Hess'sche Normalform: Formel und Eigenschaften
Definition
Die Hess'sche Normalform ist eine spezielle Form der Koordinatengleichung.
Sie wird verwendet, um den Abstand von einer Ebene E zu einem Punkt Q zu berechnen.
Formel
Die Ebenengleichung einer Ebene E
mit Gleichung (x−p)⋅n=0
in Hesse’scher Normalform ist
E:n0⋅x=d0
- wobei: n0=∣n∣n
und d=∣n∣d
- Man teilt die Ebenengleichung durch die Länge von n
.
Die gesamte Gleichung wird also durch ∣n∣
geteilt.
Eigenschaften
- Normalenvektor no
hat den Betrag 1 (Länge: ∣n0∣=1)
- d0 ist der Abstand der Ebene zum Ursprung.
Beispiel
Ebene als Koordinatengleichung: | Ebene in Hess’sche Normalform: |
E:x+2y−2z=12 | EH:3x+2y−2z=4 |
n=12−2,∣n∣=3 | n0=31⋅12−2d0=312=4 |
Anwendung
Abstand Ebene und Punkt
Um den Abstand (kürzeste Strecke) von einem Punkt Q zu einer Ebene E zu berechnen, setzt man den Ortsvektor von Q in die Hess'sche Normalform ein:
Abstandsformel:
DQzuE=∣n0⋅q−d0∣=∣n∣∣n⋅q−d∣ |
n | Normalenvektor der Ebene E |
d | Konstante d der Ebene E |
q | Ortsvektor des Punkt Q |
Beispiel
E:x+2y−2z=12 Abstand zum Punkt: A(2∣3∣4)
Abstandsformel:
DAzuE=∣234⋅12−2−12∣=∣3∣∣2+6−8−12∣=312=4