Zweiseitigen Signifikanztest durchführen: Vorgehen
Hypothese für Wahrscheinlichkeit prüfen
Der Zweiseitige Signifikanztest kommt immer dann zum Einsatz, wenn man die Trefferwahrscheinlichkeit p eines Bernoulliversuches mit Stichprobenumfang n nicht kennt, für diese jedoch eine Vermutung („Nullhypothese“) hat.
Die Nullhypothese ist gegeben durch:
H0:p=p0
Man schätzt also die unbekannte Wahrscheinlichkeit p mit der Wahrscheinlichkeit p0 ab und die Nullhypothese besagt, dass diese Schätzung stimmt.
Auf der anderen Seite gibt es die „Alternativhypothese“. Sie beschreibt das Gegenstück zur Nullhypothese, geht also davon aus, dass die Schätzung p0 nicht dem wahren Wert für p entspricht:
H1:p=p0
Mit dem Signifikanztest wird nun die Nullhypothese überprüft. Die Überprüfung geschieht mithilfe einer zufällig ausgewählten Stichprobe der aufgenommenen Daten. Dazu wird die Sigma-Regel verwendet. Es wird also überprüft, ob ein beobachteter Wert hinreichend unwahrscheinlich ist, damit die Nullhypothese verworfen werden kann.
VORGEHEN
| 1. | Formuliere die Nullhypothese für die unbekannte Wahrscheinlichkeit p, die für eine Stichprobe mit Umfang n geschätzt werden soll. |
| 2. | Bestimme den Erwartungswert und die Varianz aus der Stichprobe des Datensatzes, der untersucht werden soll. |
| 3. | Bestimme das Intervall für den Annahmebereich mithilfe der Sigma-Regel. Diese besagt, dass für ein Signifikanzniveau a gilt:
| Mit 90% Sicherheit (a=10%) liegt (p⋅n) im Intervall | [μ−1,64σ;μ+1,64σ]
| | Mit 95% Sicherheit (a=5%) liegt (p⋅n) im Intervall | [μ−1,96σ;μ+1,96σ]
| | Mit 99% Sicherheit (a=1%) liegt (p⋅n) im Intervall | [μ−2,58σ;μ+2,58σ]
|
Wobei μ den Erwartungswert und σ die Standardabweichung der Stichprobe bezeichnen. |
| 4. | Man vergleicht den geschätzten Wert von (p⋅n) mit den Intervallgrenzen. Wenn (p⋅n)nicht im Intervall liegt, so zweifelt man an der Nullhypothese und verwirft diese. In diesem Fall hat man Evidenz für die Alternativhypothese H1 Dies bedeutet nicht, dass H0 widerlegt wurde, es bedeutet nur, dass unter der Nullhypothese ein sehr unwahrscheinlicher Wert beobachtet wurde, weshalb Evidenz dagegenspricht, dass die Nullhypothese stimmt. |
Bei Zufallsexperimenten ist es immer möglich, dass man sich irrt. In dem Fall wäre es zum Beispiel möglich, dass man H0 verwirft, obwohl H0 stimmt. Diesen Fehler nennt man auch Typ-1 Fehler und die Wahrscheinlichkeit dafür entspricht gerade dem Signifikanzniveau a.
Beispiel
Auf dem Jahrmarkt gibt es einen Stand, an dem Lose verkauft werden. Es wird die Nullhypothese aufgestellt, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, ein Gewinnerlos zu ziehen 61 beträgt. Die Hypothese soll getestet werden. Im Rahmen einer Stichprobe werden 100 Lose gekauft. Bei der Datenauswertung ergibt sich ein Erwartungswert von μ=16,7 Gewinnlosen und eine Standardabweichung von σ=3,73. Wird bei der Anwendung des zweiseitigen Signifikanztests auf dem Niveau a=5% die Nullhypothese p=61 für diese Stichprobe angenommen oder verworfen?
Bestimmt man das Intervall für die Annahme der Nullhypothese mithilfe der Sigma-Regel, so erhält man das folgende Intervall für die Trefferanzahl:
[μ−1,96σ;μ+1,96σ]=[16,7−1,96⋅3,73;16,7+1,96⋅3,73]=[9,4;23,9]
Für n=100 und p=61ergibt dies also im Durchschnitt 16,6 Treffer. Da diese Zahl im Intervall enthalten ist, wird in dem Fall die Nullhypothese auf dem Niveau a=5% angenommen.
