Zweiseitigen Signifikanztest durchführen: Vorgehen

Hypothese für Wahrscheinlichkeit prüfen

Der Zweiseitige Signifikanztest kommt immer dann zum Einsatz, wenn man die Trefferwahrscheinlichkeit $$p$$ eines Bernoulliversuches mit Stichprobenumfang $$n$$ nicht kennt, für diese jedoch eine Vermutung („Nullhypothese“) hat.

Die Nullhypothese ist gegeben durch:

$$H_0: p=p_0$$​​

​Man schätzt also die unbekannte Wahrscheinlichkeit $$p$$​ mit der Wahrscheinlichkeit $$p_0$$​ ab und die Nullhypothese besagt, dass diese Schätzung stimmt.

Auf der anderen Seite gibt es die „Alternativhypothese“. Sie beschreibt das Gegenstück zur Nullhypothese, geht also davon aus, dass die Schätzung $$p_0$$​ nicht dem wahren Wert für $$p$$​ entspricht:

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​$$H_1:p≠p_0$$​​

​Mit dem Signifikanztest wird nun die Nullhypothese überprüft. Die Überprüfung geschieht mithilfe einer zufällig ausgewählten Stichprobe der aufgenommenen Daten. Dazu wird die Sigma-Regel verwendet. Es wird also überprüft, ob ein beobachteter Wert hinreichend unwahrscheinlich ist, damit die Nullhypothese verworfen werden kann.

VORGEHEN

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Bei Zufallsexperimenten ist es immer möglich, dass man sich irrt. In dem Fall wäre es zum Beispiel möglich, dass man $$H_0$$​ verwirft, obwohl $$H_0$$​ stimmt. Diesen Fehler nennt man auch Typ-1 Fehler und die Wahrscheinlichkeit dafür entspricht gerade dem Signifikanzniveau $$a$$​.

Beispiel

Auf dem Jahrmarkt gibt es einen Stand, an dem Lose verkauft werden. Es wird die Nullhypothese aufgestellt, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, ein Gewinnerlos zu ziehen $$\frac{1}{6}$$​ beträgt. Die Hypothese soll getestet werden. Im Rahmen einer Stichprobe werden $$100$$​ Lose gekauft. Bei der Datenauswertung ergibt sich ein Erwartungswert von $$μ=16,7$$​ Gewinnlosen und eine Standardabweichung von $$σ=3,73$$​. Wird bei der Anwendung des zweiseitigen Signifikanztests auf dem Niveau $$a=5\%$$​ die Nullhypothese $$p=\frac{1}{6}$$​ für diese Stichprobe angenommen oder verworfen? 

Bestimmt man das Intervall für die Annahme der Nullhypothese mithilfe der Sigma-Regel, so erhält man das folgende Intervall für die Trefferanzahl:

$$[μ-1,96σ ; μ+1,96σ ]=[16,7-1,96\cdot 3,73 ; 16,7+1,96\cdot 3,73]=[9,4;23,9]$$​​

Für $$n=100$$​ und $$p=\frac16$$​ergibt dies also im Durchschnitt $$16,\overline{6}$$​ Treffer. Da diese Zahl im Intervall enthalten ist, wird in dem Fall die Nullhypothese auf dem Niveau $$a=5\%$$​ angenommen.



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