$A+B=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}\\\end{matrix}\right)$

SUBTRAKTION

von zwei Matrizen

Subtrahiere die Einträge, die an derselben Position stehen.

$A-B=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_{11}-b_{11}&a_{12}-b_{12}\\a_{21}-b_{21}&a_{22}-b_{22}\\\end{matrix}\right)$

Beispiel – Addition

$\left(\begin{matrix}3&2&-2\\1&2&3\\5&-9&1\\\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}1&8&1\\2&-1&0\\-2&3&5\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3+1&2+8&-2+1\\1+2&2-1&3+0\\5-2&-9+3&1+5\\\end{matrix}\right)=\underline{\left(\begin{matrix}4&10&-1\\3&1&3\\3&-6&6\\\end{matrix}\right)}$

Multiplikation

Zahl und Matrix

Bei der Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl werden die einzelnen Matrixeinträge mit der reellen Zahl vervielfacht. Dadurch entsteht eine Matrix mit denselben Dimensionen wie die Ausgangsmatrix.

VORAUSSETZUNG

Die Zahl, mit welcher multipliziert wird, kann beliebig gewählt werden und die Matrix darf von beliebiger Dimension sein.

VORGEHEN

Jeder Eintrag der Matrix wird einzeln mit der Zahl $r\in\mathbb{R}$ multipliziert.

$r\cdot A=r\cdot\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}r\cdot a_{11}&r\cdot a_{12}\\r\cdot a_{21}&r\cdot a_{22}\\\end{matrix}\right)$

Beispiel - Multiplikation Zahl und Matrix

$2\cdot\left(\begin{matrix}3&5\\-1&4\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\cdot&2\cdot5\\2\cdot(-1)&2\cdot4\\\end{matrix}\right)=\underline{\left(\begin{matrix}6&10\\-2&8\\\end{matrix}\right)}$

Matrix und Vektor

Die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor ergibt einen neuen Vektor. Der neue Vektor hat dieselbe Zeilenzahl wie die Matrix. Man spricht von einer „linearen Abbildung“ von einem Vektor zu einem anderen.

VORAUSSETZUNG

Die Spaltenanzahl der Matrix muss mit der Zeilenzahl des Vektors übereinstimmen.

VORGEHEN

1.	Multipliziere die Einträge der $i-$ ten Zeile von Matrix $A$ eintragsweise mit den Komponenten des Vektors $\overrightarrow v$ .
2.	Addiere die Produkte.
3.	Schreibe das Resultat in die $i-$ te Zeile des neuen Vektors $\overrightarrow w$ .

$A\cdot\overrightarrow v=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}=\left(\begin{matrix}a_{11}\cdot v_1+a_{12}\cdot v_2+a_{13}\cdot v_3\\a_{21}\cdot v_1+a_{22}\cdot v_2+a_{23}\cdot v_3\end{matrix}\right)=\overrightarrow w$

Hinweis: Ein Vektor ist eigentlich eine Matrix der Dimension $m\times1$ . Matrix mal Vektor ist ein Spezialfall von Matrix mal Matrix.

Beispiel - Multiplikation Matrix und Vektor

$\left(\begin{matrix}2&3&-3\\4&-1&5\\\end{matrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}=\left(\begin{matrix}2\cdot1+3\cdot(-2)+(-3)\cdot4\\4\cdot1+(-1)\cdot(-2)+5\cdot4\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$

Zwei Matrizen

Wenn zwei Matrizen multipliziert werden, entsteht eine neue Matrix. Die Zeilenanzahl der neuen Matrix entspricht der Zeilenanzahl der linken Matrix, die Spaltenanzahl der Spaltenanzahl der rechten Matrix.

VORAUSSETZUNG

Die Spaltenanzahl der ersten Matrix muss mit der Zeilenanzahl der zweiten Matrix übereinstimmen.

VORGEHEN

1.	Multipliziere die Einträge der ersten Zeile von Matrix $A$ eintragsweise mit den Einträgen der ersten Spalte von Matrix $B.$
2.	Addiere die Produkte.
3.	Daraus entsteht der Eintrag der ersten Zeile der ersten Spalte der neuen Matrix $C$ .
4.	Führe Schritte 1 und 2 mit der zweiten Zeile von Matrix $A$ und der ersten Spalte von Matrix $B$ durch. Das Ergebnis steht in der zweiten Zeile der ersten Spalte der neuen Matrix $C$ .
5.	Sobald alle Zeilen der Matrix $A$ mit der ersten Spalte der Matrix $B$ verrechnet sind, wird wieder mit der ersten Zeile von Matrix A begonnen und diese wird mit der zweiten Spalte der Matrix $B\ multipliziert.$ Nun schreibst du die Ergebnisse in die zweite Spalte der neuen Matrix $C$ .
6.	Führe diese Schritte so lange aus, bis alle Zeilen der Matrix $A$ mit allen Spalten der Matrix $B$ verrechnet sind.

Mathematisch lässt sich das wie folgt ausdrücken:

Multipliziere die Einträge der $i-$ ten Zeile von Matrix $A$ eintragsweise mit den Einträgen der $j-$ ten Spalte von Matrix $B$ , addiere sie und schreibe das Resultat an die Stelle $c_{ij}$ der neuen Matrix $C$ .

$A\cdot B=C\\\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\b_{31}&b_{32}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_{11}\cdot b_{11}+a_{12}\cdot b_{21}+a_{13}\cdot b_{31}&a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22}+a_{13}\cdot b_{32}\\a_{21}\cdot b_{11}+a_{22}\cdot b_{21}+a_{23}\cdot b_{31}&a_{21}\cdot b_{12}+a_{22}\cdot b_{22}+a_{23}\cdot b_{32}\\\end{matrix}\right)$

Beispiel - Multiplikation Matrix und Matrix

$\left(\begin{matrix}3&2&1\\5&-2&6\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\\-2&-1\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\cdot2+2\cdot5+1\cdot\left(-2\right)&3\cdot1+2\cdot2+1\cdot\left(-1\right)\\5\cdot2+\left(-2\right)\cdot+6\cdot\left(-2\right)&5\cdot1+\left(-2\right)\cdot2+6\cdot\left(-1\right)\\\end{matrix}\right)=\underline{\left(\begin{matrix}14&6\\-12&-5\\\end{matrix}\right)}$

Rechenregeln

Folgende Regeln gelten für Matrizen $(A$ , $B$ und $C)$ , Vektoren ( $\overrightarrow v$ und $\overrightarrow w)$ und Zahlen ( $r$ und $s)$ .

Addition und Subtraktion

$A+B=B+A$	kommutativ	Die Matrizen können in beliebiger Reihenfolge addiert werden.
$(A+B)+C=A+(B+C)$	assoziativ	Klammern können bei der Addition von Matrizen beliebig gesetzt werden.
$A+0_{nm}=A$	neutrales Element	Wird die Matrix mit der Nullmatrix summiert, ändert sich die Matrix nicht.

Matrix mal Zahl

$\left(r+s\right)\cdot A=r\cdot A+s\cdot A$	distributiv	Vielfache derselben Matrix können mit einer Klammer zusammengefasst werden.
$r\cdot(A+B)=r\cdot A+r\cdot B$	distributiv	Das Vielfache einer Summe von Matrizen kann einzeln berechnet werden.

Matrix mal Vektor

$A\cdot(\overrightarrow v + \overrightarrow w)=A\cdot\overrightarrow v +A\cdot \overrightarrow w$	distributiv	Wird die Summe mehrerer Vektoren mit einer Matrix multipliziert, so kann die Matrix ausgeklammert werden.
$(A+B)\cdot\overrightarrow v=A\cdot\overrightarrow v + B\cdot \overrightarrow v$	distributiv	Wird die Summe mehrerer Matrizen mit einem Vektor multipliziert, so kann der Vektor ausgeklammert werden.

Matrix mal Matrix

$A\cdot B\neq B\cdot A$	nicht kommutativ	Wenn zwei Matrizen multipliziert werden, darf die Reihenfolge nicht verändert werden.
$(A\cdot B)\cdot C=A\cdot(B\cdot C)$	assoziativ	Wenn mehr als zwei Matrizen multipliziert werden, können die Klammern beliebig gesetzt werden. Die Reihenfolge darf dennoch nicht geändert werden.
$A\cdot E_n=E_n\cdot A=A$	neutrales Element	Wenn eine Matrix mit einer Einheitsmatrix multipliziert wird, verändert sich die Matrix nicht.
$A\cdot(B+C)=A\cdot B+A\cdot C\\(A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$	distributiv	Wenn mehrere Matrizen mit derselben Matrix multipliziert werden, kann diese ausgeklammert werden.

Erstelle ein Konto, um die Zusammenfassung zu lesen.

Übungen

Leicht

3 Aufgaben

Mittel

4 Aufgaben

Schwierig

4 Aufgaben

Erstelle ein Konto, um mit den Übungen zu beginnen.

Grundlagen

Matrizen: Definition, Eigenschaften & spezielle Matrizen

Theorie

Übungen

Lernziele

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Ist die Matrixmultiplikation kommutativ?

Nein, die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ.

Wie funktioniert Matrixmultiplikation?

Um zwei Matrizen multiplizieren zu können muss die Anzahl der Spalten der ersten Matrix mit der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix übereinstimmen. Die resultierende Matrix hat gleich viele Zeilen wie die erste Matrix und gleich viele Spalten wie die Zweite.

Wie funktioniert Matrixaddition?

Um zwei Matrizen zu addieren, addiert man sie komponentenweise, es werden also jeweils die beiden Einträge, die in der Matrix an der selben Stelle sind, addiert.

Beta

Ich bin Vulpy, Dein AI Lern-Buddy! Lass uns zusammen lernen.

Matrizenrechnung: Vorgehen & Rechenregeln

Erklärvideos

Zusammenfassung

Übungen

Grundlagen

Lektion auswählen

Mein Buch

Erklärvideo

Zusammenfassung

Matrizenrechnung: Vorgehen & Rechenregeln

Addition und Subtraktion

ADDITION

SUBTRAKTION

Multiplikation

Zahl und Matrix

VORAUSSETZUNG

VORGEHEN

Matrix und Vektor

VORAUSSETZUNG

VORGEHEN

Zwei Matrizen

VORAUSSETZUNG

VORGEHEN

Rechenregeln

Addition und Subtraktion

Matrix mal Zahl

Matrix mal Vektor

Matrix mal Matrix

Erstelle ein Konto, um die Zusammenfassung zu lesen.

Übungen

Leicht

Mittel

Schwierig

Erstelle ein Konto, um mit den Übungen zu beginnen.

Lernziele

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Ist die Matrixmultiplikation kommutativ?

Wie funktioniert Matrixmultiplikation?

Wie funktioniert Matrixaddition?