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Erklärvideo

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Zusammenfassung

Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

Definition

Extrempunkte (Extrema) sind die lokalen und globalen Maxima und Minima einer Funktion.


Lokale Extrema

Lokale Extrema sind die Stellen/Punkte der Funktion mit den größten bzw. kleinsten -Werten, unabhängig von den Grenzwerten in einem bestimmten Intervall betrachtet.

  • „Lokales Minimum“: Punkt mit dem kleinsten yyy​-Wert, „Tiefpunkt“ (T).
  • „Lokales Maximum“: Punkt mit größtem yyy​-Wert, „Hochpunkt“ (H).


Globale Extrema

Globale Extrema sind die Stellen/Punkte der Funktion mit den größten bzw. kleinsten yyy​-Werten im gesamten Definitionsbereich der Funktion. Hier werden auch die Grenzwerte beachtet.

Mathematik; Extremstellen und Wendestellen; 10. Klasse Gymnasium; Lokale und globale Extrempunkte bestimmen



Lokale Extrema bestimmen

Mit dem folgenden Vorgehen bestimmt man die lokalen Extrempunkte:


VORGEHEN

1.

Bestimme die erste und die zweite Ableitung: f′(x)f'\left(x\right)f′(x)​ und f′′(x)f''\left(x\right)f′′(x)​

2.

„Notwendige Bedingung“:

Berechne die Nullstellen xEx_ExE​​ der ersten Ableitung.

f′(x)=0f^\prime\left(x\right)=0f′(x)=0​​

Die xxx​-Werte der Nullstellen sind potenzielle Extremwerte xE.x_E.xE​.​

3.

„Hinreichende Bedingung“:

Setze die erhaltenen xxx​-Werte einzeln in die zweite Ableitung ein und prüfe:

​f′′(xE)>0f^{\prime\prime}\left(x_E\right)>0f′′(xE​)>0​​

Tiefpunkt

​f′′(xE)<0f^{\prime\prime}\left(x_E\right)<0f′′(xE​)<0​​

Hochpunkt

​f′′(xE)=0f^{\prime\prime}\left(x_E\right)=0f′′(xE​)=0​​

Sattelpunkt

4.

yyy​-Werte berechnen:

Extremwerte xEx_ExE​​ in f(x)f(x)f(x)​ einsetzen, um die zugehörigen yyy​-Werte yEy_EyE​​ zu erhalten. Der Extrempunkt ergibt sich dann als (xE|yE).\left(x_E\middle| y_E\right).(xE​∣yE​).​


Beispiel:

Bestimme die lokalen Extrempunkte der Funktion: f(x)=x3−3x2−9x+27f\left(x\right)=x^3-3x^2-9x+27f(x)=x3−3x2−9x+27​


Ableitungen:

Erste Ableitung: f′(x)=3x2−6x−9f^\prime\left(x\right)=3x^2-6x-9f′(x)=3x2−6x−9​

Zweite Ableitung:  f′′(x)=6x−6\ f^{\prime\prime}\left(x\right)=6x-6 f′′(x)=6x−6​


Notwendige Bedingung: f′(x)=0f^\prime\left(x\right)=0f′(x)=0​

3x2−6x−9=03x^2-6x-9=03x2−6x−9=0​​

Auflösen:

xE1=−1,  xE2=3x_{E1}=-1,\ \ x_{E2}=3xE1​=−1,  xE2​=3​​

Hinreichende Bedingung: 

xE1=−1x_{E1}=-1xE1​=−1​  prüfen: f′′(−1)=−12f'' \left(-1\right)=-12f′′(−1)=−12​  Hochpunkt

xE2=3x_{E2}=3xE2​=3​ prüfen: f′′(3)=12f'' \left(3\right)=12f′′(3)=12​  Tiefpunkt


Zugehörige yyy​-Werte:

f(−1)=32f(3)=0f\left(-1\right)=32\\f\left(3\right)=0f(−1)=32f(3)=0​​

Extrempunkte: H(−1|32)‾, T(3|0)‾\underline{H\left(-1\middle|32\right)},\ \underline{T\left(3\middle|0\right)}H(−1∣32)​, T(3∣0)​​ 




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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist ein Sattelpunkt?

Ein Sattelpunkt hat ebenso wie ein Extrema keine Steigung. Allerdings ist in ihm die zweite Ableitung Null. Im Funktionsgraphen sehen Sattelpunkte wie Plateau-Stellen aus.

Was ist der Unterschied zwischen hinreichender Bedingung und notwendiger Bedingung?

Die notwendige Bedingung gibt Punkte an, in welchen keine Steigung vorliegt. Diese sind potentielle Extrema. Um zu testen, ob tatsächlich ein Extrema vorliegt, braucht man die hinreichende Bedingung, welche besagt, dass an dem Punkt die zweite Ableitung nicht Null sein darf.

Was ist der Unterschied zwischen einem globalen und einem lokalen Extrempunkt?

Ein globaler Extrempunkt ist der Punkt auf dem Graphen, welcher den höchsten/tiefsten Funktionswert im gesamten Definitionsbereich der Funktion hat. Ein lokaler Extrempunkt hat nur in einem gewissen Intervall den höchsten/tiefsten Funktionswert.

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