Komponentendarstellung in 2D und 3D

Wie man Vektoren mit Zahlen beschreibt:

2-Dimensional	3-Dimensional
​$$\overrightarrow{a} = \left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\\end{matrix}\right)$$ ​$$a_x$$​ die $$x$$​-Komponente ​$$a_y$$​ die $$y$$​-Komponente	​$$\overrightarrow{a} = \left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{matrix}\right)$$​​ $$a_x$$​ die $$x$$​-Komponente ​$$a_y$$​ die $$y$$​-Komponente ​$$a_z$$​ die $$z$$​-Komponente

Länge

Berechnungen der Länge eines Vektors: 

Spezielle Vektoren

Linearkombination 

Jeder Vektor lässt sich als Linearkombination von den Basisvektoren (Vektoren der Koordinatenachsen) darstellen:

Punkte und Vektoren

Ortsvektor

Jeder Punkt P im Koordinatensystem mit einem Ortsvektor beschreiben. Der Ortsvektor zeigt vom Ursprung zum Punkt. Man schreibt $$\overrightarrow{0P}$$​.

In 2D und 3D gültig.

Beispiel

Ortsvektor von $$P\left(3|1|5\right)$$​​

​$$\overrightarrow{0P}=\left(\begin{matrix}3\\1\\5\\\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}0\\0\\0\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\\5\\\end{matrix}\right)$$​​

Verbindungsvektor

Der Verbindungsvektor $$\overrightarrow{AB}$$​ zeigt vom Punkt $$A$$​ zum Punkt $$B$$​. Er gibt für jede Koordinate die Entfernung an. Berechnung: ​$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0B}-\overrightarrow{0A}=\left(\begin{matrix}b_x-a_x\\b_y-a_y\\b_z-a_z\\\end{matrix}\right)$$​​

In 2D und 3D gültig.

Beispiel 

Verbindungsvektor von $$A\left(3|1|5\right)$$​ nach $$B(2|4|2)$$​

​$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0B}-\overrightarrow{0A}=\left(\begin{matrix}2-3\\4-1\\2-5\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\\-3\\\end{matrix}\right)$$​​