Lagebeziehungen zwischen Ebenen

Lage von Ebenen

Ebenen liegen aufeinander:

Ebenen sind parallel. Sie schneiden sich nicht.

Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden s.

Ebenen:

$E:\ \ \overrightarrow{n_E}\cdot \overrightarrow x=d_E\\F:\ \ \overrightarrow{n_F}\cdot\overrightarrow x=d_F$

cos(\alpha)=\frac{|\overrightarrow{n_E}\cdot\overrightarrow{n_F}|}{|\overrightarrow{n_E}|\cdot|\overrightarrow{n_F}|}

IDENTISCH	Ebenen liegen aufeinander: Normalenvektoren sind parallel (paarweise kollinear). Stützpunkte liegen auf allen Ebenen.
PARALLEL	Ebenen sind parallel, sie schneiden sich nicht. Normalenvektoren sind parallel (paarweise kollinear). Stützpunkte liegen nicht auf mehreren Ebenen.
EINE ODER MEHRERE SCHNITTGERADE(N)	Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden s. Normalenvektoren liegen in einer Ebene (komplanar).
EIN SCHNITTPUNKT	Ebenen schneiden sich in einem Schnittpunkt S. Normalenvektoren liegen nicht in einer Ebene (gemeinsam nicht kollinear).

Es ist am einfachsten, wenn beide Ebenen in der Koordinatenform vorliegen. Falls dies nicht der Fall ist, soll man beide entsprechend umwandeln.

1.	Normalenvektoren auf Parallelität überprüfen. $\overrightarrow{n_E}=s\cdot\overrightarrow{n_F}$
Falls parallel: Ebenen identisch oder parallel:
2a.	Setze einen Aufrisspunkt der einen Ebene in die Ebenengleichung der anderen Ebene ein. Ist die Gleichung erfüllt, so sind die Ebenen parallel und identisch. Ist die Gleichung nicht erfüllt, so sind die Ebenen nur parallel und nicht identisch.
Falls nicht parallel: Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden
2b.	Schnittgerade s bestimmen: Richtungsvektor: $\overrightarrow u=\overrightarrow {n_E} \times \overrightarrow{n_F}$ Stützpunkt P: Ein Punkt, welcher auf E und F liegt: Durch systematisches probieren herausfinden Tipp: Setze eine Koordinate von P gleich null in der nicht null ist. Identifiziere nun die anderen beiden Koordinaten von P.

Gegeben sind: $E:\ \ \ 2x-y+z=1$ und $F:\ \ \ x+y-2z=-1$

Normalenvektoren:

$\overrightarrow{n_E}=\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{n_F}=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$

Parallelität prüfen:

$\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\neq s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$  nicht parallel

Schnittgerade bilden:

Richtungsvektor:

$\overrightarrow u = \begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\\5\\3\end{pmatrix}$

Stützpunkt (durchprobieren):

Wähle $x=0$ :

In die Ebenengleichung einsetzen:

$E:\ \ \ -y+z=1\\F:\ \ \ y-2z=-1$

Mögliche Koordinaten welche beide Gleichungen erfüllen: $y=-1$ , $z=0$

$A(0|-1|0)$

Schnittgerade:

$\underline{\overrightarrow x = \begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}1\\5\\3\end{pmatrix}},\ \ \ \ t\in\mathbb{R}$