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Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D

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Einstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

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Baumdiagramm zeichnen & Wahrscheinlichkeit bestimmen

Mengen und Vierfeldertafel: Wahrscheinlichkeiten darstellen

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Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

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Numerische Integration: Methoden

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Polynomfunktion bestimmen

Achsenschnittpunkte einer Funktion bestimmen

Monotonie: Definition und Vorgehen

Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

Wendepunkte bestimmen und unterscheiden

Schreibweise und Bestimmung des Definitionsbereichs

Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bestimmen

Verschiedene Extremalwertprobleme lösen

Funktionenscharen: Definition & Beispiele

Ableiten

Differentialrechnung: Definition & Vorgehen

Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel

Ableitung Potenzfunktion und Ableitungsregeln

Ableitung trigonometrischer Funktionen

Ableitung Exponentialfunktion & Ableitungsregeln

Tangenten- und Normalengleichung bestimmen

Gleichungen und Funktionen

Exponentialgleichungen lösen

Exponentialfunktionen: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Logarithmen: Definition & Logarithmusgesetze

Logarithmusgleichungen lösen

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Trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus & Tangens

Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

Zusammengesetzte Funktionen: Ableitungen & Verkettungen

​​Grenzwerte & Asymptoten bestimmen

Erklärvideo

Zusammenfassung

Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D 

Rechenregeln 

Für das Rechnen mit Vektoren gelten folgende Regeln:   


Regel
2D
3D
Addition
​a→+b→=(axay)+(bxby)=(ax+bxay+by)\begin{aligned}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} &= \left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}b_x\\b_y\\\end{matrix}\right) \\&= \left(\begin{matrix}a_x+b_x\\a_y+b_y\\\end{matrix}\right)\end{aligned}a+b​=(ax​ay​​)+(bx​by​​)=(ax​+bx​ay​+by​​)​​​
​a→+b→=(axayaz)+(bxbybz)=(ax+bxay+byaz+bz)\begin{aligned}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} &= \left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{matrix}\right) \\ &=\left(\begin{matrix}a_x+b_x\\a_y+b_y\\a_z+b_z\\\end{matrix}\right)\end{aligned}a+b​=​ax​ay​az​​​+​bx​by​bz​​​=​ax​+bx​ay​+by​az​+bz​​​​​​
Subtraktion
​a→−b→=(axay)−(bxby)=(ax−bxay−by)\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}b_x\\b_y\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_x-b_x\\a_y-b_y\\\end{matrix}\right)a−b=(ax​ay​​)−(bx​by​​)=(ax​−bx​ay​−by​​)​​
​a→−b→=(axayaz)−(bxbybz)=(ax−bxay−byaz−bz)\begin {aligned}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} &=\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{matrix}\right) \\ &=\left(\begin{matrix}a_x-b_x\\a_y-b_y\\a_z-b_z\\\end{matrix}\right)\end {aligned}a−b​=​ax​ay​az​​​−​bx​by​bz​​​=​ax​−bx​ay​−by​az​−bz​​​​​​
Vektor-vielfaches
​r⋅a→=r⋅(axay)=(r⋅axr⋅ay)r\cdot\overrightarrow{a}=r\cdot\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}r\cdot a_x\\r\cdot a_y\\\end{matrix}\right)r⋅a=r⋅(ax​ay​​)=(r⋅ax​r⋅ay​​)​​
​r⋅a→=r⋅(axayaz)=(r⋅axr⋅ayr⋅az)r\cdot\overrightarrow{a}=r\cdot\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}{r\cdot a}_x\\r\cdot a_y\\r\cdot a_z\\\end{matrix}\right)r⋅a=r⋅​ax​ay​az​​​=​r⋅ax​r⋅ay​r⋅az​​​​​
Betrag (Länge)
​∣a→∣=ax2+ay2\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}​a​=ax2​+ay2​​​​
​∣a→∣=ax2+ay2+az2\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}​a​=ax2​+ay2​+az2​​​​
Streckenlänge von AB→\overrightarrow{AB}AB​​
​∣AB→∣\left|\overrightarrow{AB}\right|​AB​​​
​(bx−ax)2+(by−ay)2\sqrt{{(b_x-a_x)}^2+{(b_y-a_y)}^2}(bx​−ax​)2+(by​−ay​)2​​​
​(bx−ax)2+(by−ay)2+(bz−az)2\sqrt{{(b_x-a_x)}^2+{(b_y-a_y)}^2+{(b_z-a_z)}^2}(bx​−ax​)2+(by​−ay​)2+(bz​−az​)2​​​
Streckenmittelpunkt MMM​von AB→\overrightarrow{AB}AB:
​0M→\overrightarrow{0M}0M​​
​OM→=OA→+12AB→=(axay)+12(bx−axby−ay)\begin{aligned}\overrightarrow{OM}&=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \\ \\&=\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\\end{matrix}\right)+\frac{1}{2}\left(\begin{matrix}{b_x-a}_x\\b_y-a_y\\\end{matrix}\right)\end{aligned}OM​=OA+21​AB=(ax​ay​​)+21​(bx​−ax​by​−ay​​)​​​
​OM→=OA→+12AB→=(axayaz)+12(bx−axby−aybz−az)\begin{aligned}\overrightarrow{OM}&=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \\ \\&=\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{matrix}\right)+\frac{1}{2}\left(\begin{matrix}{b_x-a}_x\\b_y-a_y\\b_z-a_z\\\end{matrix}\right)\end{aligned}OM​=OA+21​AB=​ax​ay​az​​​+21​​bx​−ax​by​−ay​bz​−az​​​​​​


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Lerne mit Grundlagen

Lerne in kleinen Schritten mit Theorieeinheiten und wende das Gelernte mit Übungssets an!
Dauer:
Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln

Teil 1

Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln

Basiswissen Vektoren: Eigenschaften und Verbindungsvektor

Teil 2

Basiswissen Vektoren: Eigenschaften und Verbindungsvektor

Abkürzung

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Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D

Teil 3

Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie verdoppelt man die Länge eines Vektors?

Die Länge eines Vektors verdoppelt sich, wenn man die Zahl 2 mit dem Vektor multipliziert.

Wie subtrahiert man zwei Vektoren voneinander?

Man subtrahiert zwei Vektoren voneinander, indem man zuerst ihre einzelnen Komponenten voneinander subtrahiert und aus den Ergebnissen für die einzelnen Komponenten danach den Ergebnisvektor bildet.

Wie addiert man zwei Vektoren?

Zwei Vektoren addiert man, indem man zuerst die einzelnen Komponenten addiert und aus diesen Ergebnissen für die einzelnen Komponenten dann den Ergebnisvektor bildet.

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