Lineare Gleichungssysteme & Gauß Verfahren

Definition

Ein lineares Gleichungssystem bezeichnet eine Gruppe von linearen Gleichungen, die einen Zusammenhang zwischen verschiedenen Variablen herstellt. Man kann ein lineares Gleichungssystem in drei Variablen $$(x,y,z)$$​ und mit drei Gleichungen darstellen:

​$$a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\a_3x+b_3y+c_3z=d_3$$​​

Die $$a_i,\ b_i,\ c_i,\ d_i$$​ sind die Koeffizienten des Gleichungssystems. 

Im Allgemeinen kann sowohl die Anzahl Gleichungen, als auch die Anzahl Variablen unabhängig voneinander variieren. Oftmals begegnest Du jedoch Gleichungssystemen mit gleich vielen Variablen und Gleichungen. 

Beispiel – Lineares Gleichungssystem mit drei Variablen und drei Gleichungen:

$$\begin{matrix}2x-3y-z=&-9\\y+2z=&11\\-3z=&-12\end{matrix}$$​​

Schreibweisen

Die Darstellung des Gleichungssystems in der Definition wird von nun an als Standardschreibweise bezeichnet. Es gibt jedoch noch weitere Möglichkeiten lineare Gleichungssysteme darzustellen.

Vektor-Matrix Schreibweise

Eine weitere Möglichkeit bietet die Vektor-Matrix Schreibweise. Darin werden Gleichungssysteme übersichtlicher dargestellt und damit weiterführende Berechnungen erleichtert. Statt die Gleichungen einzeln zu schreiben, wird hier eine Vektor-Matrix Multiplikation verwendet.

Beispiel – Das Gleichungssystem aus dem obigen Beispiel kann demnach auch wie folgt notiert werden:

$$\left(\begin{matrix}2&-3&-1\\0&1&2\\0&0&-3\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\11\\-12\\\end{matrix}\right)$$​​

Erweiterte Koeffizientenmatrix

Die erweiterte Koeffizentenmatrix ist der Vektor-Matrix Schreibweise sehr ähnlich. Es wird lediglich die rechte Seite der Gleichungen mit in die Matrix geschrieben, wobei diese mit einem Trennstrich abgetrennt wird:

Beispiel – Das Gleichungssystem aus dem obigen Beispiel kann demnach wie folgt als erweiterte Koeffizientenmatrix notiert werden:

$$\left(\begin{matrix}2&-3&-1\ \\0&1&2\ \\0&0&-3\ \\\end{matrix}\middle|\begin{matrix}\ -9\\11\\\ -12\\\end{matrix}\right)$$​​

Lösungsverfahren

Ist das Gleichungssystem in Stufenform, so kann es einfach gelöst werden. Eine Stufenform liegt genau dann vor, wenn die Matrix in der Vektor-Matrix Schreibweise eine obere Dreiecksmatrix (eine Matrix, in der alle Einträge unter der Hauptdiagonalen null sind) ist. 

Beispiel – Das Gleichungssystem aus dem obigen Beispiel liegt in Stufenform vor und kann daher wie folgt gelöst werden:

​$$\begin{matrix}2x-3y-z=&-9\\y+2z=&11\\-3z=&-12\end{matrix}$$​​

Aus der letzten Gleichung geht direkt hervor, dass 

$$z=\ 4$$​​

Setzt man diesen Wert nun in die zweite Gleichung ein, erhalten wir

$$y+8=11\\y=3$$​​

Einsetzen der Werte für $$y$$ und $$z$$​ in die erste Gleichung ergibt

$$2x-9-4=-9\\x=2$$​​

Somit erhält man die Lösung $$\underline{x=2,y=3,z=4}$$​

Gauß-Verfahren

Das Gauß-Verfahren ist eine Methode, um allgemeine lineare Gleichungssysteme zu lösen. Für dieses Verfahren werden die folgenden Äquivalenzumformungen für Matrizen benötigt. Diese Äquivalenzumformungen können jedoch auch auf ein Gleichungssystem in Standardschreibweise (vgl. Definition) angewendet werden.

ÄQUIVALENZUMFORMUNGEN

Beachte: Äquivalenzumformungen ändern niemals die Reihenfolge der Spalten in der Matrix. 

Da es sich lediglich um verschiedene Schreibweisen für ein lineares Gleichungssystem handelt, kann das Gauß-Verfahren sowohl auf eine erweiterte Koeffizentenmatrix, als auch direkt auf ein System von linearen Gleichungen angewandt werden. Anschließend ist das Vorgehen für die Schreibweise mittels einer Koeffizientenmatrix beschrieben:

VORGEHEN

Beispiel – Lösen des Gleichungssystems:

$$\begin{matrix}3y+z=&-1\\3x+6y-4z=&7\\x-4y-3z=&5\end{matrix}$$​​

Zur Veranschaulichung wird das Verfahren anhand von zwei unterschiedlichen Schreibweisen beschrieben.

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Lösungsmengen

Ein Gleichungssystem mit drei Variablen und drei Gleichungen hat entweder keine Lösung, eine einzige Lösung, oder unendlich viele Lösungen. Welche Option zutrifft, erkennst Du an der untersten Zeile der Koeffizientenmatrix nach Schritt 2 des Gauß-Verfahrens. 

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