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Komponentendarstellung in 2D und 3D

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Kreise und Kugeln: Lagebeziehungen und Formeln

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Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

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Hess'sche Normalform: Formel und Eigenschaften

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Vektoren

Basiswissen Vektoren: Eigenschaften und Verbindungsvektor

Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln

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Komponentendarstellung in 2D und 3D

Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D

Skalarprodukt: Berechnung und Rechenregeln

Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

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Vektorräume & lineare Unabhängigkeit

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Matrizen: Definition, Eigenschaften & spezielle Matrizen

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Zweiseitigen Signifikanztest durchführen: Vorgehen

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Fehler 1. und 2. Art: Definition & Beispiel

Bayes’sche Statistik: Definition & Beispiel

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Einstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

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Mengen und Vierfeldertafel: Wahrscheinlichkeiten darstellen

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Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

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Substitutionsmethode verstehen und anwenden

Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Volumenberechnung von Rotationskörpern

Uneigentliches Integral an waagrechten & senkrechten Asymptoten

Numerische Integration: Methoden

Extrem- und Wendepunkte

Polynomfunktion bestimmen

Achsenschnittpunkte einer Funktion bestimmen

Monotonie: Definition und Vorgehen

Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

Wendepunkte bestimmen und unterscheiden

Schreibweise und Bestimmung des Definitionsbereichs

Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bestimmen

Verschiedene Extremalwertprobleme lösen

Funktionenscharen: Definition & Beispiele

Komplettes Vorgehen Kurvendiskussion

Ableiten

Differentialrechnung: Definition & Vorgehen

Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel

Ableitung Potenzfunktion und Ableitungsregeln

Ableitung trigonometrischer Funktionen

Ableitung Exponentialfunktion & Ableitungsregeln

Ableitung Exponential- und Logarithmusfunktion

Tangenten- und Normalengleichung bestimmen

Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Gleichungen und Funktionen

Exponentialgleichungen lösen

Exponentialfunktionen: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Wachstums- und Zerfallsprozesse berechnen

Logarithmen: Definition & Logarithmusgesetze

Logarithmusgleichungen lösen

Logarithmusfunktion: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus & Tangens

Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

Gebrochen-rationale Funktion: Definition & Beispiel

Zusammengesetzte Funktionen: Ableitungen & Verkettungen

​​Grenzwerte & Asymptoten bestimmen

Newtonverfahren: Definition & Anwendung

Erklärvideo

Erklärvideo 1

Erklärvideo 2

Zusammenfassung

Komponentendarstellung in 2D und 3D

Wie man Vektoren mit Zahlen beschreibt:


2-Dimensional

3-Dimensional

​a→=(axay)\overrightarrow{a} = \left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\\end{matrix}\right)a=(ax​ay​​)

  • ​axa_xax​​ die xxx​-Komponente
  • ​aya_yay​​ die yyy​-Komponente

​a→=(axayaz)\overrightarrow{a} = \left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{matrix}\right)a=​ax​ay​az​​​​​


  • axa_xax​​ die xxx​-Komponente
  • ​aya_yay​​ die yyy​-Komponente
  • ​aza_zaz​​ die zzz​-Komponente
Mathematik; Vektoren und Koordinatensystem; 7. Klasse Realschule; Komponentendarstellung in 2D und 3D
Mathematik; Vektoren und Koordinatensystem; 7. Klasse Realschule; Komponentendarstellung in 2D und 3D



Länge

Berechnungen der Länge eines Vektors: 

2-Dimensional

3-Dimensional

​∣a→∣=ax2+ay2\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}​a​=ax2​+ay2​​​​
​∣a→∣=ax2+ay2+az2\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}​a​=ax2​+ay2​+az2​​​​

Spezielle Vektoren

​Nullvektor 0→\overrightarrow{0}0​​
​0→=(000)\overrightarrow{0} = \left(\begin{matrix}0\\0\\0\\\end{matrix}\right)0=​000​​​​

​Gegenvektor
von v→=(vxvyvz)\overrightarrow{v}=\left(\begin{matrix}v_x\\v_y\\v_z\\\end{matrix}\right)v=​vx​vy​vz​​​ ist Gegenvektor: −v→=(−vx−vy−vz)-\overrightarrow{v}=\left(\begin{matrix}-v_x\\-v_y\\-v_z\\\end{matrix}\right)−v=​−vx​−vy​−vz​​​​​

Einheitsvektor
Jeder Vektor mit der Länge «1». Einheitsvektor von v→\overrightarrow{v}v​:
 ve→=1∣v→∣(vxvyvz)\overrightarrow{v_e}=\frac{1}{\left|\overrightarrow{v}\right|} \left(\begin{matrix}v_x\\v_y\\v_z\\\end{matrix}\right)ve​​=​v​1​​vx​vy​vz​​​​​


Linearkombination 

Jeder Vektor lässt sich als Linearkombination von den Basisvektoren (Vektoren der Koordinatenachsen) darstellen:


2D:
​​v→ =(vxvy)=vx(10)+vy(01)=vxe1→+vye2→\overrightarrow{v}\ = \left(\begin{matrix}v_x\\v_y\\\end{matrix}\right) = v_x \left(\begin{matrix}1\\0\\\end{matrix}\right) +v_y\left(\begin{matrix}0\\1\\\end{matrix}\right)=v_x\overrightarrow{e_1}+v_y\overrightarrow{e_2}v =(vx​vy​​)=vx​(10​)+vy​(01​)=vx​e1​​+vy​e2​​​​​

3D:
​v→ =(vxvyvz)=vx(100)+vy(010)+vz(001)=vxe1→+vye2→+vze3→\overrightarrow{v}\ = \left(\begin{matrix}v_x\\v_y\\v_z\\\end{matrix}\right) = v_x \left(\begin{matrix}1\\0\\0\\\end{matrix}\right) +v_y\left(\begin{matrix}0\\1\\0\\\end{matrix}\right)+v_z\left(\begin{matrix}0\\0\\1\\\end{matrix}\right)=v_x\overrightarrow{e_1}+v_y\overrightarrow{e_2}+v_z\overrightarrow{e_3}v =​vx​vy​vz​​​=vx​​100​​+vy​​010​​+vz​​001​​=vx​e1​​+vy​e2​​+vz​e3​​​



Punkte und Vektoren

Ortsvektor

Jeder Punkt P im Koordinatensystem mit einem Ortsvektor beschreiben.
Der Ortsvektor zeigt vom Ursprung zum Punkt. Man schreibt 0P→\overrightarrow{0P}0P​.
Mathematik; Vektoren und Koordinatensystem; 7. Klasse Realschule; Komponentendarstellung in 2D und 3D
In 2D und 3D gültig.


Beispiel

Ortsvektor von P(3∣1∣5)P\left(3|1|5\right)P(3∣1∣5)​​

​0P→=(315)−(000)=(315)\overrightarrow{0P}=\left(\begin{matrix}3\\1\\5\\\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}0\\0\\0\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\\5\\\end{matrix}\right)0P=​315​​−​000​​=​315​​​​


Verbindungsvektor

Der Verbindungsvektor AB→\overrightarrow{AB}AB​ zeigt vom Punkt AAA​ zum Punkt BBB​. Er gibt für jede Koordinate die Entfernung an.

Berechnung:
​AB→=0B→−0A→=(bx−axby−aybz−az)\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0B}-\overrightarrow{0A}=\left(\begin{matrix}b_x-a_x\\b_y-a_y\\b_z-a_z\\\end{matrix}\right)AB=0B−0A=​bx​−ax​by​−ay​bz​−az​​​​​
Mathematik; Vektoren und Koordinatensystem; 7. Klasse Realschule; Komponentendarstellung in 2D und 3D
In 2D und 3D gültig.


Beispiel 

Verbindungsvektor von A(3∣1∣5)A\left(3|1|5\right)A(3∣1∣5)​ nach B(2∣4∣2)B(2|4|2)B(2∣4∣2)​

​AB→=0B→−0A→=(2−34−12−5)=(−13−3)\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0B}-\overrightarrow{0A}=\left(\begin{matrix}2-3\\4-1\\2-5\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\\-3\\\end{matrix}\right)AB=0B−0A=​2−34−12−5​​=​−13−3​​​​




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Lerne mit Grundlagen

Lerne in kleinen Schritten mit Theorieeinheiten und wende das Gelernte mit Übungssets an!
Dauer:
Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln

Teil 1

Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln

Koordinatensysteme und Koordinatenebenen

Teil 2

Koordinatensysteme und Koordinatenebenen

Basiswissen Vektoren: Eigenschaften und Verbindungsvektor

Teil 3

Basiswissen Vektoren: Eigenschaften und Verbindungsvektor

Abkürzung

Erziele 80% um direkt zum letzten Teil zu springen.

Dies ist die Lektion, in der du dich gerade befindest, und das Ziel des Pfades.

Komponentendarstellung in 2D und 3D

Teil 4

Komponentendarstellung in 2D und 3D

Finaler Test

Test aller vorherigen Teile, um einen Belohnungsplaneten zu erhalten.

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie berechnet man die Länge eines zweidimensionalen Vektors?

Die Länge eines zweidimensionalen Vektors kann man berechnen, indem man die beiden Vektorkomponenten quadriert, danach addiert und schließlich die Wurzel aus dieser Summe zieht.

Was ist ein Einheitsvektor?

Ein Einheitsvektor ist ein Vektor mit der Länge 1. Man kann zu jedem beliebigen Vektor einen Einheitsvektor erhalten, indem man jede Vektorkomponente durch die Länge des gesamten Vektors teilt.

Was ist ein Gegenvektor?

Multipliziert man einen Vektor mit -1, so erhält man seinen Gegenvektor. Der Gegenvektor hat dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor, aber die entgegengesetzte Richtung.

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