Skalarprodukt: Berechnung und Rechenregeln

Definition

Das Skalarprodukt ordnet zwei Vektoren eine spezifische Zahl zu. Diese Zahl wird für die Berechnung des Winkels zwischen den Vektoren benötigt.

Berechnung

Um die spezifische Zahl zu erhalten, müssen die Vektoren komponentenweise multipliziert werden. Daraus wird dann die Summe gebildet:

​$$\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b=\begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\end{pmatrix}=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$$​​

Winkelformel

Für den Winkel zwischen zwei Vektoren gilt:

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Senkrechte Vektoren

Zwei Vektoren sind senkrecht (orthogonal) zueinander, wenn das Ergebnis des Skalarprodukts null ist:

$$\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0$$​​

Rechenregeln

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Betrag eines Vektors

Der Betrag eines Vektors kann als Wurzel des Skalarprodukts mit sich selbst betrachtet werden:

$$\lvert \overrightarrow a \rvert=\sqrt{ \overrightarrow a \cdot \overrightarrow a }$$​​

Dies gilt (auch in 2D), da:

$$\lvert \overrightarrow a \rvert=\sqrt{ a_x^2+a_y^2+a_z^2 } = \sqrt{a_xa_x+a_ya_y+a_za_z}= \sqrt { \overrightarrow a \cdot \overrightarrow a }$$​​