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Matrizen: Definition, Eigenschaften & spezielle Matrizen

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Lehrperson: Martin

Zusammenfassung

Matrizen: Definition, Eigenschaften & spezielle Matrizen

Definition

Eine (m,n) (m,n)-\ Matrix ist eine „Tabelle“ mit mm Zeilen und nn Spalten. Die Elemente der Matrix (=Einträge) sowie jegliche Koeffizienten sind normalerweise reelle Zahlen.

A=(a11a12a13a1na21 a22a23 a2na31 a32a33a3n  am1am2am3amn)=(aij)1im1jnA=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&\ a_{22}&a_{23}&\ \cdots&a_{2n}\\a_{31}&\ a_{32}&a_{33}&\cdots&a_{3n}\\\vdots&\ \vdots&\vdots&\ddots\ &\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots&a_{mn}\\\end{matrix}\right)=(aij)1≤i≤m1≤j≤n ​​

aija_{ij}​ markiert das Element in der ii-ten Zeile und der jj​-ten Spalte.


Beispiel     (3,3)\left(3,3\right)- Matrix

A=(618383110)A=\left(\begin{matrix}6&1&8\\3&8&3\\-1&-1&0\\\end{matrix}\right)​​

a11=6,  a21=3, a31=1, a12=1  usw.a_{11}=6,\ \ a_{21}=3,\ a_{31}=-1,\ a_{12}=1\ \ usw.​​


Begriffe

DIMENSION

Die Dimension dd​ entspricht der Anzahl Zeilen  und Spalten nn: d=m×nd=m\times n

QUADRATISCH

Bei einer quadratischen Matrix ist die Anzahl der Spalten gleich der Anzahl der Zeilen: m=nm=n. (Dimension: n2n^2)

HAUPTDIAGONALE

Die Hauptdiagonale einer quadratischen Matrix beinhaltet alle Einträge der Diagonalen: aiia_{ii}. (a11, a22, .. )a_{11},\ a_{22},\ ..\ )


Spezielle Matrizen

NULLMATRIX «00»

Alle Einträge der Matrix sind gleich 0.

0mn0_{mn}​: m×nm\times n- Nullmatrix

(000000)\left(\begin{matrix}0&0\\0&0\\0&0\\\end{matrix}\right)​​

EINHEITSMATRIX «E»

(nur bei quadratischen Matrizen)

Alle Elemente auf der Hauptdiagonalen sind 1, alle anderen sind gleich 0.

EnE_n​: n×nn\times n- Einheitsmatrix

(100010001)\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right)​​

DIAGONALMATRIX

(nur bei quadratischen Matrizen)

Alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen sind gleich 0. 

(1000400018)\left(\begin{matrix}-1&0&0\\0&4&0\\0&0&18\\\end{matrix}\right)​​

OBERE DREIECKSMATRIX

(nur bei quadratischen Matrizen)

Alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen sind gleich 0.

(332071001)\left(\begin{matrix}3&3&2\\0&7&-1\\0&0&1\\\end{matrix}\right)​​

UNTERE DREIECKSMATRIX

(nur bei quadratischen Matrizen)

Alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen sind gleich 0.

(300110591)\left(\begin{matrix}3&0&0\\1&-1&0\\5&-9&1\\\end{matrix}\right)​​


Hinweis: Die Diagonaleinträge einer Diagonalmatrix dürfen auch Null sein.



Transponierte Matrix

Definition

Die transponierte Matrix ATA^T von AA erhält man, indem Zeilen und Spalten vertauscht werden.

Die Matrix wird „umgedreht“.

A=(134025)AT=(142305)A=\left(\begin{matrix}1&3\\-4&0\\2&-5\\\end{matrix}\right)\rightarrow A^T=\left(\begin{matrix}1&-4&2\\3&0&-5\\\end{matrix}\right)​​


Eigenschaften

(AT)T=A\left(A^T\right)^T=A​​

Wird eine bereits transponierte Matrix erneut transponiert, ergibt dies die ursprüngliche Matrix.

(A+B)T=AT+BT\left(A+B\right)^T=A^T+B^T​​

Wird die Summe zweier Matrizen transponiert, entspricht dies der Summe der zwei einzeln transponierten Matrizen. 

(rA)T=rAT{(r\cdot A)}^T={r\cdot A}^T​​

Wird ein Vielfaches einer Matrix transponiert, entspricht dies dem Vielfachen der transponierten Matrix ( rr: reelle Zahl).

(AB)T=BTAT{(A\cdot B)}^T=B^T\cdot A^T​​

Wird das Produkt von zwei Matrizen transponiert, ist dies das Produkt der einzeln transponierten Matrizen in umgekehrter Reihenfolge.



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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was bedeutet das “T” bei Matrizen?

Was meint man mit Matrix?

Wofür können Matrizen verwendet werden?

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