Vektorräume & lineare Unabhängigkeit

Grundlegende Objekte der linearen Algebra (einem Teilbereich der Mathematik) sind Vektorräume. In der Schule lernst Du verschiedene Arten von Vektorräumen kennen, manche von ihnen kennst Du bereits.

Jeder Vektorraum folgt denselben Rechenregeln. Wenn Du die Definition also einmal verstanden hast, dann kennst Du die Rechenregeln für alle Vektorräume.

Definition

Eine nichtleere Menge $$V$$​  mit einer Addition und einer skalaren Multiplikation, die auf $$V$$​  definiert sind, bezeichnet man als Vektorraum, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

• Die Addition und skalare Multiplikation sind abgeschlossen: $$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\in V$$​  und $$r \cdot \overrightarrow{a} \in V$$​  für alle $$\overrightarrow{a} \in V$$​ ,$$r \in \R$$​
  
• Es existiert ein Nullvektor $$\overrightarrow{0}\in V$$​ , sodass $$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{a}$$​
  
• Zu jedem Element $$\overrightarrow{v}$$​  in V existiert ein inverses Element $$-\overrightarrow{v}$$​ , sodass $$-\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$$​
  
• Das Assoziativgesetz für die Addition gilt: $$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$$​ , für alle  $$\overrightarrow{a}, \ \overrightarrow{b}, \ \overrightarrow{c} \in V$$​
  
• Das Kommutativgesetz für die Addition gilt: $$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$$​ , für alle  $$\overrightarrow{a}, \ \overrightarrow{b} \in V$$​
  
• Es gilt $$1 \cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}$$​
  
• Das Assoziativgesetz für die Multiplikation gilt: $$(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c})$$​ , für alle  $$\overrightarrow{a}, \ \overrightarrow{b}, \ \overrightarrow{c} \in V$$​
  
• Das Distributivgesetz gilt: $$r \cdot (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})=r \cdot \overrightarrow{a}+r \cdot \overrightarrow{b}$$​  und $$(r+s) \cdot \overrightarrow{a}= r\cdot \overrightarrow{a}+s\cdot \overrightarrow{a}$$​  für alle $$\overrightarrow{a}, \ \overrightarrow{b}, \ \overrightarrow{c} \in V$$​  und $$r,s \in \R$$
  

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Beispiele von Vektorräumen

• Die euklidische Ebene $$\R^2$$​  (xy-Ebene) und
  
• der euklidische Raum $$\R^3$$​  (dreidimensionaler Raum) sind die wohl intuitivsten Beispiele für Vektorräume.
  

Sie beinhalten gerade solche Elemente, die gemeinhin als Vektoren bezeichnet werden. Es gibt allerdings weitere, abstraktere Beispiele für Vektorräume. Beispielsweise bildet die Menge der invertierbaren reellen Matrizen mit der Matrixaddition und Skalarmultiplikation für Matrizen einen Vektorraum. Ebenfalls bildet die Menge aller Polynome über den reellen Zahlen (vom Grad höchstens $$n$$​  )  einen Vektorraum für jede natürliche Zahl $$n$$​ .

Lineare Unabhängigkeit

Lineare Unabhängigkeit ist ein zentraler Begriff in Vektorräumen. Eine Menge $$M=\{ b_1, \ b_2 \ ,..., \ b_n \} \subseteq \text{Vektorraum}\ V$$​  von Vektoren heißt „linear abhängig“, falls Zahlen $$a_1, \ a_2, \ ... , \ a_n$$​  existieren, die die folgende Gleichung erfüllen:

$$a_1 \cdot b_1+a_2\cdot b_2 +...+ a_n \cdot b_n=0$$

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Existieren keine Zahlen $$a_1, \ a_2, ..., \ a_n$$​ , die diese Gleichung erfüllen, so heißt $$M$$​  „linear unabhängig“.

Eine Menge von Vektoren ist also genau dann linear unabhängig, wenn keine Linearkombination ihrer Elemente einen Nullvektor ergibt.

Beispiele – In der euklidischen Ebene  ist eine Menge von zwei Vektoren genau dann linear unabhängig, wenn die beiden Vektoren nicht parallel sind.

In der ersten Menge sind beide Vektoren parallel.

Beispiel - Im euklidischen Raum $$\R^3$$​  ist eine Menge von drei Vektoren genau dann linear unabhängig, wenn keine zwei Vektoren in ihr parallel sind und nicht alle in einer Ebene enthalten sind.

Beachte, dass die drei Vektoren in der ersten Menge alle in der xy-Ebene liegen, da die z-Komponente jeweils 0 ist.

Basis und Dimension

Definition

Eine Menge von Elementen $$M$$​  in einem Vektorraum $$V$$​  heißt Erzeugendensystem von $$V$$​ , falls jedes Element in $$V$$​  als Linearkombination von Elementen in $$M$$​  dargestellt werden kann. Sind die Elemente in $$M$$​  zudem linear unabhängig, dann wird $$M$$​  eine Basis von $$V$$​  genannt.

Jede Basis eines Vektorraums hat gleich viele Elemente. Die Anzahl der Elemente in der Basis eines Vektorraums, wird als die Dimension des Vektorraums verstanden.

Veranschaulichung

Die Grafik veranschaulicht  Linearkombinationen zweier  Vektoren $$\overrightarrow{b_1}$$​ und $$\overrightarrow{b_2}$$​ in $$\R^2$$​.  In diesem Fall gilt: ​$$\begin{aligned} \overrightarrow{0P_1}&=2 \cdot \overrightarrow{b_1} + \overrightarrow{b_2} \\\overrightarrow{0P_2}&=\overrightarrow{b_1}-3\cdot \overrightarrow{b_2} \end{aligned}$$​​ ​ Da jeder Punkt in der  Ebene mit einer solchen  Linearkombination dargestellt  werden könnte, ist das  Paar $$\overrightarrow{b_1}, \ \overrightarrow{b_2}$$​ ein  Erzeugendensystem.  Da die zwei Vektoren  ebenfalls linear unabhängig sind, bilden sie tatsächlich eine Basis. ​ ​ ​

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Beispiel – Euklidische Ebene ($$\R^2$$​ )

Wie bereits bekannt ist, kann jedes Element der euklidischen Ebene (Vektoren mit zwei Einträgen) durch eine Linearkombination der zwei Vektoren $$\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) , \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$$​  dargestellt werden.

Zum Beispiel kann man den Vektor $$\left( \begin{array}{c} 7 \\ -5 \end{array} \right)$$​  wie folgt als Linearkombination schreiben:

$$\left( \begin{array}{c} 7 \\ -5 \end{array} \right)=7 \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)-5 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$$

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Somit bilden diese zwei Vektoren ein Erzeugendensystem. Da sie jedoch auch linear unabhängig sind, bilden sie sogar eine Basis von $$\R^2$$​   (diese spezielle Basis wird auch „Standardbasis“ genannt). Dadurch folgt sofort, dass die Dimension von $$\R^2$$​  gleich 2 ist, da die Basis zwei Elemente hat.

Wie bereits erwähnt, kann es mehrere Basen für einen Vektorraum geben. Im Falle von $$\R^2$$​  bilden zwei beliebige Vektoren eine Basis, sofern sie nicht parallel sind. Beispielsweise können die Vektoren $$\left( \begin{array}{c} -2 \\ 1 \end{array} \right), \ \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \end{array} \right)$$​  ebenfalls als Basis verwendet werden. In der Tat kann der Vektor $$\left( \begin{array}{c} 7 \\ -5 \end{array} \right)$$​  wie folgt als

Linearkombination geschrieben werden:

$$\left( \begin{array}{c} 7 \\ -5 \end{array} \right)= 1 \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ 1 \end{array} \right) +3 \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \end{array} \right)$$​​

Beispiel – Die Menge der Polynome über den reellen Zahlen vom Grad höchstens 2 bilden einen Vektorraum. Dies sind die Polynome von der Form $$ax^2+bx+c$$​    mit  $$a, \ b, \ c \in \R$$​  .

Um den Vektorraum zu beschreiben wird eine Addition und eine skalare Multiplikation benötigt, welche wie folgt definiert werden:

Die Standardbasis für Vektorräume von Polynomen ist die Menge $$\{1, \ x, \ x^2, \ x^3, \ ... \}$$​ . Im Falle von Polynomen vom Grad höchstens zwei bezeichnet die Standardbasis dementsprechend die Menge $$\{1, \ x, \ x^2\}$$​ , was bedeutet, dass dieser Vektorraum die Dimension 3 hat. Allgemein hat ein Vektorraum von Polynomen vom Grad höchstens $$n$$​  die Dimension $$n+1$$​ .

Die einzelnen Elemente der Basis sind hier als Polynome zu verstehen, also beispielsweise $$x=0x^2+1x+0$$​ . Trotzdem kann eine Verbindung zu klassischen Vektoren hergestellt werden. Statt nämlich ein Polynom wie oben beschrieben darzustellen, können lediglich die einzelnen Koeffizienten als Einträge eines Vektors notiert werden:

$$\begin{aligned} ax^2+bx+c \quad & \rightarrow \quad \left( \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right) \\x=0x^2+1x+0 \quad & \rightarrow \quad \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) \end{aligned}$$​​

Mithilfe dieser Überlegung kannst Du ebenfalls sehen, dass der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 2 äquivalent zum euklidischen Raum $$\R^3$$​  ist.