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Erklärvideo

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Zusammenfassung

Binomialkoeffizient: Formel und Berechnung

Definition

Der Binomialkoeffizient (nk)\binom{n}{k}(kn​)​  ist eine Formel, welche vor allem in der Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung verwendet wird. Sie gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man „kkk​“ Elemente aus einer Menge von „nnn​“ verschiedenen Objekten auswählen kann.


Hinweis: Man sagt „kkk​ aus nnn​“, „nnn​ tief kkk​“ oder auch „nnn​ über kkk​“.



Formel

Der Binomialkoeffizient (nk)\binom{n}{k}(kn​)​  ist folgendermaßen definiert:


(nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}(kn​)=k!(n−k)!n!​​​


Beispiel


(123)=12!3!(12−3)!=12!3!9!=220\binom{12}{3}=\frac{12!}{3!(12-3)!}=\frac{12!}{3!9!}=220(312​)=3!(12−3)!12!​=3!9!12!​=220​​


Eigenschaften

Die folgenden Formeln sind für das Umformen des Binomialkoeffizienten oftmals hilfreich:


(n0)=1=(nn)(nk)=(nn−k)(nk)=n−k+1k(nk−1)(n+1k+1)=(nk)+(nk+1)\begin{aligned}\binom{n}{0}&= 1= \binom{n}{n}\\\binom{n}{k}&= \binom{n}{n-k}\\\binom{n}{k}&= \frac{n-k+1}{k}\binom{n}{k-1}\\\binom{n+1}{k+1}&= \binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}\end{aligned}(0n​)(kn​)(kn​)(k+1n+1​)​=1=(nn​)=(n−kn​)=kn−k+1​(k−1n​)=(kn​)+(k+1n​)​​​


Hinweis: Wenn "k>nk>nk>n​"  ist der Binomialkoeffizient (nk)=0\binom{n}{k}=0(kn​)=0​. Wenn es nur „nnn​“ Elemente gibt, kann man nicht mehr als „nnn​“ Elemente aus der Menge auswählen.



Anwendungsbeispiel

Binomischer Lehrsatz

Der Binomialkoeffizient hilft bei der Berechnung des binomischen Lehrsatzes.

Der binomische Lehrsatz ermöglicht es, die Potenzen der Binome (x+y)n(x+y)^n(x+y)n​ von  zu bestimmen.


(x+y)n=(n0)⋅xn+(n1)⋅xn−1⋅y1+⋯+(nn−1)⋅x1⋅yn−1+(nn)⋅yn=∑k=0n(nk)⋅xn−k⋅yk(x+y)^n=\binom{n}{0}\cdot x^n+\binom{n}{1}\cdot x^{n-1}\cdot y^1+⋯+\binom{n}{n-1}\cdot x^1\cdot y^{n-1}+\binom{n}{n}\cdot y^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \cdot x^{n-k}\cdot y^k(x+y)n=(0n​)⋅xn+(1n​)⋅xn−1⋅y1+⋯+(n−1n​)⋅x1⋅yn−1+(nn​)⋅yn=k=0∑n​(kn​)⋅xn−k⋅yk​​


Beispiel - erste binomische Formel


(x+y)2=(20)⋅x2⋅y0+(21)⋅x1⋅y1+(22)⋅x0⋅y2=x2+2xy+y2(x+y)^2=\binom{2}{0}\cdot x^2\cdot y^0+\binom{2}{1}\cdot x^1\cdot y^1+\binom{2}{2}\cdot x^0\cdot y^2=x^2+2xy+y^2(x+y)2=(02​)⋅x2⋅y0+(12​)⋅x1⋅y1+(22​)⋅x0⋅y2=x2+2xy+y2​​



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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wann ist der Binomialkoeffizient 0?

Wenn k>n ist der Binomialkoeffizient "n über k " = 0. Wenn es nur n Objekte gibt, kann man nicht k Elemente aus der Menge auswählen.

Was ist der Binomialkoeffizient?

Der Binomialkoeffizient "n über k" gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man k Elemente aus einer Menge von n verschiedenen Objekten auswählen kann.

Was bedeutet 4 über 2?

4 über 2 bedeutet, dass der Binomialkoeffizient berechnet werden soll. (4 über 2) = 4!/2!(4-2)! = 4!/2!2! = 4∙3∙2∙1/2∙1∙2∙1 = 24/4 = 6

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