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Erklärvideo

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Zusammenfassung

Verschiedene Extremalwertprobleme lösen

Definition

Bei Extremalwertalproblemen sucht man das Minimum oder Maximum einer Größe:

  • Gewinn Maximum
  • Kosten  Minimum
  • Flächeninhalt Maximum
  • Volumen  Maximum
  • Etc.

Meist muss man die Größe als Funktion beschreiben und von dieser Funktion das Maximum bzw. das Minimum berechnen.



Extremalwertprobleme lösen

Aufgaben zu Extremalwertproblemen sind sehr unterschiedlich. Folgendes Vorgehen kann Dir bei vielen Aufgaben helfen:


VORGEHEN

1.

Text lesen und alle wichtigen Informationen unterstreichen: die Zielgröße, Unbekannte und Nebenbedingungen.

2.

Die Zielgröße als Funktion (Zielfunktion) beschreiben.

Tipp: Oft ist die Funktion von zwei Unbekannten abhängig.

3.

Mit Hilfe der Nebenbedingungen die Verhältnisse zwischen den Unbekannten als Gleichungen beschreiben.

Zwei Unbekannte: Eine Gleichung

Drei Unbekannte: Zwei Gleichungen

4.

Gleichungen in die Funktion der Zielgröße einsetzen, sodass nur eine Unbekannte bleibt.

5.

Maximum bzw. Minimum der Funktion bestimmen:

  • Erste Ableitung bilden und deren Nullstellen bestimmen durch f′(x)=0f^\prime\left(x\right)=0f′(x)=0​  (notwendige Bedingung)
  • Zweite Ableitung berechnen und hinreichende Bedingung prüfen, um zu entscheiden, ob ein Minimum oder Maximum vorliegt:

​f′′(x)<0f^{\prime\prime}\left(x\right)<0f′′(x)<0​​

Maximum

​f′′(x)>0f^{\prime\prime}\left(x\right)>0f′′(x)>0​​

Minimum

​f′′(x)=0f^{\prime\prime}\left(x\right)=0f′′(x)=0​​

Kein Maximum oder Minimum

6.

Gegebenenfalls Grenzwerte der Unbekannten prüfen.

7.

Gesuchte Größe bestimmen.


Beispiel:

Ein Zaun soll in einem Rechteck aufgestellt werden. Er ist 100 m100\ m100 m​ lang und die eingezäunte Fläche soll maximiert werden. Wie breit und wie lang soll das Rechteck sein?


Zielfunktion: Fläche

F=b⋅lF=b\cdot lF=b⋅l​​

Nebenbedingung Umfang =100 m=100\ m=100 m​:

100=2b+2l100=2b+2l100=2b+2l​​

Nach lll​ auflösen:

l=50−bl=50-bl=50−b​​

Einsetzen in die Funktion:

F(b)=b⋅(50−b)=50b−b2F\left(b\right)=b\cdot\left(50-b\right)=50b-b^2F(b)=b⋅(50−b)=50b−b2​​

Maximum bestimmen:

Ableitungen:

​F′(b)=50−2bF′′(b)=−2F^\prime\left(b\right)=50-2b\\{F'}'\left(b\right)=-2F′(b)=50−2bF′′(b)=−2​​

f′(x)=0f^\prime\left(x\right)=0f′(x)=0​ setzen, also Nullstellen der ersten Ableitung berechnen:


0=50−2bb=250=50-2b\\b=250=50−2bb=25​​


Hinreichende Bedingung prüfen (bbb​ in F(b)F(b)F(b)​ einsetzen):

F′′(b=25)=−2<0{F'}^\prime\left(b=25\right)=-2<0F′′(b=25)=−2<0​, Maximum


Durch Einsetzen von bbb​ in die Nebenbedingung kann lll​ bestimmt werden:

100=2⋅25+2l→l=(100−50)2=25‾100=2\cdot25+2l\rightarrow l=\frac{(100-50)}{2}=\underline{25}100=2⋅25+2l→l=2(100−50)​=25​​​

Mit diesen beiden gefundenen Werten kann man nun noch den Flächeninhalt berechnen:


F=25 m⋅25 m=625 m2‾F=25\ m\cdot25\ m=\underline{625\ m^2}F=25 m⋅25 m=625 m2​​​


Das Rechteck mit maximiertem Flächeninhalt ist 25 m25\ m25 m​ lang und 25 m25\ m25 m​ breit. Es hat einen Flächeninhalt von 625 m2625\ m^2625 m2​.


Typische Zielfunktionen

GEWINN

​=Einnahmen−Kosten=Einnahmen-Kosten=Einnahmen−Kosten​​

FLÄCHENINHALT AAA​

Rechteck: A=Breite⋅La¨ngeA=Breite\cdot L\ddot{a}ngeA=Breite⋅La¨nge​

Allgemeines Dreieck: A=Seite⋅Ho¨he∶2A=Seite\cdot H\ddot{o}he∶2A=Seite⋅Ho¨he∶2​

Rechtwinkliges Dreieck: A=Kathete⋅Kathete∶2A=Kathete\cdot Kathete∶2A=Kathete⋅Kathete∶2​

Kreis: A=π⋅Radius2A=\pi\cdot{Radius}^2A=π⋅Radius2​

VOLUMEN VVV​

Quader: V=Breite⋅La¨nge⋅Ho¨heV=Breite\cdot L\ddot{a}nge\cdot H\ddot{o}heV=Breite⋅La¨nge⋅Ho¨he​

Pyramide: V=Breite⋅La¨nge⋅Ho¨he∶3V=Breite\cdot L\ddot{a}nge\cdot H\ddot{o}he∶3V=Breite⋅La¨nge⋅Ho¨he∶3​

Zylinder: V=π⋅Radius2⋅Ho¨heV=\pi\cdot{Radius}^2\cdot H\ddot{o}heV=π⋅Radius2⋅Ho¨he​

Kegel:  V=π⋅Radius2⋅Ho¨he∶3V=\pi\cdot{Radius}^2\cdot H\ddot{o}he∶3V=π⋅Radius2⋅Ho¨he∶3​




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Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel

Teil 1

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Wendepunkte bestimmen und unterscheiden

Teil 2

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Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

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Verschiedene Extremalwertprobleme lösen

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Verschiedene Extremalwertprobleme lösen

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie löse ich Extremalwertprobleme?

1. Text lesen und alle wichtigen Informationen unterstreichen:Die Zielgröße, Unbekannte und Nebenbedingungen. 2. Die Zielgröße als Funktion (Zielfunktion) beschreiben. Tipp: Oft ist die Funktion von zwei Unbekannten abhängig. 3. Mit Hilfe der Nebenbedingungen die Verhältnisse zwischen den Unbekannten als Gleichungen beschreiben.Zwei Unbekannte: Eine Gleichung und drei Unbekannte: Zwei Gleichungen. 4. Gleichungen in die Funktion der Zielgröße einsetzen, sodass nur eine Unbekannte bleibt. 5. Maximum bzw. Minimum der Funktion bestimmen: Erste Ableitung bilden und deren Nullstellen bestimmen durch f^' (x)=0 (notwendige Bedingung). Zweite Ableitung berechnen und hinreichende Bedingung prüfen, um zu entscheiden, ob ein Minimum oder Maximum vorliegt: f^'' (x)<0 Maximum f^'' (x)>0 Minimum f^'' (x)=0 Kein Maximum oder Minimum 6. Gegebenenfalls Grenzwerte der Unbekannten prüfen. 7. Gesuchte Größe bestimmen.

Was ist eine Extremalaufgabe?

Bei Extremalwertproblemen sucht man das Minimum oder Maximum einer Größe: So sollst du vielleicht dein Flächeninhalt einer Figur maximieren, oder die Kosten einer Firma minimieren.

Was ist das Extremalproblem?

Bei Extremalproblemen sucht man das Minimum oder Maximum einer Größe: Meist muss man die Größe als Funktion beschreiben und von dieser Funktion das Maximum bzw. das Minimum berechnen.

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