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Hess'sche Normalform: Formel und Eigenschaften

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Lehrperson: Martin

Zusammenfassung

Hess'sche Normalform: Formel und Eigenschaften

Definition


Die Hess'sche Normalform ist eine spezielle Form der Koordinatengleichung.

Sie wird verwendet, um den Abstand von einer Ebene E zu einem Punkt QQ​ zu berechnen.


Formel

Die Ebenengleichung einer Ebene EE  mit Gleichung (xp)n=0(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p})\cdot \overrightarrow{n}=0  in Hesse’scher Normalform ist


E:n0x=d0E: \overrightarrow{n_0}\cdot \overrightarrow{x}=d_0​​

  • wobei: n0=nn\overrightarrow{n_0} =\frac{\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}|} ​  und d=dnd =\frac{d}{|\overrightarrow{n}|}
  • Man teilt die Ebenengleichung durch die Länge von n\overrightarrow{n} .

Die gesamte Gleichung wird also durch n\vert\overrightarrow{n}\vert  geteilt.


Eigenschaften

  • Normalenvektor no\overrightarrow{n_o}  hat den Betrag 11​ (Länge: n0=1\vert \overrightarrow{n_0}\vert =1)
  • d0d_0​ ist der Abstand der Ebene zum Ursprung.



Beispiel

Ebene als Koordinatengleichung:

​Ebene in Hess’sche Normalform:

E:x+2y2z=12E: x+2y-2z=12​​
EH:x+2y2z3=4E_H:\frac{x+2y-2z}{3}=4​​
n=(122),n=3\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix} 1\\2\\-2 \end{pmatrix}, |\overrightarrow{n} |=3​​
n0=13(122)d0=123=4\overrightarrow{n_0}=\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\-2 \end{pmatrix}\quad\quad d_0=\frac{12}{3}=4​​



Anwendung

Abstand Ebene und Punkt

Um den Abstand (kürzeste Strecke) von einem Punkt QQ​ zu einer Ebene EE​ zu berechnen, setzt man den Ortsvektor von QQ​ in die Hess'sche Normalform ein:


Abstandsformel:

 DQ zu E=n0qd0=nqdnD_{Q\,zu\,E}=\vert \overrightarrow{n_0}\cdot \overrightarrow{q}-d_0\vert=\frac{\vert \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{q}-d\vert}{\vert \overrightarrow{n}\vert}

 n\overrightarrow{n}

Normalenvektor der Ebene EE​​

 dd

Konstante d der Ebene EE​​

 q\overrightarrow{q}

Ortsvektor des Punkt QQ​​


Beispiel

E:x+2y2z=12E: x+2y-2z=12​ Abstand zum Punkt: A(234)A(2|3|4)


Abstandsformel:


DA zu E=(234)(122)12=2+68123=123=4D_{A\,zu\,E}=\vert \begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} 1\\2\\-2 \end{pmatrix}-12\vert=\frac{\vert 2+6-8-12\vert}{\vert 3\vert}=\frac{12}{3}=\underline{4}



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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie bildet man die Hess'sche Normalform?

Was ist eine HNF einer Ebene?

Wann braucht man die Hess'sche Normalform?

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