Lineare Abbildungen mit Matrizen

Geometrische Abbildungen

Eine geometrische Abbildung ordnet jedem Punkt $$P(x\left|y\right|z)$$​ im Raum einen Bildpunkt $$P^\prime(x^\prime\left|y^\prime\right|z^\prime)$$​ zu. Die Abbildung kann mittels einer linearen Gleichung für jede Koordinate beschrieben werden:

Geometrische Abbildungen mit Matrizen darstellen

Statt einzelne Gleichungen für jede Koordinate aufzustellen, können Matrizen und Vektoren verwendet werden, um eine übersichtlichere Darstellung zu erhalten. Dabei wird der Ortsvektor des Punktes zunächst mit einer Matrix multipliziert und dann ein Verschiebungsvektor addiert.

Beispiel – Eine geometrische Abbildung ist durch die folgenden drei Gleichungen beschrieben: 

$$x^\prime=x+2y\ \\y^\prime=y+1\ \\z^\prime=x+3y-z-2$$​​

Diese Gleichungssystem kann also wie folgt zusammengefasst werden:

$$\left(\begin{matrix}x^\prime\\y^\prime\\z^\prime\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&2&0\\0&1&0\\1&3&-1\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}0\\1\\-2\\\end{matrix}\right)$$​​

Lineare Abbildungen

Eine lineare Abbildung ist eine geometrische Abbildung, die nur durch eine Matrix charakterisiert ist. Eine geometrische Abbildung ohne Verschiebungsvektor (Verschiebungsvektor = Nullvektor) ist also eine lineare Abbildung.

Dementsprechend lässt sich eine lineare Abbildung als Matrix-Vektor Multiplikation darstellen:

​$$A\cdot \overrightarrow v = \overrightarrow v'$$​​

​$$\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}v_1\\v_2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_{11}\cdot v_1&+ \,a_{12}\cdot v_2\\a_{21} \cdot v_1&+ \, a_{22} \cdot v_2\\\end{matrix}\right)$$​​

$$A:$$​ Abbildungs- oder Transformationsmatrix

​$$\overrightarrow v:$$​ ursprünglicher Vektor

​$$\overrightarrow v':$$​ neuer, transformierter Vektor

Typische lineare Abbildungen

Die folgenden Abbildungen können immer durch eine Abbildungsmatrix $$A$$​ dargestellt werden. 

Kombination von linearen Abbildungen

Werden mehrere aufeinanderfolgende Transformationen durchgeführt, entsteht eine neue lineare Abbildung.

Die Abbildungsmatrix der gesamten Transformation ist das Produkt der einzelnen Abbildungsmatrizen in umgekehrter Reihenfolge:

$$A=A_n\cdot A_{n-1}\cdot\ldots\cdot A_2\cdot A_1$$​​

Beispiel – Der Punkt B(2|4) wird um $$180°$$​ gedreht und anschließend 3 Mal so weit weg vom Ursprung platziert, wie er sich zu Beginn befand. Berechne die Koordinaten des gedrehten und gestreckten Punktes B’.

Stelle die Abbildungsmatrix auf:

$$\left(\begin{matrix}3&0\\0&3\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1&0\\0&-1\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&0\\0&-3\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}2\\4\\\end{matrix}\right)$$​​

Multipliziere die Abbildungsmatrix mit dem Vektor:

$$\left(\begin{matrix}-3&0\\0&-3\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}2\\4\\\end{matrix}\right) =\underline{\left(\begin{matrix}-6\\-12\\\end{matrix}\right)}$$​​