Hess'sche Normalform: Formel und Eigenschaften

Definition

Die Hess'sche Normalform ist eine spezielle Form der Koordinatengleichung.

Sie wird verwendet, um den Abstand von einer Ebene E zu einem Punkt $Q$ zu berechnen.

Formel

Die Ebenengleichung einer Ebene $E$ mit Gleichung $(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p})\cdot \overrightarrow{n}=0$ in Hesse’scher Normalform ist

$E: \overrightarrow{n_0}\cdot \overrightarrow{x}=d_0$

wobei: $\overrightarrow{n_0} =\frac{\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}|}$ und $d =\frac{d}{|\overrightarrow{n}|}$
Man teilt die Ebenengleichung durch die Länge von $\overrightarrow{n}$ .

Die gesamte Gleichung wird also durch $\vert\overrightarrow{n}\vert$ geteilt.

Eigenschaften

Normalenvektor $\overrightarrow{n_o}$ hat den Betrag $1$ (Länge: $\vert \overrightarrow{n_0}\vert =1$ )
$d_0$ ist der Abstand der Ebene zum Ursprung.

Beispiel

Ebene als Koordinatengleichung:	Ebene in Hess’sche Normalform:
$E: x+2y-2z=12$	$E_H:\frac{x+2y-2z}{3}=4$
$\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix} 1\\2\\-2 \end{pmatrix}, \|\overrightarrow{n} \|=3$	$\overrightarrow{n_0}=\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\-2 \end{pmatrix}\quad\quad d_0=\frac{12}{3}=4$

Anwendung

Abstand Ebene und Punkt

Um den Abstand (kürzeste Strecke) von einem Punkt $Q$ zu einer Ebene $E$ zu berechnen, setzt man den Ortsvektor von $Q$ in die Hess'sche Normalform ein:

Abstandsformel:

$D_{Q\,zu\,E}=\vert \overrightarrow{n_0}\cdot \overrightarrow{q}-d_0\vert=\frac{\vert \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{q}-d\vert}{\vert \overrightarrow{n}\vert}$	$\overrightarrow{n}$	Normalenvektor der Ebene $E$
	$d$	Konstante d der Ebene $E$
	$\overrightarrow{q}$	Ortsvektor des Punkt $Q$

Beispiel

$E: x+2y-2z=12$ Abstand zum Punkt: $A(2|3|4)$

Abstandsformel:

$D_{A\,zu\,E}=\vert \begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} 1\\2\\-2 \end{pmatrix}-12\vert=\frac{\vert 2+6-8-12\vert}{\vert 3\vert}=\frac{12}{3}=\underline{4}$