Tangential- und Polarebene: Lage von Kugel und Ebene

„$$d$$​“ ist der Abstand der Ebene zum Mittelpunkt der Kugel.

Fälle

BERÜHRUNGSPUNKT	SCHNITTFLÄCHE	KEIN SCHNITT
​$$d=r$$​​ Ebene tangiert die Kugel in einem Punkt. Eine solche Ebene nennt man Tangentialebene.	​$$d<r$$​​ Ebene schneidet die Kugel.	​$$d>r$$​​ Ebene schneidet die Kugel nicht.

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Lage von Kugel und Ebene bestimmen

Mit dem Abstand

VORGEHEN

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Tangentialebene

Tangentialebene einer Kugel bestimmen

Die Kugel K und ein Punkt T auf der Oberfläche der Kugel ist gegeben.

VORGEHEN

Ebene E aufstellen: $$E:\ \ \overrightarrow n\cdot(xyzzy)=\overrightarrow n\cdot \overrightarrow {0T}$$​       $$\overrightarrow n$$​  ist der Vektor von M nach T:  $$\overrightarrow n=\overrightarrow {MT}(|\overrightarrow n|=r)$$​       $$\overrightarrow {0T}$$​   ist der Stützvektor der Ebene.

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Schnittkreis

Schnittkreis einer Kugel und Ebene bestimmen

Die Kugel K und eine Ebene E sind gegeben. Die Ebene schneidet die Kugel.

VORGEHEN

1.	Erstelle die Hilfsgerade g: Richtungsvektor:  der Schnittebene Stützpunkt: Mittelpunkt M der Kugel
2.	Berechne den Schnittpunkt S von g und E.  S ist der Mittelpunkt des Schnittkreises.
3.	Berechne den Radius: $$r'=\sqrt{r^2-|\overrightarrow{MS}|^2}$$​

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Berührungspunkt

Berührpunkt einer Kugel und Ebene bestimmen

Die Kugel K und eine Ebene E sind gegeben. Die Ebene berührt die Kugel.

VORGEHEN

1.	Erstelle die Hilfsgerade g: Richtungsvektor: $$\overrightarrow n$$​ der Schnittebene Stützpunkt: Mittelpunkt M der Kugel
2.	Berechne den Schnittpunkt T von g und E.

Beispiel – Es sei die Kugel mit Mittelpunk $$M(1|1|1)$$​ und Radius $$r=5$$​ gegeben. Weiter sei die Ebene $$E:3x+4z=32$$​ gegeben. Dann erhält man die Hilfsgerade: 

$$g:\ \left(1\ 1\ 1\ \right)+t\cdot\left(3\ 0\ 4\ \right)$$​​

Den Schnittpunkt erhält durch einsetzen der einzelnen Komponenten der Ge:radengleichung in die Ebenengleichung:

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Polarebene

Definition

Eine Polarebene eines Punktes $$P$$​ bezüglich einer Kugel $$K$$​ ist die Ebene die jeden Berührungspunkt von Tangenten durch $$P$$​ an die Kugel $$K$$​ enthält. Alle diese Berührungspunkte bilden einen Kreis, welcher gerade der Schnittkreis der Polarebene mit dem Kreis $$K$$​ ist. 

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Die Polarebene bestimmen 

Es sei eine Kugel $$K$$​ mit Mittelpunkt $$M$$​ und Radius $$r$$​, sowie ein Punkt $$P$$​ gegeben. 

VORGEHEN

Die Polarebene $$E$$​ kann durch die folgende Gleichung beschrieben werden:

$$E:\ \ (\overrightarrow x\overrightarrow {0M})\cdot(\overrightarrow {0P}-\overrightarrow {0M})=r^2$$​​

Beispiel – Es sei die Kugel mit Mittelpunk $$M(1|1|1)$$​ und Radius $$r=5$$​, sowie der Punkt $$P(7|1|9)$$​ gegeben. 

Die Polarebene ist dann gegeben durch die Gleichung

$$\left(x-1\ y-1\ z-1\ \right)\cdot\left(6\ 0\ 8\ \right)=25\ \\\underline{6x+8z=39}\$$

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