Eigenschaften von Folgen: Monotonie, Beschränkung & Grenzwert

Monotonie

Die Monotonie einer Folge beschreibt die Art des Wachstums zwischen den Folgegliedern.

Arten von Monotonie

Monotonie bestimmen

Beispiel

Bestimme die Monotonie der Folge $$a_n=\frac{1}{n}$$​ für $$n\in\mathbb{N}$$​.

Schritt 1 & 2: $${a_n-a}_{n+1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}-\frac{n}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n\left(n+1\right)}>0$$​    

Der Term ist positiv für alle Werte von $$n$$​, die Folge ist also monoton fallend.

Beschränkung

Die Beschränkung beschreibt mögliche Grenzen der Werte in der Folge. Eine Folge ist beschränkt, wenn sie nicht über einen bestimmten Wert hinausgeht oder einen bestimmten Wert nicht unterschreitet, egal welches $$n$$​ man einsetzt.

Arten von Beschränkung

Beispiel

Bestimme die Obergrenze der Folge $$a_n=\frac{1}{n}$$​ für $$n\in\mathbb{N}$$​.

Die Folge ist, wie im vorherigen Beispiel, bestimmt monoton fallend. Die Obergrenze ist also der Startwert ($$n=1$$​), da alle weiteren Werte der Folge kleiner sind als der Startwert:

$$a_1=\frac{1}{1}=\underline{1=s_{oben}}$$​​