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Matrizenrechnung: Vorgehen & Rechenregeln

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Lehrperson: Martin

Zusammenfassung

Matrizenrechnung: Vorgehen & Rechenregeln

Addition und Subtraktion

Damit Matrizen addiert oder subtrahiert werden können, müssen sie dieselben Dimensionen haben.


ADDITION

von zwei Matrizen

Addiere die Einträge, die an derselben Position stehen.

A+B=(a11a12a21a22)+(b11b12b21b22)=(a11+b11a12+b12a21+b21a22+b22)A+B=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}\\\end{matrix}\right)​​

SUBTRAKTION

von zwei Matrizen

Subtrahiere die Einträge, die an derselben Position stehen.

AB=(a11a12a21a22)(b11b12b21b22)=(a11b11a12b12a21b21a22b22)A-B=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_{11}-b_{11}&a_{12}-b_{12}\\a_{21}-b_{21}&a_{22}-b_{22}\\\end{matrix}\right)​​


BeispielAddition

(322123591)+(181210235)=(3+12+82+11+2213+0529+31+5)=(4101313366)\left(\begin{matrix}3&2&-2\\1&2&3\\5&-9&1\\\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}1&8&1\\2&-1&0\\-2&3&5\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3+1&2+8&-2+1\\1+2&2-1&3+0\\5-2&-9+3&1+5\\\end{matrix}\right)=\underline{\left(\begin{matrix}4&10&-1\\3&1&3\\3&-6&6\\\end{matrix}\right)}​​



Multiplikation

Zahl und Matrix

Bei der Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl werden die einzelnen Matrixeinträge mit der reellen Zahl vervielfacht. Dadurch entsteht eine Matrix mit denselben Dimensionen wie die Ausgangsmatrix.


VORAUSSETZUNG

Die Zahl, mit welcher multipliziert wird, kann beliebig gewählt werden und die Matrix darf von beliebiger Dimension sein.


VORGEHEN

Jeder Eintrag der Matrix wird einzeln mit der Zahl rRr\in\mathbb{R} multipliziert.

rA=r(a11a12a21a22)=(ra11ra12ra21ra22)r\cdot A=r\cdot\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}r\cdot a_{11}&r\cdot a_{12}\\r\cdot a_{21}&r\cdot a_{22}\\\end{matrix}\right)​​


Beispiel - Multiplikation Zahl und Matrix

2(3514)=(2252(1)24)=(61028)2\cdot\left(\begin{matrix}3&5\\-1&4\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\cdot&2\cdot5\\2\cdot(-1)&2\cdot4\\\end{matrix}\right)=\underline{\left(\begin{matrix}6&10\\-2&8\\\end{matrix}\right)}​​


Matrix und Vektor

Die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor ergibt einen neuen Vektor. Der neue Vektor hat dieselbe Zeilenzahl wie die Matrix. Man spricht von einer „linearen Abbildung“ von einem Vektor zu einem anderen.


VORAUSSETZUNG

Die Spaltenanzahl der Matrix muss mit der Zeilenzahl des Vektors übereinstimmen.


VORGEHEN

1.

Multipliziere die Einträge der ii-ten Zeile von Matrix AA eintragsweise mit den Komponenten des Vektors v\overrightarrow v.

2.

Addiere die Produkte.

3.

Schreibe das Resultat in die ii-te Zeile des neuen Vektors w\overrightarrow w.

Av=(a11a12a13a21a22a23)(v1v2v3)=(a11v1+a12v2+a13v3a21v1+a22v2+a23v3)=wA\cdot\overrightarrow v=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}=\left(\begin{matrix}a_{11}\cdot v_1+a_{12}\cdot v_2+a_{13}\cdot v_3\\a_{21}\cdot v_1+a_{22}\cdot v_2+a_{23}\cdot v_3\end{matrix}\right)=\overrightarrow w​​


Hinweis: Ein Vektor ist eigentlich eine Matrix der Dimension m×1m\times1. Matrix mal Vektor ist ein Spezialfall von Matrix mal Matrix.


Beispiel - Multiplikation Matrix und Vektor

(233415)(124)=(21+3(2)+(3)441+(1)(2)+54)=(1626)\left(\begin{matrix}2&3&-3\\4&-1&5\\\end{matrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}=\left(\begin{matrix}2\cdot1+3\cdot(-2)+(-3)\cdot4\\4\cdot1+(-1)\cdot(-2)+5\cdot4\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)​​


Zwei Matrizen

Wenn zwei Matrizen multipliziert werden, entsteht eine neue Matrix. Die Zeilenanzahl der neuen Matrix entspricht der Zeilenanzahl der linken Matrix, die Spaltenanzahl der Spaltenanzahl der rechten Matrix.


VORAUSSETZUNG

Die Spaltenanzahl der ersten Matrix muss mit der Zeilenanzahl der zweiten Matrix übereinstimmen.


VORGEHEN

1.

Multipliziere die Einträge der ersten Zeile von Matrix AA eintragsweise mit den Einträgen der ersten Spalte von Matrix B.B.

2.

Addiere die Produkte.

3.

Daraus entsteht der Eintrag der ersten Zeile der ersten Spalte der neuen Matrix CC.

4.

Führe Schritte 1 und 2 mit der zweiten Zeile von Matrix AA und der ersten Spalte von Matrix BB durch. Das Ergebnis steht in der zweiten Zeile der ersten Spalte der neuen Matrix CC.

5.

Sobald alle Zeilen der Matrix AA mit der ersten Spalte der Matrix BB​ verrechnet sind, wird wieder mit der ersten Zeile von Matrix A begonnen und diese wird mit der zweiten Spalte der Matrix B multipliziert.B\ multipliziert. Nun schreibst du die Ergebnisse in die zweite Spalte der neuen Matrix CC. 

6.

Führe diese Schritte so lange aus, bis alle Zeilen der Matrix AA mit allen Spalten der Matrix BB verrechnet sind.

Mathematisch lässt sich das wie folgt ausdrücken: 

Multipliziere die Einträge der ii-ten Zeile von Matrix AA eintragsweise mit den Einträgen der jj-ten Spalte von Matrix BB, addiere sie und schreibe das Resultat an die Stelle cijc_{ij} der neuen Matrix CC.


AB=C(a11a12a13a21a22a23)(b11b12b21b22b31b32)=(a11b11+a12b21+a13b31a11b12+a12b22+a13b32a21b11+a22b21+a23b31a21b12+a22b22+a23b32)A\cdot B=C\\\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\b_{31}&b_{32}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_{11}\cdot b_{11}+a_{12}\cdot b_{21}+a_{13}\cdot b_{31}&a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22}+a_{13}\cdot b_{32}\\a_{21}\cdot b_{11}+a_{22}\cdot b_{21}+a_{23}\cdot b_{31}&a_{21}\cdot b_{12}+a_{22}\cdot b_{22}+a_{23}\cdot b_{32}\\\end{matrix}\right)​​


BeispielMultiplikation Matrix und Matrix

(321526)(215221)=(32+25+1(2)31+22+1(1)52+(2)+6(2)51+(2)2+6(1))=(146125)\left(\begin{matrix}3&2&1\\5&-2&6\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\\-2&-1\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\cdot2+2\cdot5+1\cdot\left(-2\right)&3\cdot1+2\cdot2+1\cdot\left(-1\right)\\5\cdot2+\left(-2\right)\cdot+6\cdot\left(-2\right)&5\cdot1+\left(-2\right)\cdot2+6\cdot\left(-1\right)\\\end{matrix}\right)=\underline{\left(\begin{matrix}14&6\\-12&-5\\\end{matrix}\right)}​​



Rechenregeln

Folgende Regeln gelten für Matrizen (A(A, BB und C)C), Vektoren ( v\overrightarrow v und w)\overrightarrow w) und Zahlen ( rr und s)s). 


Addition und Subtraktion

A+B=B+AA+B=B+A​​

kommutativ

Die Matrizen können in beliebiger Reihenfolge addiert werden.

(A+B)+C=A+(B+C)(A+B)+C=A+(B+C)​​

assoziativ

Klammern können bei der Addition von Matrizen beliebig gesetzt werden.

A+0nm=AA+0_{nm}=A​​

neutrales Element

Wird die Matrix mit der Nullmatrix summiert, ändert sich die Matrix nicht.


Matrix mal Zahl

(r+s)A=rA+sA\left(r+s\right)\cdot A=r\cdot A+s\cdot A​​

distributiv

Vielfache derselben Matrix können mit einer Klammer zusammengefasst werden.

r(A+B)=rA+rBr\cdot(A+B)=r\cdot A+r\cdot B​​

Das Vielfache einer Summe von Matrizen kann einzeln berechnet werden.


Matrix mal Vektor

A(v+w)=Av+AwA\cdot(\overrightarrow v + \overrightarrow w)=A\cdot\overrightarrow v +A\cdot \overrightarrow w​​

distributiv

Wird die Summe mehrerer Vektoren mit einer Matrix multipliziert, so kann die Matrix ausgeklammert werden.

(A+B)v=Av+Bv(A+B)\cdot\overrightarrow v=A\cdot\overrightarrow v + B\cdot \overrightarrow v​​

Wird die Summe mehrerer Matrizen mit einem Vektor multipliziert, so kann der Vektor ausgeklammert werden.


Matrix mal Matrix

ABBAA\cdot B\neq B\cdot A​​

nicht kommutativ

Wenn zwei Matrizen multipliziert werden, darf die Reihenfolge nicht verändert werden.

(AB)C=A(BC)(A\cdot B)\cdot C=A\cdot(B\cdot C)​​

assoziativ

Wenn mehr als zwei Matrizen multipliziert werden, können die Klammern beliebig gesetzt werden. Die Reihenfolge darf dennoch nicht geändert werden.

AEn=EnA=AA\cdot E_n=E_n\cdot A=A​​

neutrales Element

Wenn eine Matrix mit einer Einheitsmatrix multipliziert wird, verändert sich die Matrix nicht.

A(B+C)=AB+AC(A+B)C=AC+BCA\cdot(B+C)=A\cdot B+A\cdot C\\(A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C​​

distributiv

Wenn mehrere Matrizen mit derselben Matrix multipliziert werden, kann diese ausgeklammert werden.




Mathematik; Matrizen; 11.-12. Klasse Gymnasium; Matrizenrechnung: Vorgehen & Rechenregeln

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