Exponentialverteilung einer Zufallsvariablen

Definition

Eine Zufallsvariable, die exponentialverteilt ist, kann nur positive Werte annehmen ($$X≥0$$​). Die Exponentialverteilung ist ebenso wie die Normalverteilung eine stetige Verteilung. Die Zufallsvariable $$X$$ kann also unendlich viele Werte annehmen. Wenn eine Zufallsgröße der Exponentialverteilung folgt, sagt man auch, sie ist exponentialverteilt mit dem Parameter $$\lambda$$​, wobei $$λ≥0$$ gilt.

​$$X\sim Exp(λ)$$​​

Die Exponentialverteilung beschreibt einen Prozess von exponentieller Abnahme. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $$X$$einen größeren Wert $$b$$ annimmt ist also exponentiell kleiner als die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $$X$$ einen kleineren Wert $$a$$​ annimmt.

Diese Verteilung kommt zum Beispiel dann zum Einsatz, wenn die Funktionsdauer von technischen Geräten beschrieben werden soll oder wenn man die Verteilung von Hausnummern in einer Stadt betrachtet- hierbei ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jemand in der Hausnummer $$117$$​wohnt viel geringer als die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jemand in der Hausnummer $$3$$  wohnt.

Funktionen

Dichtefunktion

Die Exponentialverteilung kann mit der allgemeinen Dichtefunktion berechnet werden.

Hinweis: Bei Aufgaben ist der Parameter $$\lambda$$​ typischerweise vorgegeben.

Darstellung:

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion ($$ϕ(x)$$​) ist durch die Fläche unter der Dichtefunktion ($$f(x)$$​) gegeben. Sie gibt für einen beliebigen Wert $$x$$ die Wahrscheinlichkeit an, dass das Ergebnis kleiner oder gleich $$x$$​ ist.

IntervalL

Wahrscheinlichkeit für ein Intervall von $$X$$​:

​$$P(a≤X≤b)=ϕ(X≤b)-ϕ(X≤a)=∫_a^bλ\cdot e^{-λ\cdot t} dt=e^{-λ\cdot a}-e^{-λ\cdot b}$$​​

Darstellung

Einseitig Zweiseitig (Intervall) ​$$P(X≤x)$$​​ ​$$P(a≤X≤b)$$​​

Kennwerte

Beispiel

Angenommen, die Funktionsdauer eines technischen Geräts ist exponentialverteilt. Der Erwartungswert für die Lebensdauer beträgt $$\mu=3$$  Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Gerät mindestens $$6$$ Jahre funktioniert? Wie groß ist die Halbwertszeit $$t_{\frac12}$$​ der Maschine, also die Zeit, zu der die Maschine mit einer Wahrscheinlichkeit von $$50\%$$​ ausfällt?

Zunächst wird der Parameter $$\lambda$$​ mithilfe des Erwartungswertes bestimmt:

​$$\mu=\frac{1}{\lambda}\rightarrow \lambda=\frac{1}{\mu}=\frac13$$​​

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Gerät mindestens $$6$$ Jahre funktioniert, ist die Gegenwahrscheinlichkeit dafür, dass das Gerät maximal $$6$$​ Jahre funktioniert. Es gilt also: 

$$P(X>6)=1-P(X≤6)=1-(1-e^{-\frac{1}{3}\cdot 6} )=1-1+e^{-2}=0,135=\underline{13,5\%}$$​​

Im Folgenden wird die Halbwertszeit der Maschine bestimmt:

​$$\begin{aligned}P(X≤t_{\frac12})&=0,5 \rightarrow 1-e^{-\frac{1}{3}\cdot t_{\frac12}}=0,5\\0,5&=e^{-\frac{1}{3}\cdot t_{\frac12}} \rightarrow ln(0,5)=-\frac13 \cdot t_{\frac12}\\\underline{t_\frac12}&=3\cdot ln(0,5)\approx \underline{2,0794}\end{aligned}$$​​