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Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D

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Zusammenfassung

Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D 

Rechenregeln 

Für das Rechnen mit Vektoren gelten folgende Regeln:   


Regel
2D
3D
Addition
​a→+b→=(axay)+(bxby)=(ax+bxay+by)\begin{aligned}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} &= \left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}b_x\\b_y\\\end{matrix}\right) \\&= \left(\begin{matrix}a_x+b_x\\a_y+b_y\\\end{matrix}\right)\end{aligned}​​
​a→+b→=(axayaz)+(bxbybz)=(ax+bxay+byaz+bz)\begin{aligned}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} &= \left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{matrix}\right) \\ &=\left(\begin{matrix}a_x+b_x\\a_y+b_y\\a_z+b_z\\\end{matrix}\right)\end{aligned}​​
Subtraktion
​a→−b→=(axay)−(bxby)=(ax−bxay−by)\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}b_x\\b_y\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_x-b_x\\a_y-b_y\\\end{matrix}\right)​​
​a→−b→=(axayaz)−(bxbybz)=(ax−bxay−byaz−bz)\begin {aligned}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} &=\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{matrix}\right) \\ &=\left(\begin{matrix}a_x-b_x\\a_y-b_y\\a_z-b_z\\\end{matrix}\right)\end {aligned}​​
Vektor-vielfaches
​r⋅a→=r⋅(axay)=(r⋅axr⋅ay)r\cdot\overrightarrow{a}=r\cdot\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}r\cdot a_x\\r\cdot a_y\\\end{matrix}\right)​​
​r⋅a→=r⋅(axayaz)=(r⋅axr⋅ayr⋅az)r\cdot\overrightarrow{a}=r\cdot\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}{r\cdot a}_x\\r\cdot a_y\\r\cdot a_z\\\end{matrix}\right)​​
Betrag (Länge)
​∣a→∣=ax2+ay2\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}​​
​∣a→∣=ax2+ay2+az2\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}​​
Streckenlänge von AB→\overrightarrow{AB}​​
​∣AB→∣\left|\overrightarrow{AB}\right|​​
​(bx−ax)2+(by−ay)2\sqrt{{(b_x-a_x)}^2+{(b_y-a_y)}^2}​​
​(bx−ax)2+(by−ay)2+(bz−az)2\sqrt{{(b_x-a_x)}^2+{(b_y-a_y)}^2+{(b_z-a_z)}^2}​​
Streckenmittelpunkt MM​von AB→\overrightarrow{AB}:
​0M→\overrightarrow{0M}​​
​OM→=OA→+12AB→=(axay)+12(bx−axby−ay)\begin{aligned}\overrightarrow{OM}&=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \\ \\&=\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\\end{matrix}\right)+\frac{1}{2}\left(\begin{matrix}{b_x-a}_x\\b_y-a_y\\\end{matrix}\right)\end{aligned}​​
​OM→=OA→+12AB→=(axayaz)+12(bx−axby−aybz−az)\begin{aligned}\overrightarrow{OM}&=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \\ \\&=\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{matrix}\right)+\frac{1}{2}\left(\begin{matrix}{b_x-a}_x\\b_y-a_y\\b_z-a_z\\\end{matrix}\right)\end{aligned}​​


Mathematik; Vektoren; 11.-12. Klasse Gymnasium; Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D

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