Hess'sche Normalform: Formel und Eigenschaften

Definition

Die Hess'sche Normalform ist eine spezielle Form der Koordinatengleichung.

Sie wird verwendet, um den Abstand von einer Ebene E zu einem Punkt $$Q$$​ zu berechnen.

Formel

Die Ebenengleichung einer Ebene $$E$$​  mit Gleichung $$(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p})\cdot \overrightarrow{n}=0$$​  in Hesse’scher Normalform ist

$$E: \overrightarrow{n_0}\cdot \overrightarrow{x}=d_0$$​​

• wobei: $$\overrightarrow{n_0} =\frac{\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}|}$$​  und $$d =\frac{d}{|\overrightarrow{n}|}$$​
• Man teilt die Ebenengleichung durch die Länge von $$\overrightarrow{n}$$​ .

Die gesamte Gleichung wird also durch $$\vert\overrightarrow{n}\vert$$​  geteilt.

Eigenschaften

• Normalenvektor $$\overrightarrow{n_o}$$​  hat den Betrag $$1$$​ (Länge: $$\vert \overrightarrow{n_0}\vert =1$$)
• $$d_0$$​ ist der Abstand der Ebene zum Ursprung.

Beispiel

Anwendung

Abstand Ebene und Punkt

Um den Abstand (kürzeste Strecke) von einem Punkt $$Q$$​ zu einer Ebene $$E$$​ zu berechnen, setzt man den Ortsvektor von $$Q$$​ in die Hess'sche Normalform ein:

Abstandsformel:

Beispiel

$$E: x+2y-2z=12$$​ Abstand zum Punkt: $$A(2|3|4)$$​

Abstandsformel:

$$D_{A\,zu\,E}=\vert \begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} 1\\2\\-2 \end{pmatrix}-12\vert=\frac{\vert 2+6-8-12\vert}{\vert 3\vert}=\frac{12}{3}=\underline{4}$$

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