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Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade

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Polynomfunktion bestimmen

Achsenschnittpunkte einer Funktion bestimmen

Monotonie: Definition und Vorgehen

Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

Wendepunkte bestimmen und unterscheiden

Schreibweise und Bestimmung des Definitionsbereichs

Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bestimmen

Verschiedene Extremalwertprobleme lösen

Funktionenscharen: Definition & Beispiele

Ableiten

Differentialrechnung: Definition & Vorgehen

Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel

Ableitung Potenzfunktion und Ableitungsregeln

Ableitung trigonometrischer Funktionen

Ableitung Exponentialfunktion & Ableitungsregeln

Tangenten- und Normalengleichung bestimmen

Gleichungen und Funktionen

Exponentialgleichungen lösen

Exponentialfunktionen: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Logarithmen: Definition & Logarithmusgesetze

Logarithmusgleichungen lösen

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Trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus & Tangens

Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

Zusammengesetzte Funktionen: Ableitungen & Verkettungen

​​Grenzwerte & Asymptoten bestimmen

Erklärvideo

Lehrperson: Martin
Lehrperson: Martin

Erklärvideo 1

Erklärvideo 2

Zusammenfassung

Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade

Lage Gerade zur Ebene

Die drei Fälle

PARALLEL

Gerade liegt parallel zur Ebene

  • Richtungsvektor der Gerade und Normalenvektor stehen senkrecht
  • Stützpunkt der Gerade ist nicht Teil der Ebene
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GERADE ALS TEIL DER EBENE

Gerade ist Teil der Ebene

  • Richtungsvektor der Gerade und Normalenvektor stehen senkrecht
  • Stützpunkt der Gerade ist Teil der Ebene
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EIN SCHNITTPUNKT

Gerade und Ebene schneiden sich im Schnittpunkt S

  • Richtungsvektor der Gerade und Normalenvektor stehen nicht senkrecht zueinander
  • Gerade und Ebene haben genau einen gemeinsamen Punkt
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Schnittpunkt Gerade-Ebene bestimmen

Variante 1: Ebene in Parameterform

VORGEHEN

1.

Gleichungssystem erstellen, indem man Geraden- und Ebenengleichung komponentenweise gleichsetzt.

Gegeben:

E:x→=q→+s⋅u→+t⋅v→,g:x→=q→+r⋅w→,r,s,t ∈RE:\overrightarrow x=\overrightarrow q + s\cdot\overrightarrow u+t \cdot \overrightarrow v,\\g:\overrightarrow x=\overrightarrow q+r\cdot \overrightarrow w,\\r,s,t\ \in\mathbb{R}E:x=q​+s⋅u+t⋅v,g:x=q​+r⋅w,r,s,t ∈R​​

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2.

Gleichungssystem lösen: Streckfaktoren r, s und t berechnen.

3.

Streckfaktoren in Geraden oder Ebenengleichung einsetzen, um den Schnittpunkt zu berechnen.

​

Variante 2: Ebene in Koordinatenform

Die oftmals leichtere Variante.


VORGEHEN

1.

Gerade in die Ebenengleichung einsetzen:

  • xxx​-Zeile der Gerade in  der Ebene einsetzen.
  • yyy​-Zeile der Gerade in  der Ebene einsetzen.
  • zzz​-Zeile der Gerade in  der Ebene einsetzen.

Streckfaktor berechnen.

Gegeben:

E:ax+by+cz=dg:x→=q→+s⋅u→,    s∈RE:ax+by+cz=d\\ g:\overrightarrow x =\overrightarrow q+s\cdot\overrightarrow u,\ \ \ \ s\in\mathbb{R}E:ax+by+cz=dg:x=q​+s⋅u,    s∈R​​

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2.

Streckfaktor in Geradengleichung einsetzen und den Schnittpunkt berechnen.


​

Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene

Berechnung

Gerade und Ebene:

g:  x→=p→+s⋅u→E:  n→⋅x→=dg:\ \ \overrightarrow x=\overrightarrow p+s\cdot\overrightarrow u\\E:\ \ \overrightarrow n\cdot\overrightarrow x=dg:  x=p​+s⋅uE:  n⋅x=d​​
​sin(α)=∣u→⋅n→∣∣u→∣⋅∣n→∣sin(\alpha)=\frac{|\overrightarrow u \cdot\overrightarrow n|}{|\overrightarrow u|\cdot|\overrightarrow n|}sin(α)=∣u∣⋅∣n∣∣u⋅n∣​​​
​α=sin−1=(∣u→⋅n→∣∣u→∣⋅∣n→∣)\alpha=sin^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{|\overrightarrow u \cdot\overrightarrow n|}{|\overrightarrow u|\cdot|\overrightarrow n|}\end{pmatrix}α=sin−1=(∣u∣⋅∣n∣∣u⋅n∣​​)​​


​

Reflektion Gerade an einer Ebene

Eine Gerade ggg​ soll an einer Ebene E gespiegelt werden. Die entstehende Gerade g′g'g′​ nennen wir hier die „gespiegelte Gerade“. 


Mit Hilfe einer Hilfsgeraden

VORGEHEN

1.

Bilde eine Gerade h durch Q senkrecht zu E:

Richtungsvektor ist nE→\overrightarrow {n_E}nE​​​ Stützpunkt Q

​h:  x→=0Q→+t⋅nE→,  t∈Rh:\ \ \overrightarrow x=\overrightarrow{0Q}+t\cdot\overrightarrow{n_E},\ \ t\in\mathbb{R}h:  x=0Q​+t⋅nE​​,  t∈R​​

Gegeben: 

Ebene: E:  n→⋅x→=dE:\ \ \overrightarrow n \cdot \overrightarrow x = dE:  n⋅x=d​

Gerade: g:  x→=q→+s∣cdotu→,  s∈Rg:\ \ \overrightarrow x= \overrightarrow q+s|cdot \overrightarrow u,\ \ s\in\mathbb{R}g:  x=q​+s∣cdotu,  s∈R​

Q ist der Stützpunkt von g: q→=0Q→\overrightarrow q=\overrightarrow{0Q}q​=0Q​​

2.

Streckfaktor  des Schnittpunkts zwischen E und h berechnen.

3.

Erhaltenen Streckfaktor verdoppeln und in die Gerade h einsetzen:

0Q′→=0Q→+2⋅tT⋅nE→\overrightarrow{0Q'}=\overrightarrow{0Q}+2\cdot t_T\cdot \overrightarrow{n_E}0Q′​=0Q​+2⋅tT​⋅nE​​​​

Somit den Reflektionspunkt Q’ berechnen.

4.

Schnittpunkt S zwischen g und E berechnen.

5.

Gerade durch die Punkte Q’ und S berechnen.

Dies ist die gespiegelte Gerade g’.

Skizze:

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Skizze mit allen Hilfselementen:

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Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

Teil 1

Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

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Dies ist die Lektion, in der du dich gerade befindest, und das Ziel des Pfades.

Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade

Teil 2

Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wann schneidet eine Gerade die xy-Ebene?

Die xy-Ebene hat die Gleichung z=0. Hat der Richtungsvektor der Geraden einen z-Eintrag ungleich 0, schneidet die Gerade die Ebene.

Wie berechnet man den Schnittpunkt von Gerade und Ebene?

Komponentenweises Gleichsetzen von Gerade und Ebenengleichung. Gleichungssystem lösen und resultierender Streckfaktor in Geradengleichung einsetzen.

Wie können eine Gerade und eine Ebene zueinander liegen?

Es gibt 3 mögliche Lagen. Die Gerade liegt parallel zur Ebene, die Gerade liegt innerhalb der Ebene oder die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt.

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