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Exponentialverteilung einer Zufallsvariablen

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Lehrperson: Nadine

Zusammenfassung

Exponentialverteilung einer Zufallsvariablen

Definition

Eine Zufallsvariable, die exponentialverteilt ist, kann nur positive Werte annehmen (X0X≥0​). Die Exponentialverteilung ist ebenso wie die Normalverteilung eine stetige Verteilung. Die Zufallsvariable XX kann also unendlich viele Werte annehmen. Wenn eine Zufallsgröße der Exponentialverteilung folgt, sagt man auch, sie ist exponentialverteilt mit dem Parameter λ\lambda, wobei λ0λ≥0  gilt.


XExp(λ)X\sim Exp(λ)​​


Die Exponentialverteilung beschreibt einen Prozess von exponentieller Abnahme. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass XXeinen größeren Wert bb annimmt ist also exponentiell kleiner als die Wahrscheinlichkeit dafür, dass XX einen kleineren Wert aa​ annimmt.


Diese Verteilung kommt zum Beispiel dann zum Einsatz, wenn die Funktionsdauer von technischen Geräten beschrieben werden soll oder wenn man die Verteilung von Hausnummern in einer Stadt betrachtet- hierbei ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jemand in der Hausnummer 117117 ​wohnt viel geringer als die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jemand in der Hausnummer 33   wohnt.



Funktionen

Dichtefunktion

Die Exponentialverteilung kann mit der allgemeinen Dichtefunktion berechnet werden.

f(x)=λeλxf(x)=λ\cdot e^{-λ\cdot x}

xx​​

Wert, welchen die Zufallsgröße annimmt

λ\lambda​​

Parameter der Verteilung

Hinweis: Bei Aufgaben ist der Parameter λ\lambda​ typischerweise vorgegeben.



Darstellung:

Mathematik; Zufallsgrößen und Verteilung; 11.-12. Klasse Gymnasium; Exponentialverteilung einer Zufallsvariablen



Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion (ϕ(x)ϕ(x)) ist durch die Fläche unter der Dichtefunktion (f(x)f(x)) gegeben. Sie gibt für einen beliebigen Wert xx die Wahrscheinlichkeit an, dass das Ergebnis kleiner oder gleich xx​ ist.

ϕ(X)=P(Xx)=0xλeλtdt=1eλxϕ(X)=P(X≤x)=∫_0^xλ\cdot e^{-λ\cdot t} dt=1-e^{-λ\cdot x}​​

XX​​

Zufallsgröße

xx​​

Obergrenze für den Wert, den die Zufallsgröße annimmt

λ\lambda​​

Parameter der Verteilung

tt​​

Integrationsvariable

IntervalL

Wahrscheinlichkeit für ein Intervall von XX:


P(aXb)=ϕ(Xb)ϕ(Xa)=abλeλtdt=eλaeλbP(a≤X≤b)=ϕ(X≤b)-ϕ(X≤a)=∫_a^bλ\cdot e^{-λ\cdot t} dt=e^{-λ\cdot a}-e^{-λ\cdot b}​​


Darstellung

Einseitig

Zweiseitig (Intervall)

Mathematik; Zufallsgrößen und Verteilung; 11.-12. Klasse Gymnasium; Exponentialverteilung einer Zufallsvariablen

P(Xx)P(X≤x)​​

Mathematik; Zufallsgrößen und Verteilung; 11.-12. Klasse Gymnasium; Exponentialverteilung einer Zufallsvariablen

P(aXb)P(a≤X≤b)​​



Kennwerte

Erwartungswert

μ=E(X)=0xλeλxdx=1λμ=E(X)=∫_0^∞ x\cdot λ\cdot e^{-λ\cdot x} dx=\frac{1}{λ}​​

Varianz

V(X)=0(xμ)2λeλxdx=1λ2V(X)=∫_0^∞(x-μ)^2\cdot λ\cdot e^{-λ\cdot x} dx=\frac{1}{λ^2} ​​

Standardabweichung

σ(X)=V(X)=1λσ(X)=\sqrt{V(X)} =\frac{1}{λ}​​


Beispiel

Angenommen, die Funktionsdauer eines technischen Geräts ist exponentialverteilt. Der Erwartungswert für die Lebensdauer beträgt μ=3\mu=3  Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Gerät mindestens 66 Jahre funktioniert? Wie groß ist die Halbwertszeit t12t_{\frac12}​ der Maschine, also die Zeit, zu der die Maschine mit einer Wahrscheinlichkeit von 50%50\%​ ausfällt?


Zunächst wird der Parameter λ\lambda​ mithilfe des Erwartungswertes bestimmt:


μ=1λλ=1μ=13\mu=\frac{1}{\lambda}\rightarrow \lambda=\frac{1}{\mu}=\frac13​​


Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Gerät mindestens 66 Jahre funktioniert, ist die Gegenwahrscheinlichkeit dafür, dass das Gerät maximal 66​ Jahre funktioniert. Es gilt also: 


P(X>6)=1P(X6)=1(1e136)=11+e2=0,135=13,5%P(X>6)=1-P(X≤6)=1-(1-e^{-\frac{1}{3}\cdot 6} )=1-1+e^{-2}=0,135=\underline{13,5\%}​​


Im Folgenden wird die Halbwertszeit der Maschine bestimmt:

P(Xt12)=0,51e13t12=0,50,5=e13t12ln(0,5)=13t12t12=3ln(0,5)2,0794\begin{aligned}P(X≤t_{\frac12})&=0,5 \rightarrow 1-e^{-\frac{1}{3}\cdot t_{\frac12}}=0,5\\0,5&=e^{-\frac{1}{3}\cdot t_{\frac12}} \rightarrow ln(0,5)=-\frac13 \cdot t_{\frac12}\\\underline{t_\frac12}&=3\cdot ln(0,5)\approx \underline{2,0794}\end{aligned}​​


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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Welche Zufallsprozesse können durch die Exponentialverteilung beschrieben werden?

Was ist der Erwartungswert der Exponentialverteilung?

Was ist die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung?

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