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Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit

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Lehrperson: Martin

Zusammenfassung

Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit

Definition

Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses eintritt, unter der Voraussetzung, dass ein anderes bereits eingetreten ist. Das bereits eingetretene Ereignis bezeichnet man als «Bedingung» für das beobachtete Ereignis.


Schreibweise

 «Wahrscheinlichkeit, dass AA​ eintritt, unter der Bedingung, dass BB​ eingetreten ist.»

 

P(AB)=PB(A)P(A|B)=P_B (A)​​

AA​​

Untersuchtes Ereignis

BB​​

Bedingung


Beispiel

Die Wahrscheinlichkeit, dass es schneit, wenn die Temperatur über 1010Grad ist.


P("es schneit""Temperatur u¨ber 10 Grad")P("es\, schneit"|"Temperatur\, über \,10 \,Grad")​​


0000Da für Schneefall im allgemeinen Temperaturen um 00​ Grad von Nöten sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Temperatur von über 1010 Grad Schnee fällt, sehr klein. Daher wird P("es schneit""Temperatur u¨ber 10 Grad")P("es\, schneit"|"Temperatur\, über \,10 \,Grad")  einen sehr kleinen Wert annehmen.


Formel​

P(AB)=P(AB)P(B)P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)} ​​

P(AB)P(A∩B)

Wahrscheinlichkeit, dass AA  und BB   beide eintreten.

P(B)P(B)

Wahrscheinlichkeit, dass BB  eintritt.


Vorgehen

Bei zählbaren Ereignissen.


1.

Zähler: Zähle alle Ergebnisse, bei denen Ereignis AA  und Ereignis  eintreten.

2.

Nenner: Zähle alle Ergebnisse, bei denen Ereignis BB  eintritt.

3.

Berechne  mit der Formel:

P(AB)=Anzahl Ergebnisse mit A und BAnzahl Ergebnisse mit BP(A|B)=\frac{Anzahl \,Ergebnisse \,mit \,A \,und \,B}{Anzahl \,Ergebnisse \,mit\, B}


​​


Beispiel

Personen wurden auf der Strasse zufällig gefragt, ob sie einen Führerschein haben. 3434befragte Männer hatten einen Führerschein. Insgesamt hatten 5050Personen einen Führerschein.


Wahrscheinlichkeit, dass die befragte Person ein Mann ist, wenn sie einen Führerschein hat:


P(MannFu¨hrerschein)=Anzahl Ma¨nner mit Fu¨hrerscheinAnzahl Personen mit Fu¨hrerschein=3450=0,68=68%P(Mann|Führerschein)=\frac{Anzahl\, Männer\, mit \,Führerschein}{Anzahl\, Personen\, mit\, Führerschein}=\frac{34}{50}=0,68=68\%​​



Bedingte Wahrscheinlichkeiten - Baumdiagramm

Bedingte Wahrscheinlichkeiten lassen sich im Baumdiagramm darstellen. Der Wahrscheinlichkeitsbaum hilft beim Berechnen der einzelnen Wahrscheinlichkeiten.


Mathematik; Wahrscheinlichkeit; 9. Klasse Gymnasium; Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit

Hier gilt die Formel:

P(AB)=P(A)P(AB)P(A∩B)=P(A)\cdot P(A|B)​​


Hinweis: Wenn AA​ und BB​ unabhängig voneinander eintreten, stehen auf der zweiten Stufe P(A)P(A)​ und P(Aˉ)P(\bar{A})​.



Bedingte Wahrscheinlichkeiten - Vierfeldertafel

Zur Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten hilft das Aufstellen einer Vierfeldertafel.


Mathematik; Wahrscheinlichkeit; 9. Klasse Gymnasium; Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit


Beispiel

Die Eisdiele Polarstern verkauft nur Schokoladeneis und Vanilleeis. Entweder kann man eine Kugel in der Waffel bestellen oder eine Kugel im Becher. Folgende Tabelle zeigt von 100100​ Personen, wie viele was bestellt haben.


Schokolade
Vanille
Total
Becher
3535​​
3030​​
6565​​
Waffel
1515​​
2020​​
3535​​
Total
5050​​
5050​​
100100​​


Dargestellt in der Vierfeldertafel:



Schokolade
Vanille
\sum​​
Becher
35100=0,35\frac{35}{100}=0,35​​
30100=0,3\frac{30}{100}=0,3​​
65100=0,65\frac{65}{100}=0,65​​
Waffel
15100=0,15\frac{15}{100}=0,15​​
20100=0,2\frac{20}{100}=0,2​​
35100=0,35\frac{35}{100}=0,35​​
\sum​​
50100=0,5\frac{50}{100}=0,5​​
50100=0,5\frac{50}{100}=0,5​​
11​​



Bedingte Wahrscheinlichkeit: Wahrscheinlichkeit, dass eine Person Schokoladeneis gekauft hat, wenn im Becher serviert wurde:


P(SchokoladeBecher)=0,350,650,538P(Schokolade|Becher)=\frac{0,35}{0,65}≈\underline{0,538}




Unabhängigkeit

 Zwei Ereignisse AA​ und BB​ sind unabhängig voneinander, wenn das Eintreten des einen Ereignisses das andere Ereignis nicht beeinflusst.


Mathematische Bedeutung

Sind zwei Ereignisse unabhängig, dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit gleich der unbedingten Wahrscheinlichkeit:


P(AB)=PB(A)=P(A)P(A|B)=P_B (A)=P(A)​​


Daher ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeit gleich dem Produkt aus den einzelnen Wahrscheinlichkeiten:


P(AB)=P(AB)P(B)=P(A)P(B)P(A∩B)=P(A|B)\cdot P(B)=\underline{P(A)\cdot P(B)}​​


Prüfen auf Unabhängigkeit / Abhängigkeit

VORGEHEN

1.

Bestimme P(AB)P(A∩B)P(A)P(A)  und P(B)P(B)

2.

Vergleiche:

  • Wenn P(AB)=P(A)P(B)P(A∩B)=P(A)\cdot P(B)  dann sind AA  und BB  unabhängig
  • Wenn P(AB)P(A)P(B)P(A∩B)≠P(A)\cdot P(B)  dann sind sie abhängig


Beispiel - zur Vierfeldertafel der Eissorten von oben
Ist die Wahrscheinlichkeit für die Wahl von Schokoladeneis unabhängig von der Wahl eines Bechers?
Wahrscheinlichkeiten berechnen:


P(SchokoladeBecher)=0,35P(Schokolade)P(Becher)=0,50,65=0,325P(Schokolade∩Becher)=0,35\\P(Schokolade)\cdot P(Becher)=0,5\cdot 0,65=0,325​​


Die Wahrscheinlichkeiten sind nicht gleich. Die Ereignisse sind somit abhängig voneinander.





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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Woher weiß man, ob zwei Ereignisse unabhängig sind?

Was versteht man unter der bedingten Wahrscheinlichkeit?

Wie berechnet man die bedingte Wahrscheinlichkeit?

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