Wartezeiten in Markow-Ketten: Definition & Anwendung

Definition 

​Die mittlere Wartezeit eines Zustandes in einer Markow-Kette mit absorbierenden Zuständen (auch absorbierende Markow-Kette genannt), ist die durchschnittliche Anzahl Schritte (oder die Menge an Zeit) die benötigt wird, um von diesem Zustand einen absorbierenden Zustand zu erreichen.

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2. Mittelwertsregel 

Die zweite Mittelwertsregel gibt eine Möglichkeit, die mittlere Wartezeit mit Hilfe eines Gleichungssystems zu berechnen. Für einen inneren Zustand $$i$$​ gilt:

Dabei ist zu beachten, dass für die mittlere Wartezeit eines absorbierenden Zustandes $$0$$​ einzusetzen ist.
Schreibt man nun eine solche Gleichung für jeden inneren Zustand im System, dann ergibt sich ein Gleichungssystem mit $$n$$​​ Gleichungen und $$n$$​ Variablen.

​Wird dieses Gleichungssystem gelöst, erhält man die mittleren Wartezeiten für alle Zustände.

Beispiel – Das untenstehende Prozessdiagramm beschreibt die Übergangswahrscheinlichkeiten einer Markow-Kette mit den absorbierenden Zuständen 1 und 4. Berechne die mittleren Wartezeiten der inneren Zustände:

Durch die 2. Mittelwertsregel ergibt sich das folgenden Gleichungssystem:

Dies ist ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und vier Variablen. Da die Zustände $$1$$​ und $$4$$​ jedoch absorbierend sind, gilt $$m_1=m_4=0$$​. Damit bleiben nur die Variablen $$m_2,m_3$$ und es resultiert ein Gleichungssystem mit zwei Variablen und zwei Gleichungen:

Die Lösung dieses Gleichungssystems und die mittleren Wartezeiten der Zustände $$2$$​ und $$3$$​ sind also: