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Inverse Matrizen: Definition & Eigenschaften

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Lehrperson: Martin

Zusammenfassung

Inverse Matrizen: Definition & Eigenschaften

Definition

Eine quadratische Matrix AA der Dimension n×nn\times n hat eine inverse Matrix, auch Inverse genannt, falls eine Matrix A1A^{-1} existiert, so dass:

AA1=EnA\cdot A^{-1}=E_n​​

EnE_n​ ist dabei die Einheitsmatrix der Dimension n×nn \times n.


Beispiel Multiplikation der Matrix AA und ihrer Inversen

A=(1314), A1=(4311)A=\left(\begin{matrix}1&3\\1&4\\\end{matrix}\right),\ A^{-1}=\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\\\end{matrix}\right)​​

Beweise, dass A1A^{-1} die Inverse von A ist:

AA1=(1314)(4311)A\cdot A^{-1}=\left(\begin{matrix}1&3\\1&4\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\\\end{matrix}\right)​​

Multipliziere:

(14+3(1)1(3)+31(14+4(1)1(3)+41)=(1001)Einheitsmatrix=En\left(\begin{matrix}1\cdot4+3\cdot(-1)&1\cdot\left(-3\right)+3\cdot1\\(1\cdot4+4\cdot(-1)&1\cdot(-3)+4\cdot1\\\end{matrix}\right)=\underbrace{\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)}_{Einheitsmatrix}=E_n​​


Hinweis 1: Nicht jede quadratische Matrix hat eine Inverse.


Hinweis 2: Die Inverse existiert nur, wenn die Determinante ungleich Null ist: detA0det{A}\neq0.


Eigenschaften von inversen Matrizen

AA1=A1A=En{A\cdot A}^{-1}=A^{-1}\cdot A=E_n​​

Es spielt keine Rolle, ob die Inverse mit der ursprünglichen Matrix oder die ursprüngliche Matrix mit der Inversen multipliziert wird: 

Das Ergebnis ist in beiden Fällen die Einheitsmatrix.

(A1)1=A{{(A}^{-1})}^{-1}=A​​

Die Inverse der inversen Matrix ist wieder die ursprüngliche Matrix.

En1=En{E_n}^{-1}=E_n​​

Die Inverse der Einheitsmatrix ist die Einheitsmatrix selbst.

(rA)1=r1A1{(rA)}^{-1}={r^{-1}\cdot A}^{-1}​​

Die Inverse einer Matrix, welche mit einem Koeffizienten multipliziert wurde, entspricht der Inversen der Matrix multipliziert mit dem Kehrwert des Koeffizienten. 

(AT)1=(A1)T{{(A}^T)}^{-1}={{(A}^{-1})}^T​​

Die Inverse der transponierten Matrix entspricht der transponierten Matrix der Inversen.

det(A1)=det(A)1det(A^{-1})={det(A)}^{-1}​​

Die Determinante der inversen Matrix ist gleich dem Kehrwert der Determinanten der ursprünglichen Matrix.



Berechnung von inversen Matrizen

2-dimensionale Matrix

FORMEL

A=(a11a12a21a22)A=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)​​
A1=1det(A)(a22a12a21a11)A^{-1}=\frac{1}{\det{\left(A\right)}}\left(\begin{matrix}a_{22}&-a_{12}\\-a_{21}&a_{11}\\\end{matrix}\right)​​

Beispiel Inverse der 2x22x2​ Matrix AA​  berechnen

A=(5332)A=\left(\begin{matrix}5&3\\3&2\\\end{matrix}\right)​​


Berechne die Determinante:

det(A)=109=1det{\left(A\right)}=10-9=1​​

Berechne die Inverse:

A1=11(2335)=(2335)A^{-1}=\frac{1}{1}\left(\begin{matrix}2&-3\\-3&5\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\-3&5\\\end{matrix}\right)​​

Überprüfe:

AA1=(5332)(2335)=(10915+15669+10)=(1001)A\cdot A^{-1}=\left(\begin{matrix}5&3\\3&2\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}2&-3\\-3&5\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10-9&-15+15\\6-6&-9+10\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)​​


3-dimensionale Matrix

Die folgende Formel dient zur Berechnung der Inversen einer 3x3 3x3\  Matrix. In der Schule wird sie jedoch eher selten verwendet. 


FORMEL

A=(abcdefghi)A=\left(\begin{matrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{matrix}\right)​​


A1=1det(A)(eifhchbibfcefgdiaicgcdafdhegbgahaebd)A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\cdot\left(\begin{matrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\\\end{matrix}\right)​​


Beispiel – Inverse der 3x33x3​  Matrix AA​ berechnen

A=(132102150)A=\left(\begin{matrix}1&3&2\\-1&0&2\\1&5&0\\\end{matrix}\right)​​

Berechne die Determinante:

det(A)=100+321+2(1)52011253(1)0=61010=14det{\left(A\right)}=1\cdot0\cdot0+3\cdot2\cdot1+2\cdot\left(-1\right)\cdot5-2\cdot0\cdot1-1\cdot2\cdot5-3\cdot\left(-1\right)\cdot0=6-10-10=-14​​

Berechne die Inverse:

  A1=(132102150)1=114(10106224523)=(575761417172751417314)A^{-1}=\left(\begin{matrix}1&3&2\\-1&0&2\\1&5&0\\\end{matrix}\right)^{-1}=\frac{1}{-14}\left(\begin{matrix}-10&10&6\\2&-2&-4\\-5&-2&3\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&\frac{-5}{7}&\frac{-6}{14}\\\frac{-1}{7}&\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{5}{14}&\frac{1}{7}&\frac{-3}{14}\\\end{matrix}\right)

Überprüfe:

AA1=(132102150)(57573717172751417314)=(5737+101457+37+2737+673757+0+5757+0+2737+0375757+057+57+037+107+0)=(100010001)A\cdot A^{-1}=\left(\begin{matrix}1&3&2\\-1&0&2\\1&5&0\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&\frac{-5}{7}&\frac{-3}{7}\\\frac{-1}{7}&\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{5}{14}&\frac{1}{7}&\frac{-3}{14}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}-\frac{3}{7}+\frac{10}{14}&\frac{-5}{7}+\frac{3}{7}+\frac{2}{7}&\frac{-3}{7}+\frac{6}{7}-\frac{3}{7}\\\frac{-5}{7}+0+\frac{5}{7}&\frac{5}{7}+0+\frac{2}{7}&\frac{3}{7}+0-\frac{3}{7}\\\frac{5}{7}-\frac{5}{7}+0&\frac{-5}{7}+\frac{5}{7}+0&\frac{-3}{7}+\frac{10}{7}+0\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right)​​





Mathematik; Matrizen; 11.-12. Klasse Gymnasium; Inverse Matrizen: Definition & Eigenschaften


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