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Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit

Satz von Bayes: Definition & Formel

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Erklärvideo

Lehrperson: Martin

Zusammenfassung

Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit

Definition

Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses eintritt, unter der Voraussetzung, dass ein anderes bereits eingetreten ist. Das bereits eingetretene Ereignis bezeichnet man als «Bedingung» für das beobachtete Ereignis.


Schreibweise

 «Wahrscheinlichkeit, dass AAA​ eintritt, unter der Bedingung, dass BBB​ eingetreten ist.»

 

​P(A∣B)=PB(A)P(A|B)=P_B (A)P(A∣B)=PB​(A)​​

​AAA​​

Untersuchtes Ereignis

​BBB​​

Bedingung


Beispiel

Die Wahrscheinlichkeit, dass es schneit, wenn die Temperatur über 101010​ Grad ist.


​P("es schneit"∣"Temperatur u¨ber 10 Grad")P("es\, schneit"|"Temperatur\, über \,10 \,Grad")P("esschneit"∣"Temperaturu¨ber10Grad")​​


000000Da für Schneefall im allgemeinen Temperaturen um 000​ Grad von Nöten sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Temperatur von über 101010 Grad Schnee fällt, sehr klein. Daher wird P("es schneit"∣"Temperatur u¨ber 10 Grad")P("es\, schneit"|"Temperatur\, über \,10 \,Grad")P("esschneit"∣"Temperaturu¨ber10Grad")  einen sehr kleinen Wert annehmen.

​


Formel​

​P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)} P(A∣B)=P(B)P(A∩B)​​​

P(A∩B)P(A∩B)P(A∩B)​

Wahrscheinlichkeit, dass AAA​  und BBB​   beide eintreten.

P(B)P(B)P(B)​

Wahrscheinlichkeit, dass BBB​  eintritt.


Vorgehen

Bei zählbaren Ereignissen.


1.

Zähler: Zähle alle Ergebnisse, bei denen Ereignis AAA​  und Ereignis  eintreten.

2.

Nenner: Zähle alle Ergebnisse, bei denen Ereignis BBB​  eintritt.

3.

Berechne  mit der Formel:

P(A∣B)=Anzahl Ergebnisse mit A und BAnzahl Ergebnisse mit BP(A|B)=\frac{Anzahl \,Ergebnisse \,mit \,A \,und \,B}{Anzahl \,Ergebnisse \,mit\, B}P(A∣B)=AnzahlErgebnissemitBAnzahlErgebnissemitAundB​


​​


Beispiel

Personen wurden auf der Strasse zufällig gefragt, ob sie einen Führerschein haben. 343434​ befragte Männer hatten einen Führerschein. Insgesamt hatten 505050​ Personen einen Führerschein.


Wahrscheinlichkeit, dass die befragte Person ein Mann ist, wenn sie einen Führerschein hat:


P(Mann∣Fu¨hrerschein)=Anzahl Ma¨nner mit Fu¨hrerscheinAnzahl Personen mit Fu¨hrerschein=3450=0,68=68%P(Mann|Führerschein)=\frac{Anzahl\, Männer\, mit \,Führerschein}{Anzahl\, Personen\, mit\, Führerschein}=\frac{34}{50}=0,68=68\%P(Mann∣Fu¨hrerschein)=AnzahlPersonenmitFu¨hrerscheinAnzahlMa¨nnermitFu¨hrerschein​=5034​=0,68=68%​​



Bedingte Wahrscheinlichkeiten - Baumdiagramm

Bedingte Wahrscheinlichkeiten lassen sich im Baumdiagramm darstellen. Der Wahrscheinlichkeitsbaum hilft beim Berechnen der einzelnen Wahrscheinlichkeiten.


Mathematik; Wahrscheinlichkeit; 9. Klasse Gymnasium; Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit

Hier gilt die Formel:

P(A∩B)=P(A)⋅P(A∣B)P(A∩B)=P(A)\cdot P(A|B)P(A∩B)=P(A)⋅P(A∣B)​​


Hinweis: Wenn AAA​ und BBB​ unabhängig voneinander eintreten, stehen auf der zweiten Stufe P(A)P(A)P(A)​ und P(Aˉ)P(\bar{A})P(Aˉ)​.



Bedingte Wahrscheinlichkeiten - Vierfeldertafel

Zur Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten hilft das Aufstellen einer Vierfeldertafel.


Mathematik; Wahrscheinlichkeit; 9. Klasse Gymnasium; Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit


Beispiel

Die Eisdiele Polarstern verkauft nur Schokoladeneis und Vanilleeis. Entweder kann man eine Kugel in der Waffel bestellen oder eine Kugel im Becher. Folgende Tabelle zeigt von 100100100​ Personen, wie viele was bestellt haben.
Schokolade
Vanille
Total
Becher
​353535​​
​303030​​
​656565​​
Waffel
​151515​​
202020​​
​353535​​
Total
​505050​​
​505050​​
​100100100​​

​

Dargestellt in der Vierfeldertafel:
Schokolade
Vanille
∑\sum∑​​
Becher
​35100=0,35\frac{35}{100}=0,3510035​=0,35​​
​30100=0,3\frac{30}{100}=0,310030​=0,3​​
​65100=0,65\frac{65}{100}=0,6510065​=0,65​​
Waffel
​15100=0,15\frac{15}{100}=0,1510015​=0,15​​
​20100=0,2\frac{20}{100}=0,210020​=0,2​​
​35100=0,35\frac{35}{100}=0,3510035​=0,35​​
​∑\sum∑​​
​50100=0,5\frac{50}{100}=0,510050​=0,5​​
​50100=0,5\frac{50}{100}=0,510050​=0,5​​
​111​​



Bedingte Wahrscheinlichkeit: Wahrscheinlichkeit, dass eine Person Schokoladeneis gekauft hat, wenn im Becher serviert wurde:

​

​P(Schokolade∣Becher)=0,350,65≈0,538‾P(Schokolade|Becher)=\frac{0,35}{0,65}≈\underline{0,538}P(Schokolade∣Becher)=0,650,35​≈0,538​

​​



Unabhängigkeit

 Zwei Ereignisse AAA​ und BBB​ sind unabhängig voneinander, wenn das Eintreten des einen Ereignisses das andere Ereignis nicht beeinflusst.


Mathematische Bedeutung

Sind zwei Ereignisse unabhängig, dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit gleich der unbedingten Wahrscheinlichkeit:


P(A∣B)=PB(A)=P(A)P(A|B)=P_B (A)=P(A)P(A∣B)=PB​(A)=P(A)​​


Daher ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeit gleich dem Produkt aus den einzelnen Wahrscheinlichkeiten:


P(A∩B)=P(A∣B)⋅P(B)=P(A)⋅P(B)‾P(A∩B)=P(A|B)\cdot P(B)=\underline{P(A)\cdot P(B)}P(A∩B)=P(A∣B)⋅P(B)=P(A)⋅P(B)​​​


Prüfen auf Unabhängigkeit / Abhängigkeit

VORGEHEN

1.

Bestimme P(A∩B)P(A∩B)P(A∩B)​, P(A)P(A)P(A)​  und P(B)P(B)P(B)​

2.

Vergleiche:

  • Wenn P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A∩B)=P(A)\cdot P(B) P(A∩B)=P(A)⋅P(B)​  dann sind AAA​  und BBB​  unabhängig
  • Wenn P(A∩B)≠P(A)⋅P(B)P(A∩B)≠P(A)\cdot P(B)P(A∩B)=P(A)⋅P(B)​  dann sind sie abhängig

​

Beispiel - zur Vierfeldertafel der Eissorten von oben
Ist die Wahrscheinlichkeit für die Wahl von Schokoladeneis unabhängig von der Wahl eines Bechers?
Wahrscheinlichkeiten berechnen:


P(Schokolade∩Becher)=0,35P(Schokolade)⋅P(Becher)=0,5⋅0,65=0,325P(Schokolade∩Becher)=0,35\\P(Schokolade)\cdot P(Becher)=0,5\cdot 0,65=0,325P(Schokolade∩Becher)=0,35P(Schokolade)⋅P(Becher)=0,5⋅0,65=0,325​​


Die Wahrscheinlichkeiten sind nicht gleich. Die Ereignisse sind somit abhängig voneinander.




​
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Lerne mit Grundlagen

Lerne in kleinen Schritten mit Theorieeinheiten und wende das Gelernte mit Übungssets an!
Dauer:
Binomialkoeffizient: Formel und Berechnung

Teil 1

Binomialkoeffizient: Formel und Berechnung

Mengen und Vierfeldertafel: Wahrscheinlichkeiten darstellen

Teil 2

Mengen und Vierfeldertafel: Wahrscheinlichkeiten darstellen

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

Teil 3

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

Abkürzung

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Dies ist die Lektion, in der du dich gerade befindest, und das Ziel des Pfades.

Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit

Teil 4

Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Woher weiß man, ob zwei Ereignisse unabhängig sind?

Zwei Ereignisse A und B sind unabhängig voneinander, wenn das Eintreten des einen Ereignisses das andere Ereignis nicht beeinflusst. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist dann gleich der unbedingten Wahrscheinlichkeit: P(A|B)=P(A). Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit ist nun einfach das Produkt aus den einzelnen Wahrscheinlichkeiten: P(A∩B) = P(A)∙P(B).

Was versteht man unter der bedingten Wahrscheinlichkeit?

Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses eintritt, unter der Voraussetzung, dass ein anderes bereits eingetreten ist. P(A|B) = "Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, unter der Bedingung, dass B eingetreten ist"

Wie berechnet man die bedingte Wahrscheinlichkeit?

Man berechnet bedingte Wahrscheinlichkeiten mit der Formel P(A|B)=P(A∩B)/P(B) (Die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt unter der Bedingung, dass B bereits eingetreten ist). Das Erstellen eines Baumdiagramms oder einer Vierfeldertafel kann helfen.

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