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Integral berechnen

Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

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Lehrperson: Emma

Zusammenfassung

Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Mithilfe von Integralen kann man die Fläche zwischen einem Graphen und der xx-Achse in einem Intervall berechnen.

  • Liegt der Graph über der xx-Achse, ist der Wert des Integrals positiv.
  • Liegt der Graph unter der xx-Achse, ist der Wert des Integrals negativ.
  • Um die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse zu bestimmen, nimmt man daher den Betrag des Integrals.
Mathematik; Integrieren; 11.-12. Klasse Gymnasium; Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Hinweis: Das Integral berechnet aufgrund der positiven bzw. negativen Vorzeichen die Differenz der Flächeninhalte ober- und unterhalb der x-Achse. Schneidet der Graph die x-Achse, bestimmt man die zwischen der x-Achse und dem Graphen insgesamt eingeschlossene Fläche daher aus den Beträgen der einzelnen Integrale in den unterschiedlichen Intervallen. Die Intervalle sind durch die Nullstellen begrenzt. Durch die Beträge werden die Werte positiv und es kann nicht passieren, dass sich negative und positive Integrale aus den einzelnen Intervallen bei der Flächenberechnung aufheben.


VORGEHEN BEI DER FLÄCHENBERECHNUNG

1.

Berechne die Nullstellen.

2.

Bestimme die Integralgrenzen und stelle die Integrale auf:

Liegen Nullstellen innerhalb des Intervalls, muss man mehrere Integrale aufstellen.

Für jedes Intervall zwischen zwei Nullstellen wird ein eigenes Integral erstellt.

3.

Setze einen Betrag um die einzelnen Integrale. 

4.

Berechne die einzelnen Integrale und addiere die Beträge der Ergebnisse der Integrale.


Beispiel

Skizze

Mathematik; Integrieren; 11.-12. Klasse Gymnasium; Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Fläche A zwischen 0 und c:


A=0af(x) dxA1+abf(x) dxA2+bcf(x) dxA3A=\underbrace{\left|\int_{0}^{a}{f\left(x\right)\ dx}\right|}_{A_1}\underbrace{+\left|\int_{a}^{b}{f\left(x\right)\ dx}\right|}_{A_2}\underbrace{+\left|\int_{b}^{c}{f\left(x\right)\ dx}\right|}_{A_3}​​




Flächeninhalt zwischen zwei Graphen

Oftmals muss man den Flächeninhalt A zwischen zwei Graphen in einem Intervall berechnen.

Um den Flächeninhalt zu berechnen, nimmt man erneut ein Integral zu Hilfe:

A=ab(f(x)g(x))dxA=\left|\int_{a}^{b}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx\right|​​

  • Liegt f(x)f(x) über g(x)g(x), so ist der Wert des Integrals positiv.
  • Liegt f(x)f(x) unter g(x)g(x)​, so ist der Wert des Integrals negativ.
  • Zur Flächenberechnung verwendet man daher den Betrag des Integrals.
  • Liegt ein Schnittpunkt zwischen a und b, so teilt man das Integral zur Flächenberechnung in Intervalle zwischen den Schnittpunkten auf. Das genaue Vorgehen wird unter der Skizze beschrieben.

Skizze:

Mathematik; Integrieren; 11.-12. Klasse Gymnasium; Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse


VORGEHEN BEI DER FLÄCHENBERECHNUNG

1.

Berechne die Schnittpunkte der Funktionen.

2.

Bestimme die Integralgrenzen und stelle die Integrale auf:

Existieren Schnittpunkte innerhalb des Intervalls, so muss man mehrere Integrale aufstellen. Für jedes Intervall wird ein eigenes Integral erstellt.

Jedes Integral hat die Form: ab(f(x)g(x))dx\int_{a}^{b}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx

3.

Setze einen Betrag um die einzelnen Integrale.

4.

Berechne die einzelnen Integrale und addiere die Beträge der Ergebnisse.


Beispiel

Skizze

Mathematik; Integrieren; 11.-12. Klasse Gymnasium; Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Fläche zwischen a und c:

 A=ab(f(x)g(x)) dxA1+bc(f(x)g(x)) dxA2A=\underbrace{\left|\int_{a}^{b}{\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\ dx}\right|}_{A_1}\underbrace{+\left|\int_{b}^{c}{\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\ dx}\right|}_{A_2}




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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Welches Vorzeichen hat das Ergebnis eines Integrals, wenn der Graph einer Funktion vollständig über der x-Achse liegt?

Welches Vorzeichen hat das Ergebnis eines Integrals, wenn der Graph einer Funktion vollständig unterhalb der x-Achse liegt?

Was muss man beachten, wenn man die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse berechnen möchte?

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