Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit

Definition

Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses eintritt, unter der Voraussetzung, dass ein anderes bereits eingetreten ist. Das bereits eingetretene Ereignis bezeichnet man als «Bedingung» für das beobachtete Ereignis.

Schreibweise

 «Wahrscheinlichkeit, dass $$A$$​ eintritt, unter der Bedingung, dass $$B$$​ eingetreten ist.»

Beispiel

Die Wahrscheinlichkeit, dass es schneit, wenn die Temperatur über $$10$$​ Grad ist.

​$$P("es\, schneit"|"Temperatur\, über \,10 \,Grad")$$​​

$$0$$$$0$$Da für Schneefall im allgemeinen Temperaturen um $$0$$​ Grad von Nöten sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Temperatur von über $$10$$ Grad Schnee fällt, sehr klein. Daher wird $$P("es\, schneit"|"Temperatur\, über \,10 \,Grad")$$  einen sehr kleinen Wert annehmen.

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Formel​

Vorgehen

Bei zählbaren Ereignissen.

Beispiel

Personen wurden auf der Strasse zufällig gefragt, ob sie einen Führerschein haben. $$34$$​ befragte Männer hatten einen Führerschein. Insgesamt hatten $$50$$​ Personen einen Führerschein.

Wahrscheinlichkeit, dass die befragte Person ein Mann ist, wenn sie einen Führerschein hat:

$$P(Mann|Führerschein)=\frac{Anzahl\, Männer\, mit \,Führerschein}{Anzahl\, Personen\, mit\, Führerschein}=\frac{34}{50}=0,68=68\%$$​​

Bedingte Wahrscheinlichkeiten - Baumdiagramm

Bedingte Wahrscheinlichkeiten lassen sich im Baumdiagramm darstellen. Der Wahrscheinlichkeitsbaum hilft beim Berechnen der einzelnen Wahrscheinlichkeiten.

Hier gilt die Formel: $$P(A∩B)=P(A)\cdot P(A|B)$$​​

Hinweis: Wenn $$A$$​ und $$B$$​ unabhängig voneinander eintreten, stehen auf der zweiten Stufe $$P(A)$$​ und $$P(\bar{A})$$​.

Bedingte Wahrscheinlichkeiten - Vierfeldertafel

Zur Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten hilft das Aufstellen einer Vierfeldertafel.

Beispiel

Die Eisdiele Polarstern verkauft nur Schokoladeneis und Vanilleeis. Entweder kann man eine Kugel in der Waffel bestellen oder eine Kugel im Becher. Folgende Tabelle zeigt von $$100$$​ Personen, wie viele was bestellt haben.

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Dargestellt in der Vierfeldertafel:

Bedingte Wahrscheinlichkeit: Wahrscheinlichkeit, dass eine Person Schokoladeneis gekauft hat, wenn im Becher serviert wurde:

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​$$P(Schokolade|Becher)=\frac{0,35}{0,65}≈\underline{0,538}$$

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Unabhängigkeit

 Zwei Ereignisse $$A$$​ und $$B$$​ sind unabhängig voneinander, wenn das Eintreten des einen Ereignisses das andere Ereignis nicht beeinflusst.

Mathematische Bedeutung

Sind zwei Ereignisse unabhängig, dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit gleich der unbedingten Wahrscheinlichkeit:

$$P(A|B)=P_B (A)=P(A)$$​​

Daher ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeit gleich dem Produkt aus den einzelnen Wahrscheinlichkeiten:

$$P(A∩B)=P(A|B)\cdot P(B)=\underline{P(A)\cdot P(B)}$$​​

Prüfen auf Unabhängigkeit / Abhängigkeit

VORGEHEN

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Beispiel - zur Vierfeldertafel der Eissorten von oben
Ist die Wahrscheinlichkeit für die Wahl von Schokoladeneis unabhängig von der Wahl eines Bechers?
Wahrscheinlichkeiten berechnen:

$$P(Schokolade∩Becher)=0,35\\P(Schokolade)\cdot P(Becher)=0,5\cdot 0,65=0,325$$​​

Die Wahrscheinlichkeiten sind nicht gleich. Die Ereignisse sind somit abhängig voneinander.