Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

Definition

Eine Potenzfunktion mit negativen, ganzzahligen Exponenten hat die Form:      

$$f(x)=ax^{-n}=\frac{a}{x^n}$$​​

Es gilt:

• $$a \in \R$$: reeller Koeffizient, $$a \ne 0$$
  
• $$n \in \N$$
  
• $$f(0)$$ ist nicht definiert.​​​
  

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Ordnung einer Potenzfunktion

Die Ordnung gibt der Exponent der Potenzfunktion an.

Beispiel:

$$f(x)=\frac{1}{2x^4}=\frac{1}{2}x^{-4}$$​

Diese Funktion hat die Ordnung -4.

Basisfunktionen

Potenzfunktionen der Form $$x^{-1}, \ x^{-2}, \ x^{-3} , \ ...$$​  heißen Basisfunktionen mit negativen Exponenten. Sie enthalten einen Term ohne Koeffizienten.

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Asymptote

Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich eine ins Unendliche verlaufende Funktion nähert, ohne sie zu erreichen. Die Basisfunktionen mit negativen Exponenten haben eine senkrechte Asymptote bei $$x=0$$​  und eine waagerechte Asymptote bei $$y=0$$​ .

Beispiel - Die Asymptoten (schwarz) der Funktion $$f(x)=x^{-2}$$​

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Definitionsbereich $$\mathbb{D}$$​

In die Basisfunktionen mit negativen Exponenten können alle reellen Zahlen außer 0 eingesetzt werden:

​$$\mathbb{D}=\R \backslash \{ 0 \}$$

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Wertebereich  $$\mathbb{W}$$​

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Darstellung

Exponent: gerade $$x^{-2}, \ x^{-4}, \ x^{-6}, \ ...$$​​	Exponent: ungerade $$x^{-1}, \ x^{-3}, \ x^{-5}, \ ...$$​​
​	​
achsensymmetrisch zur y-Achse: $$f(-x)=f(x)$$​ ​	punktsymmetrisch zum Ursprung: ​$$f(-x)=-f(x)$$​​
Beispiel: $$f(x)=x^{-2}$$ ​ ​$$x$$​ ​$$-3$$​ ​$$-2$$​​ ​$$-1$$​ ​$$1$$​ ​$$2$$​ ​$$3$$​ ​$$y$$​ ​$$1/9$$​ ​$$1/4$$​ ​$$1$$​ ​$$1$$​ ​$$1/4$$​ ​$$1/9$$​	Beispiel:  $$f(x)=x^{-3}$$ ​ ​$$x$$​​ ​$$-3$$​ ​$$-2$$​ ​$$-1$$​ ​$$1$$​ ​$$2$$​ ​$$3$$​ ​$$y$$​ ​$$-1 /27$$​ ​$$-1/8$$​ ​$$-1$$​ ​$$1$$​ ​$$1/8$$​ ​$$1/27$$​