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Baumdiagramm zeichnen & Wahrscheinlichkeit bestimmen

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Lehrperson: Emma

Zusammenfassung

Baumdiagramm zeichnen & Wahrscheinlichkeit bestimmen

Das Baumdiagramm ist eine grafische Darstellung von zueinander in Beziehung stehenden Ergebnissen eines ein- oder mehrstufigen Zufallsexperiments und deren Wahrscheinlichkeiten.



Anwendung

  • Bei allen mehrstufigen Zufallsexperimenten.
  • Vor allem bei ungleichen Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen.



 BeispielFünfmal farbige Kugeln aus einer Urne ziehen, bei ungleicher Anzahl an gleichfarbigen Kugeln, ohne diese in die Urne zurückzulegen.


Darstellung

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KNOTEN

Mögliche Ergebnisse eines Zufallsexperiments.

Mathematik; Wahrscheinlichkeiten; 8. Klasse Gymnasium; Baumdiagramm zeichnen & Wahrscheinlichkeit bestimmen

ÄSTE

Einstufige Wahrscheinlichkeit des einzelnen Ereignisses.

Jeder Baum beginnt mit einem Startknoten.


Pfadregeln

Definition

Ein Pfad ist ein möglicher Weg, um vom Startknoten des Baums bis zur untersten Stufe zu gelangen.

Dementsprechend führt zu jedem kombinierten Endergebnis genau ein Pfad.


1. Pfadregel

Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten von allen auf dem Pfad dorthin liegenden Ergebnissen. (Man multipliziert also die einzelnen Äste entlang eines Pfades.)


2. Pfadregel (Summenregel)

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse addiert. (Man addiert also mehrere Pfade.)



Baum zeichnen

VORGEHEN


1.

Startknoten zeichnen.

2.

Alle möglichen Ergebnisse des ersten Zufallsexperiments (der ersten Stufe des Experiments) als Knoten einzeichnen.

3.

Startknoten mit jedem der Knoten verbinden.

Einstufige Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse an den Ästen notieren.

4.

Unter jeden Knoten die möglichen Ergebnisse des nächsten Zufallsexperiments als Knoten einzeichnen.

5.

Knoten wieder mit Ästen verbinden und jeweilige einstufige Wahrscheinlichkeit notieren.

6.

Schritte 4. und 5. für alle Zufallsstufen wiederholen.

7.

Jeweils die Wahrscheinlichkeit der Äste auf dem Weg vom Start- zum Endknoten multiplizieren.  (1. Pfadregel)


Tipp bei vielen Stufen und vielen Ereignissen: Zeichne nur den Teil des Baumdiagramms, der zum Lösen der Aufgabe notwendig ist.


Beispiel - Baumdiagramm zeichnen für zwei Züge aus einer Urne mit fünf gestreiften, drei grauen, und zwei weißen Kugeln:


Mathematik; Wahrscheinlichkeiten; 8. Klasse Gymnasium; Baumdiagramm zeichnen & Wahrscheinlichkeit bestimmen


Startknoten zeichnen:

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Knoten:

(1) graue Kugel, (2) weiße Kugel, (3) gestreifte Kugel.


Einstufige Wahrscheinlichkeiten


  • Graue Kugel: 
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  • Weiße Kugel 
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  • Gestreifte Kugel: 
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Erste Stufe:

Mathematik; Wahrscheinlichkeiten; 8. Klasse Gymnasium; Baumdiagramm zeichnen & Wahrscheinlichkeit bestimmen


Zweite Stufe:

  • Nach jedem Knoten kann wieder eine graue Kugel, eine weiße Kugel oder eine gestreifte Kugel gezogen werden.
  • Die vorher gezogene Kugel wird nicht zurückgelegt. Neue Wahrscheinlichkeiten: Nenner um 1 reduzieren und Zähler dort um 1 reduzieren, wo die gleiche Kugel gezogen wird, da nun weniger Kugeln in der Urne sind.


Mathematik; Wahrscheinlichkeiten; 8. Klasse Gymnasium; Baumdiagramm zeichnen & Wahrscheinlichkeit bestimmen


Ganzer Baum mit Wahrscheinlichkeiten der Endknoten:


Mathematik; Wahrscheinlichkeiten; 8. Klasse Gymnasium; Baumdiagramm zeichnen & Wahrscheinlichkeit bestimmen


BeispielAus dem obigen Baumdiagramm bestimmen, wie wahrscheinlich das Ereignis EE ist, nach dem Ziehen einer grauen Kugel keine weiße Kugel zu ziehen:


Für dieses Ereignis sind folgende Kombinationen interessant: 

  • grau, grau (kombinierte Wahrscheinlichkeit 115\frac{1}{15})
  • und grau, gestreift (kombinierte Wahrscheinlichkeit 16\frac16)


 

Nach Anwendung der 2. Pfadregel erhalten wir:

P(E)=115+16=23,3ˉ%P(E)= \frac{1}{15}+ \frac16=\underline{23,\bar{3} \%}​​


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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist die Summenregel?

Was ist die erste Pfadregel?

Was ist ein Baumdiagramm?

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