Home

Mathematik

Zufallsgröße

Satz von Moivre-Laplace: Definition & Anwendung

Satz von Moivre-Laplace: Definition & Anwendung

Lektion auswählen

Mein Buch

Select an option

Erklärvideo

Loading...
Lehrperson: Luca

Zusammenfassung

Satz von Moivre-Laplace: Definition & Anwendung

Definition

Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable, die binomialverteilt ist, lässt sich, wenn NN​​, also die Anzahl Zufallsexperimente, groß genug ist, mit der Normalverteilung approximieren. Hierbei ist der Erwartungswert der Normalverteilung gegeben mit μ=np\mu=n\cdot p und die Standardabweichung mit σ=np(1p)\sigma=\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}. Dies sind auch die Werte für den Erwartungswert und die Standardabweichung der Binomialverteilung. 


Bin(n,p)N(μ,σ2), NBin(n,p) \Longrightarrow N(\mu,\sigma^2) , \, N\rightarrow ∞ ​


Beispiel:

Im Diagramm dargestellt ist einmal die Dichtefunktion der Binomialverteilung Bin(60;0,6)Bin(60;0,6) als Balkendiagramm und einmal die der Standardnormalverteilung N(36;14,4)N(36;\sqrt{14,4}) als stetige Funktion.


Hier wurde angenommen, dass NN die Anzahl der durchgeführten Experimente ist, wobei jedes Experiment aus n=60n=60 Würfen besteht und die Trefferwahrscheinlichkeit bei einem einzelnen Wurf bei p=60%p=60 \% lag. Auch dies kann näherungsweise für große NN mit der Normalverteilung approximiert werden, hier muss man allerdings darauf achten, dass die Werte noch normalisiert werden müssen.




Mathematik; Zufallsgrößen und Verteilung; 11.-12. Klasse Gymnasium; Satz von Moivre-Laplace: Definition & Anwendung

Die Form der Kurve der Binomialverteilung nähert sich also für große NN immer mehr der Form der Gaußschen Glockenkurve an. Die Wendepunkte der Kurve liegen bei np±np(1p)n\cdot p±\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}



Wahrscheinlichkeitsfunktionen

Die Wahrscheinlichkeit, dass XX einen bestimmten Wert kk annimmt, kann berechnet, bzw. mithilfe des Satz von Moivre-Laplace angenähert, werden durch


P(X=k)=Binn;p(k)φμ;σ2(k)P(X=k)=Bin_{n;p}(k)\approx \varphi_{\mu;\sigma^2}(k)​​


Für ein Intervall [a,b][a,b] kann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass XX darin liegt, angenähert werden durch


P(aXb)abφμ,σ2(x)dxP(a≤X≤b)≈∫_a^bφ_{μ,σ^2 } (x)dx​​


Hinweis:

Beachte, dass man bei der Berechnung der Normalverteilung für ganzzahlige Zufallsvariablen die Stetigkeitsbedingung nutzt, also die Integralgrenzen unten und oben um 0,50,5 vergrößert:


P(aXb)=a0,5b+0,5φμ;σ2(x)dxP(a≤X≤b)=\int_{a-0,5}^{b+0,5}\varphi_{\mu;\sigma^2}(x)dx​​


Auf die Stetigkeitsbedingung kann verzichtet werden, wenn die Laplacebedingung erfüllt ist. Das ist der Fall, wenn σ>3\sigma > 3​ ist.



Beispiel:

XX​ beschreibe die Anzahl Treffer auf einen Korb bei n=60n=60​ Würfen. Die Trefferwahrscheinlichkeit für einen Wurf betrage 60%60\%​. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, genau 3636​-mal zu treffen? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens 3838​-mal und maximal 4141-mal zu treffen?


Die Zufallsvariable XX​ist binomialverteilt mit den Parametern n=60n=60​ und p=0,6p=0,6​, wie in den obigen Diagrammen. Für die Aufgabe interessant sind die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass X=k=36X=k=36​ und im zweiten Teil dass X=38;39;40;41. X=38; 39; 40; 41.


Zunächst werden der Erwartungswert und die Varianz der Verteilung berechnet:


μ=np=600,6=36\mu=n\cdot p = 60 \cdot 0,6 =36​​

Var(x)=σ2=np(np)=600,60,4=14,4Var(x)=\sigma^2=n\cdot p \cdot (n-p)= 60 \cdot 0,6 \cdot 0,4 =14,4​​


Nach dem Satz von Moivre-Laplace gilt:


P(X=36)φ36;14,4(36)=0,10513P(X=36)\approx \varphi_{36;14,4}(36)=\underline{0,10513}​​


Da σ=14,43,794>3\sigma = \sqrt{14,4}\approx 3,794 > 3 gilt, ist die Laplace-Bedingung erfüllt.

Es gilt:


P(38X41)3841φ36;14,4(x)dx=ϕ(413614,4)ϕ(383614,4)=0,20526P(38≤X≤41) \approx \int_{38}^{41}\varphi_{36;14,4}(x)dx=\phi(\frac{41-36}{\sqrt{14,4}})-\phi(\frac{38-36}{\sqrt{14,4}}) = \underline{0,20526}​​


Zum Vergleich die Ergebnisse, welche man mit Hilfe der Binomialverteilung erhält:


P(X=36)=Bin60;0,6(36)=0,1047P(X=36)=Bin_{60; 0,6} (36)=0,1047​​

P(38X41)=Bin60;0,6(38)+Bin60;0,6(39)+Bin60;0,6(40)+Bin60;0,6(41)P(38≤X≤41)=Bin_{60; 0,6} (38)+Bin_{60; 0,6} (39)+Bin_{60; 0,6} (40)+Bin_{60; 0,6} (41)​​

P(38X41)=0,0925+0,0782+0,0616+0,0451=0,2774P(38≤X≤41)=0,0925+0,0782+0,0616+0,0451=0,2774​​


Anmerkung: Für größere NN​ werden die Ergebnisse durch die Annäherung mithilfe der Normalverteilung immer präziser.


Hinweis: Für die Normalverteilung gilt allgemein:

ϕ(X)=1ϕ(X)\phi(-X)=1-\phi(X)​​







                               

          

Erstelle ein Konto, um die Zusammenfassung zu lesen.

Übungen

Erstelle ein Konto, um mit den Übungen zu beginnen.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wer ist Moivre-Laplace?

Was ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte?

Was besagt das Moivre-Laplace Theorem?

Beta

Ich bin Vulpy, Dein AI Lern-Buddy! Lass uns zusammen lernen.