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Extrem- und Wendepunkte

Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

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Lehrperson: Nele

Zusammenfassung

Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

Definition

Extrempunkte (Extrema) sind die lokalen und globalen Maxima und Minima einer Funktion.


Lokale Extrema

Lokale Extrema sind die Stellen/Punkte der Funktion mit den größten bzw. kleinsten -Werten, unabhängig von den Grenzwerten in einem bestimmten Intervall betrachtet.

  • „Lokales Minimum“: Punkt mit dem kleinsten yy-Wert, „Tiefpunkt“ (T).
  • „Lokales Maximum“: Punkt mit größtem yy-Wert, „Hochpunkt“ (H).


Globale Extrema

Globale Extrema sind die Stellen/Punkte der Funktion mit den größten bzw. kleinsten yy-Werten im gesamten Definitionsbereich der Funktion. Hier werden auch die Grenzwerte beachtet.

Mathematik; Extremstellen und Wendestellen; 10. Klasse Gymnasium; Lokale und globale Extrempunkte bestimmen



Lokale Extrema bestimmen

Mit dem folgenden Vorgehen bestimmt man die lokalen Extrempunkte:


VORGEHEN

1.

Bestimme die erste und die zweite Ableitung: f(x)f'\left(x\right) und f(x)f''\left(x\right)

2.

„Notwendige Bedingung“:

Berechne die Nullstellen xEx_E der ersten Ableitung.

f(x)=0f^\prime\left(x\right)=0​​

Die xx-Werte der Nullstellen sind potenzielle Extremwerte xE.x_E.

3.

„Hinreichende Bedingung“:

Setze die erhaltenen xx-Werte einzeln in die zweite Ableitung ein und prüfe:

f(xE)>0f^{\prime\prime}\left(x_E\right)>0​​

Tiefpunkt

f(xE)<0f^{\prime\prime}\left(x_E\right)<0​​

Hochpunkt

f(xE)=0f^{\prime\prime}\left(x_E\right)=0​​

Sattelpunkt

4.

yy​-Werte berechnen:

Extremwerte xEx_E in f(x)f(x) einsetzen, um die zugehörigen yy-Werte yEy_E zu erhalten. Der Extrempunkt ergibt sich dann als (xE|yE).\left(x_E\middle| y_E\right).


Beispiel:

Bestimme die lokalen Extrempunkte der Funktion: f(x)=x33x29x+27f\left(x\right)=x^3-3x^2-9x+27


Ableitungen:

Erste Ableitung: f(x)=3x26x9f^\prime\left(x\right)=3x^2-6x-9

Zweite Ableitung:  f(x)=6x6\ f^{\prime\prime}\left(x\right)=6x-6


Notwendige Bedingung: f(x)=0f^\prime\left(x\right)=0

3x26x9=03x^2-6x-9=0​​

Auflösen:

xE1=1,  xE2=3x_{E1}=-1,\ \ x_{E2}=3​​

Hinreichende Bedingung: 

xE1=1x_{E1}=-1​  prüfen: f(1)=12f'' \left(-1\right)=-12  Hochpunkt

xE2=3x_{E2}=3​ prüfen: f(3)=12f'' \left(3\right)=12  Tiefpunkt


Zugehörige yy-Werte:

f(1)=32f(3)=0f\left(-1\right)=32\\f\left(3\right)=0​​

Extrempunkte: H(1|32), T(3|0)\underline{H\left(-1\middle|32\right)},\ \underline{T\left(3\middle|0\right)} 




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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist ein Sattelpunkt?

Was ist der Unterschied zwischen hinreichender Bedingung und notwendiger Bedingung?

Was ist der Unterschied zwischen einem globalen und einem lokalen Extrempunkt?

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