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Extrem- und Wendepunkte

Verschiedene Extremalwertprobleme lösen

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Lehrperson: Nele

Zusammenfassung

Verschiedene Extremalwertprobleme lösen

Definition

Bei Extremalwertalproblemen sucht man das Minimum oder Maximum einer Größe:

  • Gewinn Maximum
  • Kosten  Minimum
  • Flächeninhalt Maximum
  • Volumen  Maximum
  • Etc.

Meist muss man die Größe als Funktion beschreiben und von dieser Funktion das Maximum bzw. das Minimum berechnen.



Extremalwertprobleme lösen

Aufgaben zu Extremalwertproblemen sind sehr unterschiedlich. Folgendes Vorgehen kann Dir bei vielen Aufgaben helfen:


VORGEHEN

1.

Text lesen und alle wichtigen Informationen unterstreichen: die Zielgröße, Unbekannte und Nebenbedingungen.

2.

Die Zielgröße als Funktion (Zielfunktion) beschreiben.

Tipp: Oft ist die Funktion von zwei Unbekannten abhängig.

3.

Mit Hilfe der Nebenbedingungen die Verhältnisse zwischen den Unbekannten als Gleichungen beschreiben.

Zwei Unbekannte: Eine Gleichung

Drei Unbekannte: Zwei Gleichungen

4.

Gleichungen in die Funktion der Zielgröße einsetzen, sodass nur eine Unbekannte bleibt.

5.

Maximum bzw. Minimum der Funktion bestimmen:

  • Erste Ableitung bilden und deren Nullstellen bestimmen durch f(x)=0f^\prime\left(x\right)=0  (notwendige Bedingung)
  • Zweite Ableitung berechnen und hinreichende Bedingung prüfen, um zu entscheiden, ob ein Minimum oder Maximum vorliegt:

f(x)<0f^{\prime\prime}\left(x\right)<0​​

Maximum

f(x)>0f^{\prime\prime}\left(x\right)>0​​

Minimum

f(x)=0f^{\prime\prime}\left(x\right)=0​​

Kein Maximum oder Minimum

6.

Gegebenenfalls Grenzwerte der Unbekannten prüfen.

7.

Gesuchte Größe bestimmen.


Beispiel:

Ein Zaun soll in einem Rechteck aufgestellt werden. Er ist 100 m100\ m lang und die eingezäunte Fläche soll maximiert werden. Wie breit und wie lang soll das Rechteck sein?


Zielfunktion: Fläche

F=blF=b\cdot l​​

Nebenbedingung Umfang =100 m=100\ m:

100=2b+2l100=2b+2l​​

Nach ll auflösen:

l=50bl=50-b​​

Einsetzen in die Funktion:

F(b)=b(50b)=50bb2F\left(b\right)=b\cdot\left(50-b\right)=50b-b^2​​

Maximum bestimmen:

Ableitungen:

F(b)=502bF(b)=2F^\prime\left(b\right)=50-2b\\{F'}'\left(b\right)=-2​​

f(x)=0f^\prime\left(x\right)=0​ setzen, also Nullstellen der ersten Ableitung berechnen:


0=502bb=250=50-2b\\b=25​​


Hinreichende Bedingung prüfen (bb in F(b)F(b) einsetzen):

F(b=25)=2<0{F'}^\prime\left(b=25\right)=-2<0​, Maximum


Durch Einsetzen von bb in die Nebenbedingung kann ll bestimmt werden:

100=225+2ll=(10050)2=25100=2\cdot25+2l\rightarrow l=\frac{(100-50)}{2}=\underline{25}​​

Mit diesen beiden gefundenen Werten kann man nun noch den Flächeninhalt berechnen:


F=25 m25 m=625 m2F=25\ m\cdot25\ m=\underline{625\ m^2}​​


Das Rechteck mit maximiertem Flächeninhalt ist 25 m25\ m lang und 25 m25\ m breit. Es hat einen Flächeninhalt von 625 m2625\ m^2.


Typische Zielfunktionen

GEWINN

=EinnahmenKosten=Einnahmen-Kosten​​

FLÄCHENINHALT AA

Rechteck: A=BreiteLa¨ngeA=Breite\cdot L\ddot{a}nge

Allgemeines Dreieck: A=SeiteHo¨he2A=Seite\cdot H\ddot{o}he∶2

Rechtwinkliges Dreieck: A=KatheteKathete2A=Kathete\cdot Kathete∶2

Kreis: A=πRadius2A=\pi\cdot{Radius}^2

VOLUMEN VV

Quader: V=BreiteLa¨ngeHo¨heV=Breite\cdot L\ddot{a}nge\cdot H\ddot{o}he

Pyramide: V=BreiteLa¨ngeHo¨he3V=Breite\cdot L\ddot{a}nge\cdot H\ddot{o}he∶3

Zylinder: V=πRadius2Ho¨heV=\pi\cdot{Radius}^2\cdot H\ddot{o}he

Kegel:  V=πRadius2Ho¨he3V=\pi\cdot{Radius}^2\cdot H\ddot{o}he∶3




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Wie löse ich Extremalwertprobleme?

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