Die Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt Auskunft darüber, wie die Verteilungsfunktion aussieht und wie groß die Wahrscheinlichkeiten dafür sind, dass eine diskrete Zufallsvariable $X$ ihre möglichen Werte $x_1,x_2,...,x_n$ annimmt. Außerdem kann man mit ihrer Hilfe Kenngrößen, wie den Erwartungswert oder die Varianz berechnen.

Beispiel

Ein Würfel wird $100$ Mal geworfen. Wie oft tritt die Zahl $6$ auf? Die Verteilung beschreibt die wahrscheinliche Häufigkeit der Zahl $6$ .

Zufallsvariable

Die Zufallsvariable gibt die möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments an. Man stellt sie mit der Funktion $X$ dar, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperimentes eine reelle Zahl $X(\omega)$ zuordnet.

Hinweis: Für die Kennzeichnung von Zufallsvariablen werden meistens Großbuchstaben verwendet, z. B. $X,Y$ und $Z$ .

Arten von Verteilungen

Diskrete und stetige Verteilungen

Diskret	Es gibt zählbar viele Ereignismöglichkeiten.
Stetig	Es gibt unendlich viele Ereignismöglichkeiten.

Diskrete Verteilung

Die diskrete Verteilung basiert auf diskreten (zählbaren) Zufallsvariablen (Beispiel: Augenzahl „4“ beim Wurf eines Würfels).

Wahrscheinlichkeitsfunktion (W-Funktion)

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion $P(X=x)$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable $X$ den Wert $x$ annimmt.

Wegen der Normierung muss gelten, dass $P(X=x_1)+P(X=x_2)+...+P(X=x_n)=1$ .Wobei hier die Zufallsvariable $X$ nur die Werte $x_1,x_2,...,x_n$ annehmen kann.

Verteilungsfunktion (V-Funktion)

Die Verteilungsfunktion gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich $x$ annimmt.

$F(x)=P(X\leq x)$

Die Verteilungsfunktion setzt sich aus der Summe der Wahrscheinlichkeitsfunktionen zusammen. Daher gilt stets $F(b) \geq F(a)$ , wenn $b>a$ .

Beispiel

Man würfelt einen fairen $6$ -seitigen Würfel viermal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man mindestens dreimal eine $4$  hat?

$X=Anzahl \,4er$

$\underbrace{P(X\geq 3)}_{V-Funktion}=\underbrace{P(X=3)+P(X=4)}_{W-Funktionen}= \binom{4}{3}\cdot (\frac{1}{6})^3 \cdot (\frac{5}{6})^1+ (\frac{1}{6})^4=0,0162= \underline{1.62\%}$

Stetige Verteilung

Die stetige Verteilung basiert auf stetigen Zufallsvariablen (Beispiel: Bestimmung der Körpergröße von $1 \,000$ zufällig ausgesuchten Personen).

Dichtefunktion

Die Dichtefunktion existiert nur bei stetigen Verteilungen. Sie beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße. Die Wahrscheinlichkeit erhält man, indem man die Fläche unter der Dichtefunktion ausrechnet (mittels Integration).

Eigenschaften

Für eine Dichtefunktion $f(x)$ gilt:

Die Dichtefunktion ist nie kleiner als null, kann aber Werte größer als eins haben.
$\int_{- \infty}^{\infty}f(x) dx=1$ (Normierungsbedingung)

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion erhält man durch die Integration der Dichtefunktion bis zum Wert $x$ .

$P(X\leq x)=\int_{- \infty}^{x}f(t)dt$

Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable $X$ einen Wert annimmt, der kleiner oder gleich $x$ ist.

Wahrscheinlichkeit für ein Intervall ( $a$ bis $b$ ) von $X:$

$P(a<X\leq b) = \int_{a}^{b}f(t) dt$

Typische Verteilungen und Wahrscheinlichkeitsfunktion

Diskrete Verteilungen

Verteilung	Beschreibung	Wahrscheinlichkeitsfunktion
Binomialverteilung	Wahrscheinlichkeit unter $n$ Versuchen, $k$ Treffer zu haben.	$P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
Geometrische Verteilung	Wahrscheinlichkeit, dass der erste Treffer im $n$ -ten Versuch eintritt.	$P(X=n)=(1-p)^{n-1} \cdot p$
Poisson-Verteilung	Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis bei $n$ Wiederholungen in einem Zeitintervall genau $k$ -mal eintritt.	$P(X=k)=\frac{\mu^k}{k!} \cdot e^{-\mu}$
Hypergeometrische Verteilung	Wahrscheinlichkeit, dass in $n$ Versuchen $k$ Treffer erzielt werden (aus $N$ Elementen sind nur $M$ Elemente mögliche Treffer).	$P(X=k)=\frac{\binom {M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

Die Zufallsexperimente zu den ersten drei Verteilungen sind Bernoulli-Experimente.

Man unterscheidet immer nur zwei mögliche Ereignisse (Kopf/Zahl oder 6/keine 6).
Die Wahrscheinlichkeit verändert sich nicht zwischen den Durchgängen. Also auch wenn man nach vielen Versuchen noch keinen Erfolg hatte, ist der nächste Versuch damit nicht mit einer höheren Wahrscheinlichkeit erfolgreich.

Stetige Verteilung

Verteilung

Beschreibung

Dichtefunktion

Normalverteilung

Symmetrische Verteilung mit Erwartungswert $\mu$ und Varianz $\sigma^2$ .

$f(x,\mu,\sigma^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\cdot e^{-\frac12(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$

Standardnormal-verteilung

Sonderfall der Normalverteilung mit $\mu=0$ und $\sigma =1$

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac12x^2}$

Tipp: Für die Berechnung der Verteilungsfunktion benötigt man häufig den Taschenrechner.

Lerne mit Grundlagen

Dauer:

Teil 1

Erwartungswert: Definition & Berechnung

Teil 2

Erwartungswert, Mittelwert & Standardabweichung

Abkürzung

Optional

Teil 3