Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel

Folgende Regeln dienen beim Ableiten von zusammengesetzten Funktionen.

Produktregel

Die Produktregeln verwendet man, wenn Funktionen multipliziert werden.

REGEL

VORGEHEN BEIM ABLEITEN

Beispiel

$$f\left(x\right)=\left(x^3-1\right)\cdot\left(2x^5+1\right)$$​​

Funktionen einzelnen ableiten:

Zusammenstellung nach Regel: 

​$$f^\prime\left(x\right)=3x^2\cdot\left(2x^5+1\right)+\left(x^3-1\right)\cdot10x^4$$​​

Zusammenrechnen und vereinfachen:

$$=6x^7+3x^2+10x^7-10x^4=\underline{16x^7-10x^4+3x^2}$$​​

Mehr als zwei Funktionen

Auch bei der Multiplikation von mehr als zwei Funktionen kann man die Produktregeln verwenden:

Kettenregel

Die Kettenregeln verwendet man, wenn Funktionen verkettet sind. Das heißt, dass eine Funktion eine zweite Funktion umschließt.

REGEL

VORGEHEN BEIM ABLEITEN

Beispiel

$$f\left(x\right)=\left(x^2-3\right)^3$$​​

Funktionen einzelnen ableiten:

Zusammenstellung nach Regel: 

$$f^\prime\left(x\right)=\underbrace{{3\cdot\left(x^2-3\right)}^2}_{u'(v\left(x\right))}\cdot\underbrace{2x}_{v'(x)}$$​​

Zusammenrechnen und vereinfachen:

$$=\underline{{6x\cdot\left(x^2-3\right)}^2}$$​​

Quotientenregel

Die Quotientenregeln verwendet man, wenn Funktionen in einem Bruch stehen (dividiert werden).

REGEL

VORGEHEN BEIM ABLEITEN

Beispiel

$$f\left(x\right)=\frac{x^3+2}{2x^2}$$​​

Funktionen einzeln ableiten:

Zusammenstellung nach Regel: 

$$f^\prime\left(x\right)=\frac{3x^2\cdot2x^2-\left(x^3+2\right)\cdot4x}{\left(2x^2\right)^2}$$​​

Zusammenrechnen und vereinfachen:

$$=\frac{6x^4-\left(x^3+2\right)\cdot4x}{4x^4}$$​​

Ausklammern und kürzen:

$$=\frac{2x\left(3x^3-\left(x^3+2\right)\cdot2\right)}{4x^4}=\frac{3x^3-\left(x^3+2\right)\cdot2}{2x^3}=\ \frac{3x^3-2x^3-4}{2x^3}$$​​

Weiter vereinfachen:

$$\underline{=\frac{x^3-4}{2x^3}}$$​​

Vermischte Regeln

Oftmals sind Funktionen so zusammengesetzt, dass man mehrere Regeln beim Ableiten anwenden muss.

Verwende die Regeln schrittweise von außen nach innen.

Beispiele

$$f\left(x\right)=3x\cdot\sqrt{7x^2+1}$$​​

Schritt 1: Produktregel

Schritt 2: Kettenregel für $$v\left(x\right)=\sqrt{7x^2+1}=a(b\left(x\right))$$

Kettenregel zusammensetzen:

$$v^\prime\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(7x^2+1\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot14x={7x\left(7x^2+1\right)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{7x}{\sqrt{7x^2+1}}$$​​

Produktregel zusammensetzen:

$$f'\left(x\right)=\underbrace{3}_{u\prime(x)}\cdot\underbrace{\sqrt{7x^2+1}}_{v(x)}+\underbrace{3x}_{u(x)}\cdot\underbrace{\frac{7x}{\sqrt{7x^2+1}}}_{v\prime(x)}$$​​

Vereinfachen:

$$f^\prime\left(x\right)=3\cdot\sqrt{7x^2+1}\cdot\frac{\sqrt{7x^2+1}}{\sqrt{7x^2+1}}+\frac{21x^2}{\sqrt{7x^2+1}}=\frac{3\cdot(7x^2+1)}{\sqrt{7x^2+1}}+\frac{21x^2}{\sqrt{7x^2+1}}$$​​

$$=\frac{21x^2+3+21x^2}{\sqrt{7x^2+1}}=\underline{\frac{42x^2+3}{\sqrt{7x^2+1}}}$$​​