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Zweiseitigen Signifikanztest durchführen: Vorgehen

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Lehrperson: Luca

Zusammenfassung

Zweiseitigen Signifikanztest durchführen: Vorgehen

Hypothese für Wahrscheinlichkeit prüfen

Der Zweiseitige Signifikanztest kommt immer dann zum Einsatz, wenn man die Trefferwahrscheinlichkeit pp eines Bernoulliversuches mit Stichprobenumfang nn nicht kennt, für diese jedoch eine Vermutung („Nullhypothese“) hat.

Die Nullhypothese ist gegeben durch:


H0:p=p0H_0: p=p_0​​


​Man schätzt also die unbekannte Wahrscheinlichkeit pp​ mit der Wahrscheinlichkeit p0p_0​ ab und die Nullhypothese besagt, dass diese Schätzung stimmt.


Auf der anderen Seite gibt es die „Alternativhypothese“. Sie beschreibt das Gegenstück zur Nullhypothese, geht also davon aus, dass die Schätzung p0p_0​ nicht dem wahren Wert für pp​ entspricht:


H1:pp0H_1:p≠p_0​​


​Mit dem Signifikanztest wird nun die Nullhypothese überprüft. Die Überprüfung geschieht mithilfe einer zufällig ausgewählten Stichprobe der aufgenommenen Daten. Dazu wird die Sigma-Regel verwendet. Es wird also überprüft, ob ein beobachteter Wert hinreichend unwahrscheinlich ist, damit die Nullhypothese verworfen werden kann.



VORGEHEN

1.

Formuliere die Nullhypothese für die unbekannte Wahrscheinlichkeit pp, die für eine Stichprobe mit Umfang nn​ geschätzt werden soll.

2.

Bestimme den Erwartungswert und die Varianz aus der Stichprobe des Datensatzes, der untersucht werden soll.

3.

Bestimme das Intervall für den Annahmebereich mithilfe der Sigma-Regel. Diese besagt, dass für ein Signifikanzniveau aa gilt:

Mit 90%90\%​ Sicherheit (a=10%a=10\%) liegt (pnp\cdot nim Intervall

[μ1,64σ;μ+1,64σ][μ-1,64σ ; μ+1,64σ ]​​

Mit 95%95\% Sicherheit (a=5%a=5\%)  liegt (pnp\cdot n​) im Intervall 

[μ1,96σ;μ+1,96σ][μ-1,96σ ; μ+1,96σ ]​​

Mit 99%99\% Sicherheit (a=1%a=1\%​)  liegt (pnp \cdot n​) im Intervall

[μ2,58σ;μ+2,58σ][μ-2,58σ ; μ+2,58σ ]​​

Wobei μ\mu​ den Erwartungswert und σ\sigma​ die Standardabweichung der Stichprobe bezeichnen.

4.

Man vergleicht den geschätzten Wert von (pnp \cdot n ​) mit den Intervallgrenzen. Wenn (pnp \cdot n​)nicht im Intervall liegt, so zweifelt man an der Nullhypothese und verwirft diese. In diesem Fall hat man Evidenz für die Alternativhypothese H1H_1

Dies bedeutet nicht, dass H0H_0 widerlegt wurde, es bedeutet nur, dass unter der Nullhypothese ein sehr unwahrscheinlicher Wert beobachtet wurde, weshalb Evidenz dagegenspricht, dass die Nullhypothese stimmt. 


Bei Zufallsexperimenten ist es immer möglich, dass man sich irrt. In dem Fall wäre es zum Beispiel möglich, dass man H0H_0​ verwirft, obwohl H0H_0​ stimmt. Diesen Fehler nennt man auch Typ-1 Fehler und die Wahrscheinlichkeit dafür entspricht gerade dem Signifikanzniveau aa​.


Beispiel

Auf dem Jahrmarkt gibt es einen Stand, an dem Lose verkauft werden. Es wird die Nullhypothese aufgestellt, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, ein Gewinnerlos zu ziehen 16\frac{1}{6}​ beträgt. Die Hypothese soll getestet werden. Im Rahmen einer Stichprobe werden 100100​ Lose gekauft. Bei der Datenauswertung ergibt sich ein Erwartungswert von μ=16,7μ=16,7​ Gewinnlosen und eine Standardabweichung von σ=3,73σ=3,73​. Wird bei der Anwendung des zweiseitigen Signifikanztests auf dem Niveau a=5%a=5\%​ die Nullhypothese p=16p=\frac{1}{6}​ für diese Stichprobe angenommen oder verworfen? 


Bestimmt man das Intervall für die Annahme der Nullhypothese mithilfe der Sigma-Regel, so erhält man das folgende Intervall für die Trefferanzahl:


[μ1,96σ;μ+1,96σ]=[16,71,963,73;16,7+1,963,73]=[9,4;23,9][μ-1,96σ ; μ+1,96σ ]=[16,7-1,96\cdot 3,73 ; 16,7+1,96\cdot 3,73]=[9,4;23,9]​​


Für n=100n=100​ und p=16p=\frac16​ergibt dies also im Durchschnitt 16,616,\overline{6} ​ Treffer. Da diese Zahl im Intervall enthalten ist, wird in dem Fall die Nullhypothese auf dem Niveau a=5%a=5\%​ angenommen.




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