Satz von Moivre-Laplace: Definition & Anwendung

Definition

Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable, die binomialverteilt ist, lässt sich, wenn $N$ , also die Anzahl Zufallsexperimente, groß genug ist, mit der Normalverteilung approximieren. Hierbei ist der Erwartungswert der Normalverteilung gegeben mit $\mu=n\cdot p$ und die Standardabweichung mit $\sigma=\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ . Dies sind auch die Werte für den Erwartungswert und die Standardabweichung der Binomialverteilung.

$Bin(n,p) \Longrightarrow N(\mu,\sigma^2) , \, N\rightarrow ∞$

Beispiel:

Im Diagramm dargestellt ist einmal die Dichtefunktion der Binomialverteilung $Bin(60;0,6)$ als Balkendiagramm und einmal die der Standardnormalverteilung $N(36;\sqrt{14,4})$ als stetige Funktion.

Hier wurde angenommen, dass $N$ die Anzahl der durchgeführten Experimente ist, wobei jedes Experiment aus $n=60$ Würfen besteht und die Trefferwahrscheinlichkeit bei einem einzelnen Wurf bei $p=60 \%$ lag. Auch dies kann näherungsweise für große $N$ mit der Normalverteilung approximiert werden, hier muss man allerdings darauf achten, dass die Werte noch normalisiert werden müssen.

Mathematik; Zufallsgrößen und Verteilung; 11.-12. Klasse Gymnasium; Satz von Moivre-Laplace: Definition & Anwendung

Die Form der Kurve der Binomialverteilung nähert sich also für große $N$ immer mehr der Form der Gaußschen Glockenkurve an. Die Wendepunkte der Kurve liegen bei $n\cdot p±\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$

Wahrscheinlichkeitsfunktionen

Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ einen bestimmten Wert $k$ annimmt, kann berechnet, bzw. mithilfe des Satz von Moivre-Laplace angenähert, werden durch

$P(X=k)=Bin_{n;p}(k)\approx \varphi_{\mu;\sigma^2}(k)$

Für ein Intervall $[a,b]$ kann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $X$ darin liegt, angenähert werden durch

$P(a≤X≤b)≈∫_a^bφ_{μ,σ^2 } (x)dx$

Hinweis:

Beachte, dass man bei der Berechnung der Normalverteilung für ganzzahlige Zufallsvariablen die Stetigkeitsbedingung nutzt, also die Integralgrenzen unten und oben um $0,5$ vergrößert:

$P(a≤X≤b)=\int_{a-0,5}^{b+0,5}\varphi_{\mu;\sigma^2}(x)dx$

Auf die Stetigkeitsbedingung kann verzichtet werden, wenn die Laplacebedingung erfüllt ist. Das ist der Fall, wenn $\sigma > 3$ ist.

Beispiel:

$X$  beschreibe die Anzahl Treffer auf einen Korb bei $n=60$  Würfen. Die Trefferwahrscheinlichkeit für einen Wurf betrage $60\%$ . Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, genau $36$ -mal zu treffen? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens $38$ -mal und maximal $41$ -mal zu treffen?

Die Zufallsvariable $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n=60$  und $p=0,6$ , wie in den obigen Diagrammen. Für die Aufgabe interessant sind die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass $X=k=36$  und im zweiten Teil dass $X=38; 39; 40; 41.$

Zunächst werden der Erwartungswert und die Varianz der Verteilung berechnet:

$\mu=n\cdot p = 60 \cdot 0,6 =36$

$Var(x)=\sigma^2=n\cdot p \cdot (n-p)= 60 \cdot 0,6 \cdot 0,4 =14,4$

Nach dem Satz von Moivre-Laplace gilt:

$P(X=36)\approx \varphi_{36;14,4}(36)=\underline{0,10513}$

Da $\sigma = \sqrt{14,4}\approx 3,794 > 3$ gilt, ist die Laplace-Bedingung erfüllt.

Es gilt:

$P(38≤X≤41) \approx \int_{38}^{41}\varphi_{36;14,4}(x)dx=\phi(\frac{41-36}{\sqrt{14,4}})-\phi(\frac{38-36}{\sqrt{14,4}}) = \underline{0,20526}$

Zum Vergleich die Ergebnisse, welche man mit Hilfe der Binomialverteilung erhält:

$P(X=36)=Bin_{60; 0,6} (36)=0,1047$

$P(38≤X≤41)=Bin_{60; 0,6} (38)+Bin_{60; 0,6} (39)+Bin_{60; 0,6} (40)+Bin_{60; 0,6} (41)$

$P(38≤X≤41)=0,0925+0,0782+0,0616+0,0451=0,2774$

Anmerkung: Für größere $N$ werden die Ergebnisse durch die Annäherung mithilfe der Normalverteilung immer präziser.

Hinweis: Für die Normalverteilung gilt allgemein:

$\phi(-X)=1-\phi(X)$