Baumdiagramm zeichnen & Wahrscheinlichkeit bestimmen

Das Baumdiagramm ist eine grafische Darstellung von zueinander in Beziehung stehenden Ergebnissen eines ein- oder mehrstufigen Zufallsexperiments und deren Wahrscheinlichkeiten.

Anwendung

• Bei allen mehrstufigen Zufallsexperimenten.
• Vor allem bei ungleichen Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen.
  

 Beispiel - Fünfmal farbige Kugeln aus einer Urne ziehen, bei ungleicher Anzahl an gleichfarbigen Kugeln, ohne diese in die Urne zurückzulegen.

Darstellung

	KNOTEN	Mögliche Ergebnisse eines Zufallsexperiments.
	ÄSTE	Einstufige Wahrscheinlichkeit des einzelnen Ereignisses.

Jeder Baum beginnt mit einem Startknoten.

Pfadregeln

Definition

Ein Pfad ist ein möglicher Weg, um vom Startknoten des Baums bis zur untersten Stufe zu gelangen.

Dementsprechend führt zu jedem kombinierten Endergebnis genau ein Pfad.

1. Pfadregel

Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten von allen auf dem Pfad dorthin liegenden Ergebnissen. (Man multipliziert also die einzelnen Äste entlang eines Pfades.)

2. Pfadregel (Summenregel)

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse addiert. (Man addiert also mehrere Pfade.)

Baum zeichnen

VORGEHEN

Tipp bei vielen Stufen und vielen Ereignissen: Zeichne nur den Teil des Baumdiagramms, der zum Lösen der Aufgabe notwendig ist.

Beispiel - Baumdiagramm zeichnen für zwei Züge aus einer Urne mit fünf gestreiften, drei grauen, und zwei weißen Kugeln:

Startknoten zeichnen:

Knoten:

(1) graue Kugel, (2) weiße Kugel, (3) gestreifte Kugel.

Einstufige Wahrscheinlichkeiten

• Graue Kugel: 

  

• Weiße Kugel 

  

• Gestreifte Kugel: 

  

  
  

Erste Stufe:

Zweite Stufe:

• Nach jedem Knoten kann wieder eine graue Kugel, eine weiße Kugel oder eine gestreifte Kugel gezogen werden.
  
• Die vorher gezogene Kugel wird nicht zurückgelegt. Neue Wahrscheinlichkeiten: Nenner um 1 reduzieren und Zähler dort um 1 reduzieren, wo die gleiche Kugel gezogen wird, da nun weniger Kugeln in der Urne sind.

Ganzer Baum mit Wahrscheinlichkeiten der Endknoten:

Beispiel - Aus dem obigen Baumdiagramm bestimmen, wie wahrscheinlich das Ereignis $$E$$​ ist, nach dem Ziehen einer grauen Kugel keine weiße Kugel zu ziehen:

Für dieses Ereignis sind folgende Kombinationen interessant: 

• grau, grau (kombinierte Wahrscheinlichkeit $$\frac{1}{15}$$)
  
• und grau, gestreift (kombinierte Wahrscheinlichkeit $$\frac16$$)

Nach Anwendung der 2. Pfadregel erhalten wir:

​$$P(E)= \frac{1}{15}+ \frac16=\underline{23,\bar{3} \%}$$​​

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