Exponentialgleichungen lösen

Wichtiges in Kürze

Eine Exponentialgleichung setzt zwei Terme mit Potenzen gleich. Die Lösungsvariable $$x$$​ , deren Wert berechnet werden soll, steht dabei im Exponenten. Um $$x$$​  bei der Gleichung alleine zu stellen, wird der Logarithmus angewandt.

Tipp: Wiederhole die Rechenregeln von Logarithmen.

Beispiel

$$3^{x+1}=3\cdot 5^2$$​​

Exponentialgleichung lösen

Vorgehen

1. ​Löse alle Additionen und Subtraktionen von Potenzen mit $$x$$ auf. Tipp: Bilde gleiche Potenzen und fasse sie dann zusammen: $$5^x + 5^{x+1} = 5^x + 5^1 \cdot 5^x= 6 \cdot 5^x$$​
2. Bilde den Logarithmus ($$log_{10}(...)$$) über beide Seiten der Gleichung.
   Hinweis: Du kannst eine beliebige Logarithmusbasis wählen, z.B. auch die Basis der vorkommenden Potenzen.
   
3. Stelle das $$x$$ vor den $$log$$.
4. Löse nach $$x$$ auf.

Beispiel

$$2^x+2^{x+1}=24$$​

Gleiche Potenzen bilden. Hier $$2^x$$ :

$$2^x+2\cdot 2^x=24$$​​

Gleichung vereinfachen:

$$3\cdot 2^x=24$$

$$2^x=8$$​​​

Logarithmus:

​$$log_{10}(2^x)=log_{10}(8)$$

$$x\cdot log_{10}(2)=log_{10}(8)$$​​​

Auflösen nach $$x$$ :

$$x=\frac {log_{10}(8)}{log_{10}(2)}$$

$$\underline{x=3}$$

​​​

Hinweis: Kommt nur eine Basis vor, so kannst Du direkt die Exponenten vergleichen:

$$2^x=16$$

$$2^x=2^4$$

$$\underline{x=4}$$​​​​

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