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Lehrperson: Martin
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Zusammenfassung

Lineare Abbildungen mit Matrizen

Geometrische Abbildungen

Eine geometrische Abbildung ordnet jedem Punkt P(x∣y∣z)P(x\left|y\right|z)P(x∣y∣z)​ im Raum einen Bildpunkt P′(x′∣y′∣z′)P^\prime(x^\prime\left|y^\prime\right|z^\prime)P′(x′∣y′∣z′)​ zu. Die Abbildung kann mittels einer linearen Gleichung für jede Koordinate beschrieben werden:

​x′=a1x+b1y+c1z+d1y′=a2x+b2y+c2z+d2z′=a3x+b3y+c3z+d3{x\prime=a}_1x+b_1y+c_1z+d_1\\y^\prime=a_2x+b_2y+c_2z+d_2\\z^\prime=a_3x+b_3y+c_3z+d_3x′=a1​x+b1​y+c1​z+d1​y′=a2​x+b2​y+c2​z+d2​z′=a3​x+b3​y+c3​z+d3​​​

(x∣y∣z):(x|y|z):(x∣y∣z):​ Punkt

(x′∣y′∣z′): (x'|y'|z'):\ (x′∣y′∣z′): ​Bildpunkt

a, b, c, da,\ b,\ c,\ da, b, c, d​ nennt man Paramter.


Geometrische Abbildungen mit Matrizen darstellen

Statt einzelne Gleichungen für jede Koordinate aufzustellen, können Matrizen und Vektoren verwendet werden, um eine übersichtlichere Darstellung zu erhalten. Dabei wird der Ortsvektor des Punktes zunächst mit einer Matrix multipliziert und dann ein Verschiebungsvektor addiert.

​x′=a1x+b1y+c1z+d1y′=a2x+b2y+c2z+d2z′=a3x+b3y+c3z+d3{x\prime=a}_1x+b_1y+c_1z+d_1\\y^\prime=a_2x+b_2y+c_2z+d_2\\z^\prime=a_3x+b_3y+c_3z+d_3x′=a1​x+b1​y+c1​z+d1​y′=a2​x+b2​y+c2​z+d2​z′=a3​x+b3​y+c3​z+d3​​​

⇒(x′y′z′)=(a1a2a3b1b2b3c1c2c3)(xyz)+(d1d2d3)\left(\begin{matrix}x^\prime\\y^\prime\\z^\prime\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}d_1\\d_2\\d_3\\\end{matrix}\right)​x′y′z′​​=​a1​b1​c1​​a2​b2​c2​​a3​b3​c3​​​​xyz​​+​d1​d2​d3​​​​


Beispiel – Eine geometrische Abbildung ist durch die folgenden drei Gleichungen beschrieben: 

x′=x+2y y′=y+1 z′=x+3y−z−2x^\prime=x+2y\ \\y^\prime=y+1\ \\z^\prime=x+3y-z-2x′=x+2y y′=y+1 z′=x+3y−z−2​​

Diese Gleichungssystem kann also wie folgt zusammengefasst werden:


(x′y′z′)=(12001013−1)(xyz)+(01−2)\left(\begin{matrix}x^\prime\\y^\prime\\z^\prime\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&2&0\\0&1&0\\1&3&-1\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}0\\1\\-2\\\end{matrix}\right)​x′y′z′​​=​101​213​00−1​​​xyz​​+​01−2​​​​



Lineare Abbildungen

Eine lineare Abbildung ist eine geometrische Abbildung, die nur durch eine Matrix charakterisiert ist. Eine geometrische Abbildung ohne Verschiebungsvektor (Verschiebungsvektor = Nullvektor) ist also eine lineare Abbildung.


Dementsprechend lässt sich eine lineare Abbildung als Matrix-Vektor Multiplikation darstellen:

​A⋅v→=v→′A\cdot \overrightarrow v = \overrightarrow v'A⋅v=v′​​

​(a11a12a21a22)⋅(v1v2)=(a11⋅v1+ a12⋅v2a21⋅v1+ a22⋅v2)\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}v_1\\v_2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_{11}\cdot v_1&+ \,a_{12}\cdot v_2\\a_{21} \cdot v_1&+ \, a_{22} \cdot v_2\\\end{matrix}\right)(a11​a21​​a12​a22​​)⋅(v1​v2​​)=(a11​⋅v1​a21​⋅v1​​+a12​⋅v2​+a22​⋅v2​​)​​


A:A:A:​ Abbildungs- oder Transformationsmatrix

​v→:\overrightarrow v:v:​ ursprünglicher Vektor

​v→′:\overrightarrow v':v′:​ neuer, transformierter Vektor


Typische lineare Abbildungen

Die folgenden Abbildungen können immer durch eine Abbildungsmatrix AAA​ dargestellt werden. 

Typ

​
Beispiel
Vektor: v⃗=(12)\vec{v}=\binom{1}{2}v=(21​)​​
Beispiel
Punkt: B(3∣5)B(3|5)B(3∣5)​​
Drehung um 90°90°90°​​
Drehung um 90°90°90°​ im...
Uhrzeigersinn:
Es gilt: A=(01−10) A=\left(\begin{matrix}0&1\\-1&0\\\end{matrix}\right)\ A=(0−1​10​) ​​
Gegenuhrzeigersinn:
Es gilt: A′=(0−110) A'=\left(\begin{matrix}0&-1\\1&0\\\end{matrix}\right)\ A′=(01​−10​) ​​
um den Anfangspunkt des Vektors bei Vektoren oder um den Ursprung bei Punkten.
​A⋅v⃗=(2−1)A \cdot \vec{v}=\binom{2}{-1}A⋅v=(−12​)​​
​A′⋅v⃗=(−21)A' \cdot \vec{v}=\binom{-2}{1}A′⋅v=(1−2​)​​
​A⋅0B⃗=(5−3)A \cdot \vec{0B}=\binom{5}{-3}A⋅0B=(−35​)​​
​A′⋅0B⃗=(−53)A' \cdot \vec{0B}=\binom{-5}{3}A′⋅0B=(3−5​)​​
Drehung 180°180°180°​​
Drehung um 180°180°180°​:
Es gilt: A=(−100−1) A=\left(\begin{matrix}-1&0\\0&-1\\\end{matrix}\right)\ A=(−10​0−1​) ​​
um den Anfangspunkt des Vektors bei Vektoren oder um den Ursprung bei Punkten. 
​A⋅v⃗=(−1−2)A \cdot \vec{v}=\binom{-1}{-2}A⋅v=(−2−1​)​​
​A⋅0B⃗=(−3−5)A \cdot \vec{0B}=\binom{-3}{-5}A⋅0B=(−5−3​)​​
Spiegelung Horizontal
Der Vektor wird horizontal gespiegelt.
Es gilt: A=(−1001) A=\left(\begin{matrix}-1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)\ A=(−10​01​) ​​
Die Referenzachse bildet die y-Achse.
​A⋅v⃗=(−12)A \cdot \vec{v}=\binom{-1}{2}A⋅v=(2−1​)​​
​A⋅0B⃗=(−35)A \cdot \vec{0B}=\binom{-3}{5}A⋅0B=(5−3​)​​
Spiegelung Vertikal
Der Vektor wird vertikal gespiegelt.
Es gilt: A=(100−1) A=\left(\begin{matrix}1&0\\0&-1\\\end{matrix}\right)\ A=(10​0−1​) ​​
Die Referenzachse bildet die x-Achse.
​A⋅v⃗=(1−2)A \cdot \vec{v}=\binom{1}{-2}A⋅v=(−21​)​​
​A⋅0B⃗=(3−5)A \cdot \vec{0B}=\binom{3}{-5}A⋅0B=(−53​)​​
Streckung
Der Vektor wird um einen Streckfaktor ddd​ gestreckt oder gestaucht.
Es gilt: A=(d00d) A=\left(\begin{matrix}d&0\\0&d\\\end{matrix}\right)\ A=(d0​0d​) ​​
​d=2d=2d=2​​
​A⋅v⃗=(24)A \cdot \vec{v}=\binom{2}{4}A⋅v=(42​)​​
​d=2d=2d=2​​
​A⋅0B⃗=(610)A \cdot \vec{0B}=\binom{6}{10}A⋅0B=(106​)​​



Kombination von linearen Abbildungen

Werden mehrere aufeinanderfolgende Transformationen durchgeführt, entsteht eine neue lineare Abbildung.


Die Abbildungsmatrix der gesamten Transformation ist das Produkt der einzelnen Abbildungsmatrizen in umgekehrter Reihenfolge:

A=An⋅An−1⋅…⋅A2⋅A1A=A_n\cdot A_{n-1}\cdot\ldots\cdot A_2\cdot A_1A=An​⋅An−1​⋅…⋅A2​⋅A1​​​

 


Beispiel – Der Punkt B(2|4) wird um 180°180°180°​ gedreht und anschließend 3 Mal so weit weg vom Ursprung platziert, wie er sich zu Beginn befand. Berechne die Koordinaten des gedrehten und gestreckten Punktes B’.


Stelle die Abbildungsmatrix auf:

(3003)(−100−1)=(−300−3)⋅(24)\left(\begin{matrix}3&0\\0&3\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1&0\\0&-1\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&0\\0&-3\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}2\\4\\\end{matrix}\right)(30​03​)(−10​0−1​)=(−30​0−3​)⋅(24​)​​

Multipliziere die Abbildungsmatrix mit dem Vektor:

(−300−3)⋅(24)=(−6−12)‾\left(\begin{matrix}-3&0\\0&-3\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}2\\4\\\end{matrix}\right) =\underline{\left(\begin{matrix}-6\\-12\\\end{matrix}\right)}(−30​0−3​)⋅(24​)=(−6−12​)​​​


Mathematik; Matrizen; 11.-12. Klasse Gymnasium; Lineare Abbildungen mit Matrizen






                               

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was sind typische lineare Abbildungen?

Typische lineare Abbildungen sind zum Beispiel Drehungen und Spiegelungen im Raum.

Was ist eine lineare Abbildung?

Eine lineare Abbildung ist eine geometrische Abbildung, die allein durch eine Matrix (also ohne Verschiebungsvektor) charakterisiert ist.

Was ist eine geometrische Abbildung?

Eine geometrische Abbildung ist eine Abbildung, die jedem Punkt im Raum einen Bildpunkt im Raum zuordnet.

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