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Erklärvideo

Lehrperson: Nele

Zusammenfassung

Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel

Folgende Regeln dienen beim Ableiten von zusammengesetzten Funktionen.


Produktregel

Die Produktregeln verwendet man, wenn Funktionen multipliziert werden.


REGEL

Funktion

Ableitung f′(x)f'\left(x\right)f′(x)​

​u(x)⋅v(x)u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)u(x)⋅v(x)​​

​u′(x)⋅v(x)⏟u abgeleitet+u(x)⋅v′(x)⏟v abgeleitet\underbrace{u'(x)\cdot v\left(x\right)}_{u\ abgeleitet}+\underbrace{u\left(x\right)\cdot v'(x)}_{v\ abgeleitet}u abgeleitetu′(x)⋅v(x)​​+v abgeleitetu(x)⋅v′(x)​​​​


VORGEHEN BEIM ABLEITEN

1.

Leite die multiplizierten Funktionen einzeln ab.

2.

Füge die Funktionen und deren Ableitungen entsprechend der obigen Regel zusammen.

3.

Vereinfache den Term so weit wie möglich.

Tipp: Bei Funktionen mit exe^xex​  kann man meist exe^xex​ ausklammern.


Beispiel

f(x)=(x3−1)⋅(2x5+1)f\left(x\right)=\left(x^3-1\right)\cdot\left(2x^5+1\right)f(x)=(x3−1)⋅(2x5+1)​​

Funktionen einzelnen ableiten:

Mathematik; Ableitung und Differenzialrechnung; 10. Klasse Gymnasium; Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel


Zusammenstellung nach Regel: 

​f′(x)=3x2⋅(2x5+1)+(x3−1)⋅10x4f^\prime\left(x\right)=3x^2\cdot\left(2x^5+1\right)+\left(x^3-1\right)\cdot10x^4f′(x)=3x2⋅(2x5+1)+(x3−1)⋅10x4​​

Zusammenrechnen und vereinfachen:

=6x7+3x2+10x7−10x4=16x7−10x4+3x2‾=6x^7+3x^2+10x^7-10x^4=\underline{16x^7-10x^4+3x^2}=6x7+3x2+10x7−10x4=16x7−10x4+3x2​​​


Mehr als zwei Funktionen

Auch bei der Multiplikation von mehr als zwei Funktionen kann man die Produktregeln verwenden:

Mathematik; Ableitung und Differenzialrechnung; 10. Klasse Gymnasium; Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel



Kettenregel

Die Kettenregeln verwendet man, wenn Funktionen verkettet sind. Das heißt, dass eine Funktion eine zweite Funktion umschließt.


REGEL

Mathematik; Ableitung und Differenzialrechnung; 10. Klasse Gymnasium; Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel


VORGEHEN BEIM ABLEITEN

1.

Leite die äußere Funktion u(x)u\left(x\right)u(x)​ und innere Funktion v(x)v\left(x\right)v(x)​ einzeln ab.

Tipp zur äußeren Funktion: Notiere Dir an der Stelle der inneren Funktion ein xxx​. Leite dann ab.

2.

Füge die Funktionen und deren Ableitungen entsprechend der Regel zusammen.

Tipp zur Ableitung der äußeren Funktion: Notiere Dir an der Stelle des xxx​ die innere Funktion (unabgeleitet).

3.

Vereinfache den Term so weit wie möglich.


Beispiel

f(x)=(x2−3)3f\left(x\right)=\left(x^2-3\right)^3f(x)=(x2−3)3​​

Funktionen einzelnen ableiten:

Mathematik; Ableitung und Differenzialrechnung; 10. Klasse Gymnasium; Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel


Zusammenstellung nach Regel: 

f′(x)=3⋅(x2−3)2⏟u′(v(x))⋅2x⏟v′(x)f^\prime\left(x\right)=\underbrace{{3\cdot\left(x^2-3\right)}^2}_{u'(v\left(x\right))}\cdot\underbrace{2x}_{v'(x)}f′(x)=u′(v(x))3⋅(x2−3)2​​⋅v′(x)2x​​​​

Zusammenrechnen und vereinfachen:

=6x⋅(x2−3)2‾=\underline{{6x\cdot\left(x^2-3\right)}^2}=6x⋅(x2−3)2​​​



Quotientenregel

Die Quotientenregeln verwendet man, wenn Funktionen in einem Bruch stehen (dividiert werden).


REGEL

Mathematik; Ableitung und Differenzialrechnung; 10. Klasse Gymnasium; Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel


VORGEHEN BEIM ABLEITEN

1.

Leite die Funktion im Zähler z(x)z\left(x\right)z(x)​ und die Funktion im Nenner n(x)n\left(x\right)n(x)​ einzeln ab.

2.

Füge die Funktionen und deren Ableitungen entsprechend der obigen Regel zusammen.

3.

Vereinfache den Term so weit wie möglich.

Tipp: Versuche im Zähler auszuklammern. Oftmals kann man kürzen.

Beispiel

f(x)=x3+22x2f\left(x\right)=\frac{x^3+2}{2x^2}f(x)=2x2x3+2​​​

Funktionen einzeln ableiten:

Mathematik; Ableitung und Differenzialrechnung; 10. Klasse Gymnasium; Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel


Zusammenstellung nach Regel: 

f′(x)=3x2⋅2x2−(x3+2)⋅4x(2x2)2f^\prime\left(x\right)=\frac{3x^2\cdot2x^2-\left(x^3+2\right)\cdot4x}{\left(2x^2\right)^2}f′(x)=(2x2)23x2⋅2x2−(x3+2)⋅4x​​​

Zusammenrechnen und vereinfachen:

=6x4−(x3+2)⋅4x4x4=\frac{6x^4-\left(x^3+2\right)\cdot4x}{4x^4}=4x46x4−(x3+2)⋅4x​​​

Ausklammern und kürzen:

=2x(3x3−(x3+2)⋅2)4x4=3x3−(x3+2)⋅22x3= 3x3−2x3−42x3=\frac{2x\left(3x^3-\left(x^3+2\right)\cdot2\right)}{4x^4}=\frac{3x^3-\left(x^3+2\right)\cdot2}{2x^3}=\ \frac{3x^3-2x^3-4}{2x^3}=4x42x(3x3−(x3+2)⋅2)​=2x33x3−(x3+2)⋅2​= 2x33x3−2x3−4​​​

Weiter vereinfachen:

=x3−42x3‾\underline{=\frac{x^3-4}{2x^3}}=2x3x3−4​​​​



Vermischte Regeln

Oftmals sind Funktionen so zusammengesetzt, dass man mehrere Regeln beim Ableiten anwenden muss.

Verwende die Regeln schrittweise von außen nach innen.


Beispiele

f(x)=3x⋅7x2+1f\left(x\right)=3x\cdot\sqrt{7x^2+1}f(x)=3x⋅7x2+1​​​

Schritt 1: Produktregel

Mathematik; Ableitung und Differenzialrechnung; 10. Klasse Gymnasium; Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel

Schritt 2: Kettenregel für v(x)=7x2+1=a(b(x))v\left(x\right)=\sqrt{7x^2+1}=a(b\left(x\right))v(x)=7x2+1​=a(b(x))

Mathematik; Ableitung und Differenzialrechnung; 10. Klasse Gymnasium; Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel


Kettenregel zusammensetzen:

v′(x)=12(7x2+1)−12⋅14x=7x(7x2+1)−12=7x7x2+1v^\prime\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(7x^2+1\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot14x={7x\left(7x^2+1\right)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{7x}{\sqrt{7x^2+1}}v′(x)=21​(7x2+1)−21​⋅14x=7x(7x2+1)−21​=7x2+1​7x​​​

Produktregel zusammensetzen:

f′(x)=3⏟u′(x)⋅7x2+1⏟v(x)+3x⏟u(x)⋅7x7x2+1⏟v′(x)f'\left(x\right)=\underbrace{3}_{u\prime(x)}\cdot\underbrace{\sqrt{7x^2+1}}_{v(x)}+\underbrace{3x}_{u(x)}\cdot\underbrace{\frac{7x}{\sqrt{7x^2+1}}}_{v\prime(x)}f′(x)=u′(x)3​​⋅v(x)7x2+1​​​+u(x)3x​​⋅v′(x)7x2+1​7x​​​​​

Vereinfachen:

f′(x)=3⋅7x2+1⋅7x2+17x2+1+21x27x2+1=3⋅(7x2+1)7x2+1+21x27x2+1f^\prime\left(x\right)=3\cdot\sqrt{7x^2+1}\cdot\frac{\sqrt{7x^2+1}}{\sqrt{7x^2+1}}+\frac{21x^2}{\sqrt{7x^2+1}}=\frac{3\cdot(7x^2+1)}{\sqrt{7x^2+1}}+\frac{21x^2}{\sqrt{7x^2+1}}f′(x)=3⋅7x2+1​⋅7x2+1​7x2+1​​+7x2+1​21x2​=7x2+1​3⋅(7x2+1)​+7x2+1​21x2​​​


=21x2+3+21x27x2+1=42x2+37x2+1‾=\frac{21x^2+3+21x^2}{\sqrt{7x^2+1}}=\underline{\frac{42x^2+3}{\sqrt{7x^2+1}}}=7x2+1​21x2+3+21x2​=7x2+1​42x2+3​​​​





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Teil 1

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Differentialrechnung: Definition & Vorgehen

Teil 2

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Ableitung Exponential- und Logarithmusfunktion

Teil 3

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Ableitung Exponentialfunktion & Ableitungsregeln

Teil 4

Ableitung Exponentialfunktion & Ableitungsregeln

Ableitung trigonometrischer Funktionen

Teil 5

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Ableitung Potenzfunktion und Ableitungsregeln

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Ableitung Potenzfunktion und Ableitungsregeln

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Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel

Teil 7

Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie funktioniert die Quotientenregel beim Ableiten?

Die Quotientenregeln verwendet man, wenn Funktionen in einem Bruch stehen (dividiert werden). Aus z(x)/n(x) wird abgeleitet (z'(x)*n(x)-z(x)*n'(x))/(n(x))^2.

Wie funktioniert die Kettenregel beim Ableiten?

Die Kettenregeln verwendet man, wenn Funktionen verkettet sind. Das heißt, dass eine Funktion eine zweite Funktion umschließt. Die Ableitung ist dann innere Ableitung mal äußere Ableitung. Aus u(v(x)) wird abgeleitet u'(v(x))*v'(x).

Wie funktioniert die Produktregel beim Ableiten?

Man benutzt sie, wenn zwei Funktionen miteinander multipliziert werden. Aus u(x)*v(x) wird abgeleitet u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x).

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