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Eigenschaften von Folgen: Monotonie, Beschränkung & Grenzwert

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Lehrperson: Martin

Zusammenfassung

Eigenschaften von Folgen: Monotonie, Beschränkung & Grenzwert

Monotonie

Die Monotonie einer Folge beschreibt die Art des Wachstums zwischen den Folgegliedern.


Arten von Monotonie

MONOTON STEIGEND

an+1ana_{n+1}\geq a_n​​

Für alle Folgeglieder gilt, dass der Nachfolger immer größer oder gleich seinem Vorgänger ist.

MONOTON FALLEND

an+1ana_{n+1}\le a_n​​

Für alle Folgeglieder gilt, dass der Nachfolger immer kleiner oder gleich seinem Vorgänger ist.


Monotonie bestimmen

1.

Bestimme den Term anan+1{a_n-a}_{n+1}

Tipp: Setze bei ana_n für nn den Term n+1n+1 ein, um an+1a_{n+1} zu erhalten.

2.

Vereinfache den Term so weit wie möglich.

3.

Prüfe, ob Folgendes gilt:

anan+1>0{a_n-a}_{n+1}>0​​

Monoton fallend

anan+1<0{a_n-a}_{n+1}<0​​

Monoton wachsend

Ansonsten ist die Folge weder monoton fallend noch monoton wachsend.


Beispiel

Bestimme die Monotonie der Folge an=1na_n=\frac{1}{n} für nNn\in\mathbb{N}.


Schritt 1 & 2: anan+1=1n1n+1=n+1n(n+1)nn(n+1)=1n(n+1)>0{a_n-a}_{n+1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}-\frac{n}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n\left(n+1\right)}>0​    


Der Term ist positiv für alle Werte von nn, die Folge ist also monoton fallend.



Beschränkung

Die Beschränkung beschreibt mögliche Grenzen der Werte in der Folge. Eine Folge ist beschränkt, wenn sie nicht über einen bestimmten Wert hinausgeht oder einen bestimmten Wert nicht unterschreitet, egal welches nn man einsetzt.


Arten von Beschränkung

NACH OBEN BESCHRÄNKT

sobenans_{oben}\geq a_n​, für nNn\in\mathbb{N}

Die Werte der Folge gehen nicht über eine Obergrenze (sobens_{oben}) hinaus.

NACH UNTEN BESCHRÄNKT

suntenans_{unten}\le a_n​, für nNn\in\mathbb{N}

Die Werte der Folge gehen nicht unter eine Untergrenze (suntens_{unten}).


Beispiel

Bestimme die Obergrenze der Folge an=1na_n=\frac{1}{n} für nNn\in\mathbb{N}.


Die Folge ist, wie im vorherigen Beispiel, bestimmt monoton fallend. Die Obergrenze ist also der Startwert (n=1n=1), da alle weiteren Werte der Folge kleiner sind als der Startwert:

a1=11=1=sobena_1=\frac{1}{1}=\underline{1=s_{oben}}​​




Mathematik; Folgen; 11.-12. Klasse Gymnasium; Eigenschaften von Folgen: Monotonie, Beschränkung & Grenzwert




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Wie zeige ich dass eine Folge beschränkt ist?

Wann gibt es keine Monotonie?

Wie beweist man dass eine Folge monoton ist?

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