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Exponentialgleichungen lösen

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Lehrperson: Nadine

Zusammenfassung

Exponentialgleichungen lösen

Wichtiges in Kürze

Eine Exponentialgleichung setzt zwei Terme mit Potenzen gleich. Die Lösungsvariable xx , deren Wert berechnet werden soll, steht dabei im Exponenten. Um xx  bei der Gleichung alleine zu stellen, wird der Logarithmus angewandt.


Tipp: Wiederhole die Rechenregeln von Logarithmen.


Beispiel

3x+1=3523^{x+1}=3\cdot 5^2​​



Exponentialgleichung lösen

Vorgehen

  1. ​Löse alle Additionen und Subtraktionen von Potenzen mit xx auf. Tipp: Bilde gleiche Potenzen und fasse sie dann zusammen: 5x+5x+1=5x+515x=65x5^x + 5^{x+1} = 5^x + 5^1 \cdot 5^x= 6 \cdot 5^x
  2. Bilde den Logarithmus (log10(...)log_{10}(...)) über beide Seiten der Gleichung.
    Hinweis: Du kannst eine beliebige Logarithmusbasis wählen, z.B. auch die Basis der vorkommenden Potenzen.

  3. Stelle das xx vor den loglog.
  4. Löse nach xx auf.


Beispiel

2x+2x+1=242^x+2^{x+1}=24

Gleiche Potenzen bilden. Hier 2x2^x :

2x+22x=242^x+2\cdot 2^x=24​​

Gleichung vereinfachen:

32x=243\cdot 2^x=24

2x=82^x=8​​​

Logarithmus:

log10(2x)=log10(8)log_{10}(2^x)=log_{10}(8)

xlog10(2)=log10(8)x\cdot log_{10}(2)=log_{10}(8)​​​

Auflösen nach xx :

x=log10(8)log10(2)x=\frac {log_{10}(8)}{log_{10}(2)}

x=3\underline{x=3}

​​​


Hinweis: Kommt nur eine Basis vor, so kannst Du direkt die Exponenten vergleichen:

2x=162^x=16

2x=242^x=2^4


x=4\underline{x=4}​​​​


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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Muss man eine Exponentialgleichung mit dem Logarithmus zur Basis 10 lösen?

Wie löse ich Exponentialgleichungen?

Was ist eine Exponentialgleichung?

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