Binomialkoeffizient: Formel und Berechnung

Definition

Der Binomialkoeffizient $$\binom{n}{k}$$​  ist eine Formel, welche vor allem in der Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung verwendet wird. Sie gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man „$$k$$​“ Elemente aus einer Menge von „$$n$$​“ verschiedenen Objekten auswählen kann.

Hinweis: Man sagt „$$k$$​ aus $$n$$​“, „$$n$$​ tief $$k$$​“ oder auch „$$n$$​ über $$k$$​“.

Formel

Der Binomialkoeffizient $$\binom{n}{k}$$​  ist folgendermaßen definiert:

$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$​​

Beispiel

$$\binom{12}{3}=\frac{12!}{3!(12-3)!}=\frac{12!}{3!9!}=220$$​​

Eigenschaften

Die folgenden Formeln sind für das Umformen des Binomialkoeffizienten oftmals hilfreich:

$$\begin{aligned}\binom{n}{0}&= 1= \binom{n}{n}\\\binom{n}{k}&= \binom{n}{n-k}\\\binom{n}{k}&= \frac{n-k+1}{k}\binom{n}{k-1}\\\binom{n+1}{k+1}&= \binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}\end{aligned}$$​​

Hinweis: Wenn "$$k>n$$​"  ist der Binomialkoeffizient $$\binom{n}{k}=0$$​. Wenn es nur „$$n$$​“ Elemente gibt, kann man nicht mehr als „$$n$$​“ Elemente aus der Menge auswählen.

Anwendungsbeispiel

Binomischer Lehrsatz

Der Binomialkoeffizient hilft bei der Berechnung des binomischen Lehrsatzes.

Der binomische Lehrsatz ermöglicht es, die Potenzen der Binome $$(x+y)^n$$​ von  zu bestimmen.

$$(x+y)^n=\binom{n}{0}\cdot x^n+\binom{n}{1}\cdot x^{n-1}\cdot y^1+⋯+\binom{n}{n-1}\cdot x^1\cdot y^{n-1}+\binom{n}{n}\cdot y^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \cdot x^{n-k}\cdot y^k$$​​

Beispiel - erste binomische Formel

$$(x+y)^2=\binom{2}{0}\cdot x^2\cdot y^0+\binom{2}{1}\cdot x^1\cdot y^1+\binom{2}{2}\cdot x^0\cdot y^2=x^2+2xy+y^2$$​​

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