Mengen und Vierfeldertafel: Wahrscheinlichkeiten darstellen

Mengen

Bei Wahrscheinlichkeiten kann man Ergebnisse von Zufallsexperimenten als eigene oder zusammengesetzte Mengen interpretieren. Mit der Wahrscheinlichkeit von Mengen sucht man die Wahrscheinlichkeit der Ergebnisse in diesen Mengen.

Schreibweisen

Schreibweise und Operationen von Wahrscheinlichkeiten «$$P$$​»

Spezialfälle

Komplement (Gegenteile) der Mengen $$A∪B$$​ und $$A∩B$$:

Vierfeldertafel

Die Vierfeldertafel hilft bei der Berechnung von kombinierten Wahrscheinlichkeiten von zwei Ereignissen. In einer Vierfeldertafel werden die Wahrscheinlichkeiten von zwei Ereignissen A und B zusammen mit den Gegenereignissen und deren Schnittmengen etwas übersichtlicher dargestellt.

Darstellung

In einer Vierfeldertafel kann man Häufigkeiten oder Wahrscheinlichkeiten darstellen.

Für beide gilt Folgendes:

• Innerhalb einer Zeile wird das erste Ereignis variiert -> A tritt ein / A tritt nicht ein
• Innerhalb einer Spalte wird das zweite Ereignis variiert -> B tritt ein / B tritt nicht ein

Darstellung mit Häufigkeiten

• Letzte Zeile: Häufigkeit des Eintretens und Nicht-Eintretens des ersten Ereignisses ($$Anzahl\, A/Anzahl\, \bar{A}$$​)
• Letzte Spalte: Häufigkeit des Eintretens und Nicht-Eintretens des zweiten Ereignisses ($$Anzahl\, B/Anzahl\, \bar{B}$$​)
• Mittige Zellen: Häufigkeiten der Kombinationen von $$A$$​ und $$B$$​​

Vierfeldertafel mit Häufigkeiten

Darstellung mit Wahrscheinlichkeiten

• Letzte Zeile: Wahrscheinlichkeit des Eintretens/Nicht-Eintretens des ersten Ereignisses: $$P(A\, tritt\, ein)/ P(A \,tritt \,nicht\, ein)$$​​
• Letzte Spalte: Wahrscheinlichkeit des Eintretens/Nicht-Eintretens des zweiten Ereignisses: $$P(B \,tritt\, ein)/ P(B\, tritt\, nicht \,ein)$$​​
• Mittige Zellen: Kombinierte Wahrscheinlichkeiten von $$A$$​ und $$B$$​​

Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten

Beispiel

In der Eisdiele Polarstern wird nur Schokoladeneis und Vanilleeis verkauft. Entweder kann man eine Kugel in der Waffel oder eine Kugel im Becher bestellen.

Folgende Tabelle zeigt, wie viele von $$100$$ Kunden und Kundinnen was bestellt haben.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass jemand Schokolade oder einen Becher nimmt.

Häufigkeiten:

Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Bechers:

​$$P(Becher)=\frac{65}{100}=0,65$$​​

Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Schokolade:

​$$P(Schokolade)=\frac{50}{100}=0,5$$​​

Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Schokoladeneis im Becher:

​$$P(Schokolade∩Becher)=\frac{35}{100}=0,35$$​​

Wahrscheinlichkeiten:

Wahrscheinlichkeit von Schokolade oder Becher mit dem Additionssatz:

$$P(Schokolade∪Becher)=P(Schokolade)+P(Becher)-P(Schokolade∩Becher)=0,5+0,65-0,35=0,80$$​​

Zusatz: Da das Eis nur im Becher oder der Waffel verkauft wird ist die Waffel das Komplement des Bechers und die Wahrscheinlichkeit für eine Waffel ergibt sich als:

$$P(Waffel)=1-P(Becher)=1-0,65=\underline{0,35}$$

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