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Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

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Herleitung der Integralrechnung

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Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

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Polynomfunktion bestimmen

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Erklärvideo

Lehrperson: Emma

Zusammenfassung

Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Mithilfe von Integralen kann man die Fläche zwischen einem Graphen und der xxx​-Achse in einem Intervall berechnen.

  • Liegt der Graph über der xxx​-Achse, ist der Wert des Integrals positiv.
  • Liegt der Graph unter der xxx​-Achse, ist der Wert des Integrals negativ.
  • Um die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse zu bestimmen, nimmt man daher den Betrag des Integrals.
Mathematik; Integrieren; 11.-12. Klasse Gymnasium; Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Hinweis: Das Integral berechnet aufgrund der positiven bzw. negativen Vorzeichen die Differenz der Flächeninhalte ober- und unterhalb der x-Achse. Schneidet der Graph die x-Achse, bestimmt man die zwischen der x-Achse und dem Graphen insgesamt eingeschlossene Fläche daher aus den Beträgen der einzelnen Integrale in den unterschiedlichen Intervallen. Die Intervalle sind durch die Nullstellen begrenzt. Durch die Beträge werden die Werte positiv und es kann nicht passieren, dass sich negative und positive Integrale aus den einzelnen Intervallen bei der Flächenberechnung aufheben.


VORGEHEN BEI DER FLÄCHENBERECHNUNG

1.

Berechne die Nullstellen.

2.

Bestimme die Integralgrenzen und stelle die Integrale auf:

Liegen Nullstellen innerhalb des Intervalls, muss man mehrere Integrale aufstellen.

Für jedes Intervall zwischen zwei Nullstellen wird ein eigenes Integral erstellt.

3.

Setze einen Betrag um die einzelnen Integrale. 

4.

Berechne die einzelnen Integrale und addiere die Beträge der Ergebnisse der Integrale.


Beispiel

Skizze

Mathematik; Integrieren; 11.-12. Klasse Gymnasium; Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Fläche A zwischen 0 und c:


A=∣∫0af(x) dx∣⏟A1+∣∫abf(x) dx∣⏟A2+∣∫bcf(x) dx∣⏟A3A=\underbrace{\left|\int_{0}^{a}{f\left(x\right)\ dx}\right|}_{A_1}\underbrace{+\left|\int_{a}^{b}{f\left(x\right)\ dx}\right|}_{A_2}\underbrace{+\left|\int_{b}^{c}{f\left(x\right)\ dx}\right|}_{A_3}A=A1​​∫0a​f(x) dx​​​A2​+​∫ab​f(x) dx​​​A3​+​∫bc​f(x) dx​​​​​



​

Flächeninhalt zwischen zwei Graphen

Oftmals muss man den Flächeninhalt A zwischen zwei Graphen in einem Intervall berechnen.

Um den Flächeninhalt zu berechnen, nimmt man erneut ein Integral zu Hilfe:

A=∣∫ab(f(x)−g(x))dx∣A=\left|\int_{a}^{b}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx\right|A=​∫ab​(f(x)−g(x))dx​​​

  • Liegt f(x)f(x)f(x) über g(x)g(x)g(x), so ist der Wert des Integrals positiv.
  • Liegt f(x)f(x)f(x)​ unter g(x)g(x)g(x)​, so ist der Wert des Integrals negativ.
  • Zur Flächenberechnung verwendet man daher den Betrag des Integrals.
  • Liegt ein Schnittpunkt zwischen a und b, so teilt man das Integral zur Flächenberechnung in Intervalle zwischen den Schnittpunkten auf. Das genaue Vorgehen wird unter der Skizze beschrieben.

Skizze:

Mathematik; Integrieren; 11.-12. Klasse Gymnasium; Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse


VORGEHEN BEI DER FLÄCHENBERECHNUNG

1.

Berechne die Schnittpunkte der Funktionen.

2.

Bestimme die Integralgrenzen und stelle die Integrale auf:

Existieren Schnittpunkte innerhalb des Intervalls, so muss man mehrere Integrale aufstellen. Für jedes Intervall wird ein eigenes Integral erstellt.

Jedes Integral hat die Form: ∫ab(f(x)−g(x))dx\int_{a}^{b}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx∫ab​(f(x)−g(x))dx​

3.

Setze einen Betrag um die einzelnen Integrale.

4.

Berechne die einzelnen Integrale und addiere die Beträge der Ergebnisse.


Beispiel

Skizze

Mathematik; Integrieren; 11.-12. Klasse Gymnasium; Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Fläche zwischen a und c:

 A=∣∫ab(f(x)−g(x)) dx∣⏟A1+∣∫bc(f(x)−g(x)) dx∣⏟A2A=\underbrace{\left|\int_{a}^{b}{\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\ dx}\right|}_{A_1}\underbrace{+\left|\int_{b}^{c}{\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\ dx}\right|}_{A_2}A=A1​​∫ab​(f(x)−g(x)) dx​​​A2​+​∫bc​(f(x)−g(x)) dx​​​​




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Dauer:
Stammfunktion, bestimmtes und unbestimmtes Integral

Teil 1

Stammfunktion, bestimmtes und unbestimmtes Integral

Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

Teil 2

Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

Herleitung der Integralrechnung

Teil 3

Herleitung der Integralrechnung

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Teil 4

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Welches Vorzeichen hat das Ergebnis eines Integrals, wenn der Graph einer Funktion vollständig über der x-Achse liegt?

Liegt der Graph einer Funktion vollständig über der x-Achse, so ist der Wert der Integrals positiv.

Welches Vorzeichen hat das Ergebnis eines Integrals, wenn der Graph einer Funktion vollständig unterhalb der x-Achse liegt?

Liegt der Graph einer Funktion vollständig unterhalb der x-Achse, so ist der Wert des Integrals negativ.

Was muss man beachten, wenn man die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse berechnen möchte?

Möchte man die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse berechnen, muss man beachten, ob der Graph die x-Achse schneidet. Ist dies der Fall, so muss man die Fläche intervallweise zwischen den Schnittpunkten des Graphen mit der x-Achse berechnen und die Beträge der einzelnen Flächen addieren, um die Gesamtfläche zwischen dem Graphen und der x-Achse zu erhalten.

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