Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

Definition

Extrempunkte (Extrema) sind die lokalen und globalen Maxima und Minima einer Funktion.

Lokale Extrema

Lokale Extrema sind die Stellen/Punkte der Funktion mit den größten bzw. kleinsten -Werten, unabhängig von den Grenzwerten in einem bestimmten Intervall betrachtet.

• „Lokales Minimum“: Punkt mit dem kleinsten $$y$$​-Wert, „Tiefpunkt“ (T).
  
• „Lokales Maximum“: Punkt mit größtem $$y$$​-Wert, „Hochpunkt“ (H).
  

Globale Extrema

Globale Extrema sind die Stellen/Punkte der Funktion mit den größten bzw. kleinsten $$y$$​-Werten im gesamten Definitionsbereich der Funktion. Hier werden auch die Grenzwerte beachtet.

Lokale Extrema bestimmen

Mit dem folgenden Vorgehen bestimmt man die lokalen Extrempunkte:

VORGEHEN

Beispiel:

Bestimme die lokalen Extrempunkte der Funktion: $$f\left(x\right)=x^3-3x^2-9x+27$$​

Ableitungen:

Erste Ableitung: $$f^\prime\left(x\right)=3x^2-6x-9$$​

Zweite Ableitung: $$\ f^{\prime\prime}\left(x\right)=6x-6$$​

Notwendige Bedingung: $$f^\prime\left(x\right)=0$$​

$$3x^2-6x-9=0$$​​

Auflösen:

$$x_{E1}=-1,\ \ x_{E2}=3$$​​

Hinreichende Bedingung: 

$$x_{E1}=-1$$​  prüfen: $$f'' \left(-1\right)=-12$$​  Hochpunkt

$$x_{E2}=3$$​ prüfen: $$f'' \left(3\right)=12$$​  Tiefpunkt

Zugehörige $$y$$​-Werte:

$$f\left(-1\right)=32\\f\left(3\right)=0$$​​

Extrempunkte: $$\underline{H\left(-1\middle|32\right)},\ \underline{T\left(3\middle|0\right)}$$​