Fehler 1. und 2. Art: Definition & Beispiel

Signifikanztests kommen immer dann zum Einsatz, wenn man die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ eines Bernoulliversuchs nicht kennt, für diese jedoch eine Schätzung aufstellt (Nullhypothese): $p=p_0$ . Mit dem Signifikanztest wird die Vermutung überprüft. Die Überprüfung geschieht mithilfe von einer zufällig ausgewählten Stichprobe aus den aufgenommenen Daten.

Wenn man die Hypothese verwirft, hat man Evidenz für die Alternative. Die Alternative ist das Gegenereignis zur Hypothese. Sie besagt, dass die Wahrscheinlichkeit ungleich $p_0$ ist.

Signifikanzniveau

Das Niveau, auf dem eine Hypothese angenommen wird, also das Signifikanzniveau, wird hier mit $a\%$ bezeichnet. Weil im Bereich von Zufallsexperimenten generell keine $100\%$ sicheren Aussagen getroffen werden, ist es immer möglich, dass bestimmte Fehler auftreten.

Definition

Es gibt dabei zwei verschiedene Möglichkeiten, einen Fehler zu machen: Man entscheidet zwischen „Fehlern 1. Art“ und „Fehlern 2. Art“.

Von einem Fehler 1. Art spricht man, wenn man die Nullhypothese verwirft, obwohl diese wahr ist. Wie Wahrscheinlichkeit dafür ist gerade $a\%$ .
Zum Fehler der 2. Art kommt es, wenn man eine Nullhypothese annimmt, obwohl diese falsch ist. Sie ist umso größer, je näher das $p_0$ und das wahre $p$ liegen.

Beispiel:

Im Wetterbericht wird gesagt, dass es zu $95\%$ Wahrscheinlichkeit regnet. Nun kann es zu verschiedenen Situationen kommen, in denen man einen Fehler macht.

Situation A: Man nimmt keinen Regenschirm mit (man verwirft also die Nullhypothese, die besagt, dass es regnet), wird dann aber nass. Dies ist ein Fehler 1. Art.

Situation B: Man nimmt einen Regenschirm mit (nimmt also die Nullhypothese an, die besagt, dass es regnet), benötigt dann den Regenschirm aber gar nicht. Dies ist dann ein Fehler der 2. Art.