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Polynomfunktion bestimmen

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Lehrperson: Nadine

Zusammenfassung

Polynomfunktion bestimmen

Funktionsgleichung einer Polynomfunktion bestimmen

Bei diesem Typ von Aufgaben muss man anhand von Informationen (Bedingungen) über eine Polynomfunktion deren Funktionsgleichung aufstellen. Polynomfunktionen werden oft auch „gebrochen rationale Funktionen“ genannt.


VORGEHEN

1.

Notiere die allgemeine Form der Funktion je nach Grad:

Grad 2

y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c​​

Grad 3

y=ax3+bx2+cx+dy=ax^3+bx^2+cx+d​​

Grad 4

y=ax4+bx3+cx2+dx+ey=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e​​

2.

Erste und zweite Ableitung bilden.

3.

Notiere alle Bedingungen:

Mathematik; Extremstellen und Wendestellen; 10. Klasse Gymnasium; Polynomfunktion bestimmen
Nicht vergessen: Extrempunkt und Wendepunkt sind auch Punkte, die man in die Funktion einsetzen kann.

Wichtig: Man benötigt so viele Bedingungen wie unbekannte Parameter (a, b, c,a,\ b,\ c, …).

4.

Gleichungssystem erstellen: Bedingungen in Funktion, Ableitungen einsetzen.

5.

Gleichungssystem lösen und die Funktion notieren.


Beispiel

Der Graph der Potenzfunktion vierten Grades hat bei x=1x=-1 eine Extremstelle und im Punkt W(0 1)W\left(0\ \right|-1) einen Wendepunkt. Er schneidet die xx-Achse an der Stelle x=1x=1 und geht durch den Punkt P(2 3)P\left(-2\ \right|3). Bestimme die Gleichung der zugehörigen Potenzfunktion.


Funktion Grad 4:

y=ax4+bx3+cx2+dx+ey=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e​​

Ableitungen:

f(x)=4ax3+3bx2+2cx+df(x)=12ax2+6bx+2cf'\left(x\right)=4ax^3+3bx^2+2cx+d\\f''\left(x\right)=12ax^2+6bx+2c​​


Bedingungen:

1.

Extremstelle: x=1x=-1

f(1)=0f'\left(-1\right)=0​​

0=4a(1)3+3b(1)2+2c(1)+d0=4a+3b2c+d0=4a\left(-1\right)^3+3b\left(-1\right)^2+2c\left(-1\right)+d\\0=-4a+3b-2c+d​​

2.

Wendestelle: x=0x=0

f(0)=0f''\left(0\right)=0​​

0=12a(0)2+6b(0)+2c0=2c0=12a\left(0\right)^2+6b\cdot\left(0\right)+2\cdot c\\0=2c​​

3.

Wendepunkt: W(0 1)W\left(0\ \right|-1)

f(0)=1f\left(0\right)=-1​​

1=a(0)4+b(0)3+c(0)2+d(0)+e1=e-1=a\cdot\left(0\right)^4+b\cdot\left(0\right)^3+c\cdot\left(0\right)^2+d\cdot\left(0\right)+e\\-1=e​​

4.

Nullstelle: x=1x=1

f(1)=0f\left(1\right)=0​​

0=a(1)4+b(1)3+c(1)2+d(1)+e0=a+b+c+d+e0=a\cdot\left(1\right)^4+b\cdot\left(1\right)^3+c\cdot\left(1\right)^2+d\cdot\left(1\right)+e\\0=a+b+c+d+e​​

5.

Punkt: P(2 3)P\left(-2\ \right|3)

f(2)=3f\left(-2\right)=3​​

3=a(2)4+b(2)3+c(2)2+d(2)+e3=16a8b+4c2d+e3=a\cdot{(-2)}^4+b\cdot{(-2)}^3+c\cdot{(-2)}^2+d\cdot(-2)+e\\3=16a-8b+4c-2d+e​​


Gleichungssystem lösen:

Mathematik; Extremstellen und Wendestellen; 10. Klasse Gymnasium; Polynomfunktion bestimmen


Setzt man die Bedingungen  und  in die anderen Gleichungen ein, so ergibt sich:

Mathematik; Extremstellen und Wendestellen; 10. Klasse Gymnasium; Polynomfunktion bestimmen


Im nächsten Schritt werden die Gleichungen nach  umgestellt und gleichgesetzt:

Mathematik; Extremstellen und Wendestellen; 10. Klasse Gymnasium; Polynomfunktion bestimmen


Gleichsetzen von  und  ergibt

4a3b=1ab4a-3b=1-a-b​​

Nach aa umstellen:

a=15+25ba=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\cdot b​​

Gleichsetzen von  und  ergibt

1ab=8a4b21+b=3a1-a-b=8a-4b-2\\\rightarrow1+b=3a​​

Setzt man dort die Gleichung für aa ein, so ergibt sich b=2b=2

aa​ bestimmen: 

a=15+25=1a=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\cdot=1​​

dd​ bestimmen:

d=432=2d=4-3\cdot 2=-2​​

Das Gleichungssystem ist gelöst:

a=1, b=2, c=0, d=2, e=1a=1,\ b=2,\ c=0,\ d=-2,\ e=-1​​

Funktion aufstellen:

y=x4+2x32x1y=x^4+2x^3-2x-1​​


Hinweis:

Man kann auch einen Taschenrechner benutzen, um das Gleichungssystem zu lösen.


Die Funktion sieht dann wie folgt aus:

Mathematik; Extremstellen und Wendestellen; 10. Klasse Gymnasium; Polynomfunktion bestimmen

Legende:

A

Wendepunkt W(01)W(0|-1)

B

Punkt  P(23)\ P(-2|3)

C

Schnittpunkt mit xx-Achse C(10)C(1|0)

D

Extrempunkt  D(10)\ D(-1|0)

                                    

Mathematik; Extremstellen und Wendestellen; 10. Klasse Gymnasium; Polynomfunktion bestimmen




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Wie sieht eine Polynomfunktion 3 Grades aus?

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