Bei Extremalwertalproblemen sucht man das Minimum oder Maximum einer Größe:
GewinnMaximum
KostenMinimum
FlächeninhaltMaximum
VolumenMaximum
Etc.
Meist muss man die Größe als Funktion beschreiben und von dieser Funktion das Maximum bzw. das Minimum berechnen.
Extremalwertprobleme lösen
Aufgaben zu Extremalwertproblemen sind sehr unterschiedlich. Folgendes Vorgehen kann Dir bei vielen Aufgaben helfen:
VORGEHEN
1.
Text lesen und alle wichtigen Informationen unterstreichen: die Zielgröße, Unbekannte und Nebenbedingungen.
2.
Die Zielgröße als Funktion (Zielfunktion) beschreiben.
Tipp: Oft ist die Funktion von zwei Unbekannten abhängig.
3.
Mit Hilfe der Nebenbedingungen die Verhältnisse zwischen den Unbekannten als Gleichungen beschreiben.
Zwei Unbekannte: Eine Gleichung
Drei Unbekannte: Zwei Gleichungen
4.
Gleichungen in die Funktion der Zielgröße einsetzen, sodass nur eine Unbekannte bleibt.
5.
Maximum bzw. Minimum der Funktion bestimmen:
Erste Ableitung bilden und deren Nullstellen bestimmen durchf′(x)=0(notwendige Bedingung)
Zweite Ableitung berechnen und hinreichende Bedingung prüfen, um zu entscheiden, ob ein Minimum oder Maximum vorliegt:
f′′(x)<0
Maximum
f′′(x)>0
Minimum
f′′(x)=0
Kein Maximum oder Minimum
6.
Gegebenenfalls Grenzwerte der Unbekannten prüfen.
7.
Gesuchte Größe bestimmen.
Beispiel:
Ein Zaun soll in einem Rechteck aufgestellt werden. Er ist100mlang und die eingezäunte Fläche soll maximiert werden. Wie breit und wie lang soll das Rechteck sein?
Zielfunktion: Fläche
F=b⋅l
Nebenbedingung Umfang=100m:
100=2b+2l
Nachlauflösen:
l=50−b
Einsetzen in die Funktion:
F(b)=b⋅(50−b)=50b−b2
Maximum bestimmen:
Ableitungen:
F′(b)=50−2bF′′(b)=−2
f′(x)=0 setzen, also Nullstellen der ersten Ableitung berechnen:
1. Text lesen und alle wichtigen Informationen unterstreichen:Die Zielgröße, Unbekannte und Nebenbedingungen.
2. Die Zielgröße als Funktion (Zielfunktion) beschreiben.
Tipp: Oft ist die Funktion von zwei Unbekannten abhängig.
3. Mit Hilfe der Nebenbedingungen die Verhältnisse zwischen den Unbekannten als Gleichungen beschreiben.Zwei Unbekannte: Eine Gleichung und drei Unbekannte: Zwei Gleichungen.
4. Gleichungen in die Funktion der Zielgröße einsetzen, sodass nur eine Unbekannte bleibt.
5. Maximum bzw. Minimum der Funktion bestimmen:
Erste Ableitung bilden und deren Nullstellen bestimmen durch f^' (x)=0 (notwendige Bedingung). Zweite Ableitung berechnen und hinreichende Bedingung prüfen, um zu entscheiden, ob ein Minimum oder Maximum vorliegt:
f^'' (x)<0 Maximum
f^'' (x)>0 Minimum
f^'' (x)=0 Kein Maximum oder Minimum
6. Gegebenenfalls Grenzwerte der Unbekannten prüfen.
7. Gesuchte Größe bestimmen.
Was ist eine Extremalaufgabe?
Bei Extremalwertproblemen sucht man das Minimum oder Maximum einer Größe: So sollst du vielleicht dein Flächeninhalt einer Figur maximieren, oder die Kosten einer Firma minimieren.
Was ist das Extremalproblem?
Bei Extremalproblemen sucht man das Minimum oder Maximum einer Größe: Meist muss man die Größe als Funktion beschreiben und von dieser Funktion das Maximum bzw. das Minimum berechnen.
