PARALLEL

Gerade liegt parallel zur Ebene

• Richtungsvektor der Gerade und Normalenvektor stehen senkrecht
  
• Stützpunkt der Gerade ist nicht Teil der Ebene
  

GERADE ALS TEIL DER EBENE

Gerade ist Teil der Ebene

• Richtungsvektor der Gerade und Normalenvektor stehen senkrecht
  
• Stützpunkt der Gerade ist Teil der Ebene
  

EIN SCHNITTPUNKT

Gerade und Ebene schneiden sich im Schnittpunkt S

• Richtungsvektor der Gerade und Normalenvektor stehen nicht senkrecht zueinander
  
• Gerade und Ebene haben genau einen gemeinsamen Punkt
  

1.

Gleichungssystem erstellen, indem man Geraden- und Ebenengleichung komponentenweise gleichsetzt.

Gegeben:

$$E:\overrightarrow x=\overrightarrow q + s\cdot\overrightarrow u+t \cdot \overrightarrow v,\\g:\overrightarrow x=\overrightarrow q+r\cdot \overrightarrow w,\\r,s,t\ \in\mathbb{R}$$​​

2.

Gleichungssystem lösen: Streckfaktoren r, s und t berechnen.

3.

Streckfaktoren in Geraden oder Ebenengleichung einsetzen, um den Schnittpunkt zu berechnen.

1.

Gerade in die Ebenengleichung einsetzen:

• $$x$$​-Zeile der Gerade in  der Ebene einsetzen.
  
• $$y$$​-Zeile der Gerade in  der Ebene einsetzen.
  
• $$z$$​-Zeile der Gerade in  der Ebene einsetzen.
  

Streckfaktor berechnen.

Gegeben:

$$E:ax+by+cz=d\\ g:\overrightarrow x =\overrightarrow q+s\cdot\overrightarrow u,\ \ \ \ s\in\mathbb{R}$$​​

2.

Streckfaktor in Geradengleichung einsetzen und den Schnittpunkt berechnen.

Gerade und Ebene:

$$g:\ \ \overrightarrow x=\overrightarrow p+s\cdot\overrightarrow u\\E:\ \ \overrightarrow n\cdot\overrightarrow x=d$$​​

1.

Bilde eine Gerade h durch Q senkrecht zu E:

Richtungsvektor ist $$\overrightarrow {n_E}$$​ Stützpunkt Q

​$$h:\ \ \overrightarrow x=\overrightarrow{0Q}+t\cdot\overrightarrow{n_E},\ \ t\in\mathbb{R}$$​​

Gegeben: 

Ebene: $$E:\ \ \overrightarrow n \cdot \overrightarrow x = d$$​

Gerade: $$g:\ \ \overrightarrow x= \overrightarrow q+s|cdot \overrightarrow u,\ \ s\in\mathbb{R}$$​

Q ist der Stützpunkt von g: $$\overrightarrow q=\overrightarrow{0Q}$$​

2.

Streckfaktor  des Schnittpunkts zwischen E und h berechnen.

3.

Erhaltenen Streckfaktor verdoppeln und in die Gerade h einsetzen:

$$\overrightarrow{0Q'}=\overrightarrow{0Q}+2\cdot t_T\cdot \overrightarrow{n_E}$$​​

Somit den Reflektionspunkt Q’ berechnen.

4.

Schnittpunkt S zwischen g und E berechnen.

5.

Gerade durch die Punkte Q’ und S berechnen.

Dies ist die gespiegelte Gerade g’.