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Einstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Ein einstufiges Zufallsexperiment ist ein Zufallsexperiment, welches genau einmal durchgeführt wird.

Wahrscheinlichkeit

Definition

Die Wahrscheinlichkeit gibt die Chance an, dass ein bestimmtes Ergebnis eintritt.

Mit Wahrscheinlichkeiten wird versucht das Ergebnis von Zufallsexperimenten vorauszusagen. 

Laplace-Experimente

Zufallsexperimente, bei denen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, werden Laplace-Experimente genannt. Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses kann hier leicht berechnet werden. Für ein Experiment mit $$n$$​ Ergebnissen, hat jedes Ergebnis $$\omega\$$​ die Wahrscheinlichkeit $$P(\omega)=\ \frac{1}{n}$$​.

Hinweis: Ein Ereignis $$E$$ ist eine Teilmenge von Ergebnissen $$\omega$$.

Formel

Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen können als Bruch, Dezimalzahl oder Prozentzahl angegeben werden.

Als Bruch:

$$P\left(Ereignis\ E\right)=\frac {Anzahl\ zugehöriger\ Ergebnisse\ ω}{Gesamtzahl\ aller\ möglichen\ Ergebnisse}$$​​

Als Dezimalzahl:

$$P\left(Ereignis\ E\right)=\ Anzahl\ zugehöriger\ Ergebnisse\ ω\ ∶\ Gesamtzahl\ aller\ möglichen\ Ergebnisse$$​​

Als Prozentzahl:

​$$P\left(Ereignis\ E\right)=Dezimalzahl\cdot100\$$​​

Summenregel

Du erhältst die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses auch, indem Du die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse addierst.

$$P\left(Ereignis\ E\right)=\ P\left(Ergebnis\ 1\right)+\ P\left(Ergebnis\ 2\right)+\ldots$$​​

Beispiel 1 

Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln:

Ereignis: 

$$„Eine\ 6\ würfeln“$$​

Zugehörige Ergebnisse: 

$$„Eine\ 6\ würfeln“$$​ (Ein zugehöriges Ergebnis)

Alle möglichen Ergebnisse:

 $$„Eine\ 1\ würfeln, eine\ 2\ würfeln,...“$$​ (Insgesamt 6 mögliche Ergebnisse)

 $$P(„Eine\ 6\ Würfeln“) = \frac{Anzahl\ zugehöriger\ Ergebnisse}{Gesamtzahl\ aller\ möglichen\ Ergebnisse}=\underbrace{\frac{1}{6}}_{Bruch}=\underbrace{0{,}1\overline6}_{Dezimal}=\underbrace{\underline{16{,}\overline6 \%}}_{Prozent}$$​

Beispiel 2 

Wahrscheinlichkeit mindestens eine 4 zu würfeln:

Ereignis:

 $$„Mind.eine\ 4\ würfeln“$$​

Zugehörige Ergebnisse: 

$$„Eine\ 4\ würfeln, eine\ 5\ würfeln, eine\ 6\ würfeln“$$​ (3 zugehörige Ergebnisse)

Alle möglichen Ergebnisse:

 $$„Eine\ 1\ würfeln, eine\ 2\ würfeln,...“$$​ (Insgesamt 6 mögliche Ergebnisse)

 $$P(„Mind.eine\ 4\ würfeln“) =\frac{ Anzahl\ zugehöriger\ Ergebnisse}{ Gesamtzahl\ aller\ möglichen\ Ergebnisse}=\underbrace{\frac36}_{Bruch}= \frac12=\underbrace{0{,}5}_{Dezimal}=\underbrace{\underline{50 \%}}_{Prozent}$$​

Oder mit der Summenregel:

$$P(„Mind.eine\ 4\ würfeln“)= P(„Eine\ 4\ würfeln“)+ P(„Eine\ 5\ würfeln“)+P(„Eine\ 6\ würfeln“)$$​​

$$=\ \frac{1}{6}+\ \frac{1}{6}+\ \frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\ \underline{\frac{1}{2}}=\underline{50\ \%}$$​​

Wahrscheinlichkeiten von typischen Experimenten

Im Folgenden findest du typische Zufallsereignisse.

​MÜNZWURF

Wahrscheinlichkeit von:

• Kopf ist $$\frac12=50\,\%$$​​
  
• Zahl ist $$\frac12=50\,\%$$​​

WÜRFELWURF

Wahrscheinlichkeit von:

• $$1,2,3,4,5,6$$​ ist jeweils $$\frac16=0{,}1\overline6=16{,}\overline6 \,\%$$​​
  

GLÜCKSRAD

Wahrscheinlichkeit von:

• $$0$$​ ist $$\frac14=25\,\%$$​​
  
• ​$$\$$$​ ist $$\frac14=25\, \%$$​​
  
• ​$$\$\$$$​ ist $$\frac24=50 \,\%$$​​

STREICHHOLZ

Wahrscheinlichkeit von:

• kurzes Holz ist $$\frac13=33{,}\overline3\,\%$$​​
  
• langes Holz ist $$\frac23=66{,}\overline6\,\%$$​​

URNE

Wahrscheinlichkeit von:

• zwei weisse Kugeln ist $$\frac{2}{10}=20\,\%$$​​
• drei schwarze Kugeln ist $$\frac{3}{10}=30\,\%$$​​
• fünf gestreifte Kugeln ist $$\frac{5}{10}=50\,\%$$​​

UMFRAGE

$$15$$​ von $$20$$​ Schüler*innen mögen Ski- mehr als Snowboard fahren.

Wahrscheinlichkeit von:

• Ski ist $$\frac{15}{20}=75\,\%$$​​
  
• Snowboard ist $$\frac{5}{20}=25\,\%$$​

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