Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable, die binomialverteilt ist, lässt sich, wenn N, also die Anzahl Zufallsexperimente, groß genug ist, mit der Normalverteilung approximieren. Hierbei ist der Erwartungswert der Normalverteilung gegeben mit μ=n⋅p und die Standardabweichung mit σ=n⋅p⋅(1−p). Dies sind auch die Werte für den Erwartungswert und die Standardabweichung der Binomialverteilung.
Bin(n,p)⟹N(μ,σ2),N→∞
Beispiel:
Im Diagramm dargestellt ist einmal die Dichtefunktion der BinomialverteilungBin(60;0,6)als Balkendiagramm und einmal die der StandardnormalverteilungN(36;14,4)als stetige Funktion.
Hier wurde angenommen, dassNdie Anzahl der durchgeführten Experimente ist, wobei jedes Experiment ausn=60Würfen besteht und die Trefferwahrscheinlichkeit bei einem einzelnen Wurf beip=60%lag. Auch dies kann näherungsweise für großeN mit der Normalverteilung approximiert werden, hier muss man allerdings darauf achten, dass die Werte noch normalisiert werden müssen.
Die Form der Kurve der Binomialverteilung nähert sich also für große N immer mehr der Form der Gaußschen Glockenkurve an. Die Wendepunkte der Kurve liegen bei n⋅p±n⋅p⋅(1−p)
Wahrscheinlichkeitsfunktionen
Die Wahrscheinlichkeit, dass Xeinen bestimmten Wert kannimmt, kann berechnet, bzw. mithilfe des Satz von Moivre-Laplace angenähert, werden durch
P(X=k)=Binn;p(k)≈φμ;σ2(k)
Für ein Intervall [a,b]kann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Xdarin liegt, angenähert werden durch
P(a≤X≤b)≈∫abφμ,σ2(x)dx
Hinweis:
Beachte, dass man bei der Berechnung der Normalverteilung für ganzzahlige Zufallsvariablen die Stetigkeitsbedingung nutzt, also die Integralgrenzen unten und oben um 0,5vergrößert:
P(a≤X≤b)=∫a−0,5b+0,5φμ;σ2(x)dx
Auf die Stetigkeitsbedingung kann verzichtet werden, wenn die Laplacebedingung erfüllt ist. Das ist der Fall, wenn σ>3 ist.
Beispiel:
X beschreibe die Anzahl Treffer auf einen Korb bei n=60 Würfen. Die Trefferwahrscheinlichkeit für einen Wurf betrage 60%. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, genau 36-mal zu treffen? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens 38-mal und maximal 41-mal zu treffen?
Die Zufallsvariable Xist binomialverteilt mit den Parametern n=60 und p=0,6, wie in den obigen Diagrammen. Für die Aufgabe interessant sind die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass X=k=36 und im zweiten Teil dass X=38;39;40;41.
Zunächst werden der Erwartungswert und die Varianz der Verteilung berechnet:
μ=n⋅p=60⋅0,6=36
Var(x)=σ2=n⋅p⋅(n−p)=60⋅0,6⋅0,4=14,4
Nach dem Satz von Moivre-Laplace gilt:
P(X=36)≈φ36;14,4(36)=0,10513
Daσ=14,4≈3,794>3gilt, ist die Laplace-Bedingung erfüllt.
Es handelt sich um zwei verschiedene Mathematiker: Abraham de Moivre und Pierre-Simon Laplace.
Was ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte?
Das Integral über einen Bereich der Dichte besagt wie wahrscheinlich es für einen Ausgang des Experiments ist, in diesen Bereich zu fallen.
Was besagt das Moivre-Laplace Theorem?
Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable, die binomialverteilt ist, lässt sich, wenn N, also die Anzahl Zufallsexperimente, groß genug ist, mit der Normalverteilung approximieren.
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