen.
Mathematik; Ebenen; 11.-12. Klasse Gymnasium; Lagebeziehungen zwischen Ebenen

PARALLEL

Ebenen sind parallel. Sie schneiden sich nicht.

  • Normalenvektoren sind parallel (kollinear).
  • Stützpunkte liegen nicht in beiden Ebenen.
Mathematik; Ebenen; 11.-12. Klasse Gymnasium; Lagebeziehungen zwischen Ebenen

SCHNEIDEND

Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden s.

  • Normalenvektoren sind nicht parallel.
Mathematik; Ebenen; 11.-12. Klasse Gymnasium; Lagebeziehungen zwischen Ebenen

​

Winkel zwischen zwei Ebenen

ZWEI EBENEN

Ebenen:

E:  nE→⋅x→=dEF:  nF→⋅x→=dFE:\ \ \overrightarrow{n_E}\cdot \overrightarrow x=d_E\\F:\ \ \overrightarrow{n_F}\cdot\overrightarrow x=d_FE:  nE​​⋅x=dE​F:  nF​​⋅x=dF​​​
​cos(α)=∣nE→⋅nF→∣∣nE→∣⋅∣nF→∣cos(\alpha)=\frac{|\overrightarrow{n_E}\cdot\overrightarrow{n_F}|}{|\overrightarrow{n_E}|\cdot|\overrightarrow{n_F}|}cos(α)=∣nE​​∣⋅∣nF​​∣∣nE​​⋅nF​​∣​​​


Gegenseitige Lage von drei Ebenen

IDENTISCH

Ebenen liegen aufeinander:

  • Normalenvektoren sind parallel (paarweise kollinear).
  • Stützpunkte liegen auf allen Ebenen.
Mathematik; Ebenen; 11.-12. Klasse Gymnasium; Lagebeziehungen zwischen Ebenen

PARALLEL

Ebenen sind parallel, sie schneiden sich nicht.

  • Normalenvektoren sind parallel (paarweise kollinear).
  • Stützpunkte liegen nicht auf mehreren Ebenen.
Mathematik; Ebenen; 11.-12. Klasse Gymnasium; Lagebeziehungen zwischen Ebenen

EINE ODER MEHRERE SCHNITTGERADE(N)

Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden s.

  • Normalenvektoren liegen in einer Ebene (komplanar).
Mathematik; Ebenen; 11.-12. Klasse Gymnasium; Lagebeziehungen zwischen Ebenen

EIN SCHNITTPUNKT

Ebenen schneiden sich in einem Schnittpunkt S.

  • Normalenvektoren liegen nicht in einer Ebene (gemeinsam nicht kollinear).
Mathematik; Ebenen; 11.-12. Klasse Gymnasium; Lagebeziehungen zwischen Ebenen


​

Lage von zwei Ebenen bestimmen

Es ist am einfachsten, wenn beide Ebenen in der Koordinatenform vorliegen. Falls dies nicht der Fall ist, soll man beide entsprechend umwandeln.


Vorgehen

1.

Normalenvektoren auf Parallelität überprüfen.

nE→=s⋅nF→\overrightarrow{n_E}=s\cdot\overrightarrow{n_F}nE​​=s⋅nF​​​​

Falls parallel: Ebenen identisch oder parallel:

2a.

Setze einen Aufrisspunkt der einen Ebene in die Ebenengleichung der anderen Ebene ein.

Ist die Gleichung erfüllt, so sind die Ebenen parallel und identisch. 

Ist die Gleichung nicht erfüllt, so sind die Ebenen nur parallel und nicht identisch.

Falls nicht parallel: Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden

2b.

Schnittgerade s bestimmen:

  • Richtungsvektor: u→=nE→×nF→\overrightarrow u=\overrightarrow {n_E} \times \overrightarrow{n_F}u=nE​​×nF​​​
  • Stützpunkt P: Ein Punkt, welcher auf E und F liegt: Durch systematisches probieren herausfinden


Tipp: Setze eine Koordinate von P gleich null in der  nicht null ist. Identifiziere nun die anderen beiden Koordinaten von P. 


Beispiel

Gegeben sind: E:   2x−y+z=1E:\ \ \ 2x-y+z=1E:   2x−y+z=1​ und F:   x+y−2z=−1F:\ \ \ x+y-2z=-1F:   x+y−2z=−1​


Normalenvektoren:

nE→=(2−11)\overrightarrow{n_E}=\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}nE​​=⎝⎛​2−11​⎠⎞​​ und nF→=(11−2)\overrightarrow{n_F}=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}nF​​=⎝⎛​11−2​⎠⎞​​

Parallelität prüfen:

(2−11)≠s⋅(11−2)\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\neq s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}⎝⎛​2−11​⎠⎞​=s⋅⎝⎛​11−2​⎠⎞​​   nicht parallel

Schnittgerade bilden:

Richtungsvektor:

u→=(2−11)×(11−2)=(153)\overrightarrow u = \begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\\5\\3\end{pmatrix}u=⎝⎛​2−11​⎠⎞​×⎝⎛​11−2​⎠⎞​=⎝⎛​153​⎠⎞​​​

Stützpunkt (durchprobieren):

Wähle x=0x=0x=0​:

In die Ebenengleichung einsetzen:

E:   −y+z=1F:   y−2z=−1E:\ \ \ -y+z=1\\F:\ \ \ y-2z=-1E:   −y+z=1F:   y−2z=−1​​


Mögliche Koordinaten welche beide Gleichungen erfüllen: y=−1y=-1y=−1​, z=0z=0z=0​


A(0∣−1∣0)A(0|-1|0)A(0∣−1∣0)​​

Schnittgerade:

x→=(0−10)+t⋅(153)‾,    t∈R\underline{\overrightarrow x = \begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}1\\5\\3\end{pmatrix}},\ \ \ \ t\in\mathbb{R}x=⎝⎛​0−10​⎠⎞​+t⋅⎝⎛​153​⎠⎞​​,    t∈R​​



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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie können drei Ebenen zueinander liegen?

Es gibt vier Möglichkeiten. Entweder sind alle drei Ebenen identisch, sie sind alle parallel, sie haben eine oder mehrere Schnittgeraden oder alle drei Ebenen schneiden sich in genau einem Punkt.

Wie finde ich heraus ob zwei Ebenen parallel sind?

Zwei Ebenen sind genau dann parallel wenn der Normalvektoren der einen Ebene ein Vielfaches des Normalvektors der anderen Ebene ist.

Wie können zwei Ebenen zueinander liegen?

Es gibt drei Möglichkeiten. Die zwei Ebenen sind identisch, die zwei Ebenen sind parallel oder die zwei Ebenen haben eine einzige Schnittgerade.

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