Lagebeziehungen zwischen Ebenen Lage von Ebenen Gegenseitige Lage von zwei Ebenen IDENTISCH Ebenen liegen aufeinander:
Normalenvektoren sind parallel (kollinear).
Stützpunkte liegen in beiden Ebenen. PARALLEL Ebenen sind parallel. Sie schneiden sich nicht.
Normalenvektoren sind parallel (kollinear).
Stützpunkte liegen nicht in beiden Ebenen. SCHNEIDEND Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden s.
Normalenvektoren sind nicht parallel.
Winkel zwischen zwei Ebenen ZWEI EBENEN Ebenen:
E : n E → ⋅ x → = d E F : n F → ⋅ x → = d F E:\ \ \overrightarrow{n_E}\cdot \overrightarrow x=d_E\\F:\ \ \overrightarrow{n_F}\cdot\overrightarrow x=d_F E : n E ⋅ x = d E F : n F ⋅ x = d F
c o s ( α ) = ∣ n E → ⋅ n F → ∣ ∣ n E → ∣ ⋅ ∣ n F → ∣ cos(\alpha)=\frac{|\overrightarrow{n_E}\cdot\overrightarrow{n_F}|}{|\overrightarrow{n_E}|\cdot|\overrightarrow{n_F}|} cos ( α ) = ∣ n E ∣ ⋅ ∣ n F ∣ ∣ n E ⋅ n F ∣
Gegenseitige Lage von drei Ebenen IDENTISCH Ebenen liegen aufeinander:
Normalenvektoren sind parallel (paarweise kollinear).
Stützpunkte liegen auf allen Ebenen. PARALLEL Ebenen sind parallel, sie schneiden sich nicht.
Normalenvektoren sind parallel (paarweise kollinear).
Stützpunkte liegen nicht auf mehreren Ebenen. EINE ODER MEHRERE SCHNITTGERADE(N) Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden s.
Normalenvektoren liegen in einer Ebene (komplanar). EIN SCHNITTPUNKT Ebenen schneiden sich in einem Schnittpunkt S.
Normalenvektoren liegen nicht in einer Ebene (gemeinsam nicht kollinear).
Lage von zwei Ebenen bestimmen Es ist am einfachsten, wenn beide Ebenen in der Koordinatenform vorliegen. Falls dies nicht der Fall ist, soll man beide entsprechend umwandeln.
Vorgehen 1.
Normalenvektoren auf Parallelität überprüfen.
n E → = s ⋅ n F → \overrightarrow{n_E}=s\cdot\overrightarrow{n_F} n E = s ⋅ n F
Falls parallel: Ebenen identisch oder parallel:
2a.
Setze einen Aufrisspunkt der einen Ebene in die Ebenengleichung der anderen Ebene ein.
Ist die Gleichung erfüllt, so sind die Ebenen parallel und identisch .
Ist die Gleichung nicht erfüllt, so sind die Ebenen nur parallel und nicht identisch .
Falls nicht parallel: Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden
2b.
Schnittgerade s bestimmen:
Richtungsvektor: u → = n E → × n F → \overrightarrow u=\overrightarrow {n_E} \times \overrightarrow{n_F} u = n E × n F
Stützpunkt P: Ein Punkt, welcher auf E und F liegt: Durch systematisches probieren herausfinden
Tipp : Setze eine Koordinate von P gleich null in der nicht null ist. Identifiziere nun die anderen beiden Koordinaten von P.
Beispiel Gegeben sind: E : 2 x − y + z = 1 E:\ \ \ 2x-y+z=1 E : 2 x − y + z = 1 und F : x + y − 2 z = − 1 F:\ \ \ x+y-2z=-1 F : x + y − 2 z = − 1
Normalenvektoren:
n E → = ( 2 − 1 1 ) \overrightarrow{n_E}=\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix} n E = ⎝ ⎛ 2 − 1 1 ⎠ ⎞ und n F → = ( 1 1 − 2 ) \overrightarrow{n_F}=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix} n F = ⎝ ⎛ 1 1 − 2 ⎠ ⎞
Parallelität prüfen:
( 2 − 1 1 ) ≠ s ⋅ ( 1 1 − 2 ) \begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\neq s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix} ⎝ ⎛ 2 − 1 1 ⎠ ⎞ = s ⋅ ⎝ ⎛ 1 1 − 2 ⎠ ⎞ nicht parallel
Schnittgerade bilden:
Richtungsvektor:
u → = ( 2 − 1 1 ) × ( 1 1 − 2 ) = ( 1 5 3 ) \overrightarrow u = \begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\\5\\3\end{pmatrix} u = ⎝ ⎛ 2 − 1 1 ⎠ ⎞ × ⎝ ⎛ 1 1 − 2 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ 1 5 3 ⎠ ⎞
Stützpunkt (durchprobieren):
Wähle x = 0 x=0 x = 0 :
In die Ebenengleichung einsetzen:
E : − y + z = 1 F : y − 2 z = − 1 E:\ \ \ -y+z=1\\F:\ \ \ y-2z=-1 E : − y + z = 1 F : y − 2 z = − 1
Mögliche Koordinaten welche beide Gleichungen erfüllen: y = − 1 y=-1 y = − 1 , z = 0 z=0 z = 0
A ( 0 ∣ − 1 ∣ 0 ) A(0|-1|0) A ( 0∣ − 1∣0 )
Schnittgerade:
x → = ( 0 − 1 0 ) + t ⋅ ( 1 5 3 ) ‾ , t ∈ R \underline{\overrightarrow x = \begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}1\\5\\3\end{pmatrix}},\ \ \ \ t\in\mathbb{R} x = ⎝ ⎛ 0 − 1 0 ⎠ ⎞ + t ⋅ ⎝ ⎛ 1 5 3 ⎠ ⎞ , t ∈ R