Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

Eine Ebene kann man als Parametergleichung oder als Koordinatengleichung beschreiben.

Parametergleichung

​$$E: \overrightarrow x = \overrightarrow p + s \cdot \overrightarrow u+t \cdot \overrightarrow v, \ \ \ s,t\in\mathbb{R}$$​​

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Bedeutung

Mit Veränderung der Streckfaktoren $$s$$​ und $$t$$​ kann man jeden Punkt auf der Ebene beschreiben.

Hinweis: Es existieren unendlich viele verschiedene Darstellungen für die gleiche Ebene.

• Jeder Punkt auf der Ebene kann Stützvektor $$\overrightarrow p$$​ sein.
  
• Jeder Vektor parallel zur Ebene kann Richtungsvektor $$\overrightarrow u$$​ und $$\overrightarrow v$$​ sein.
  

Die Richtungsvektoren darf man somit mit einem beliebigen Faktor verlängern oder verkürzen. Meist versucht man möglichst kleine, ganzzahlige Einträge in den Vektoren zu erhalten, indem man mit einem passenden Faktor multipliziert.

Koordinatengleichung

$$E:\overrightarrow n \cdot \overrightarrow x = d$$​​ Wobei: $$\overrightarrow n=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$$​, $$\overrightarrow x=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$​ und $$d=\overrightarrow n \cdot \overrightarrow p$$​ Ausmultipliziert: $$E:ax+by+cz=d$$​

Hinweis 1: Wenn $$\overrightarrow n$$​ die Länge 1 hat, dann ist $$d$$​ der Abstand zum Ursprung. Ist $$d=0$$​, so geht die Ebene durch den Ursprung.

Hinweis 2: Man kann man hier wieder unendlich viele verschiedene Darstellungen für die gleiche Ebene haben.

• Jeder Punkt auf der Ebene kann Stützvektor $$\overrightarrow p$$​ sein.
  
• Jeder Vektor senkrecht zur Ebene kann Normalenvektor $$\overrightarrow n$$​ sein.
  

Den Normalenvektor darf man somit wie ein Richtungsvektor verkürzen, um möglichst kleine Einträge zu erhalten.

Mittelnormalebene

Definition

Die Ebene liegt in der Mitte von zwei Punkten $$A$$​ und $$B$$​. Jeder Punkt in der Ebene hat den gleichen Abstand zu $$A$$​ und $$B$$​.

Eigenschaften

• Ebene ist senkrecht zur Strecke $$AB$$​. ($$\overrightarrow n = \overrightarrow{AB}$$​)
  
• Stützpunkt: Mittelpunkt von $$AB$$​. ($$\overrightarrow p= \overrightarrow{0A}+\frac12\overrightarrow{AB}$$​)
  

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Gleichungen aufstellen

Parametergleichung anhand von 3 Punkten aufstellen

Drei beliebige Punkt A, B und C auf der Ebene sind gegeben.

VORGEHEN

Beispiel

Gegeben: $$A(3|4|1)$$, $$\ B(2|1|-1)\$$ und $$\ C(2|3|2)$$.

Verbindungsvektoren

Parametergleichung:

$$E:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}3\\4\\1\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix},\ \ \ \ s,t\in\mathbb{R}$$​​

Koordinatengleichung anhand von 3 Punkten aufstellen

Drei beliebige Punkt $$A$$​, $$B$$​ und $$C$$​ auf der Ebene sind gegeben.

VORGEHEN

Beispiel

Gegeben: $$A(3|4|1)$$,$$\ B(2|1|-1)\$$​ und $$\ C(2|3|2)$$.

Verbindungsvektoren:

Normalenvektor:

$$\overrightarrow {n}=\begin{pmatrix}-1\\-3\\-2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\3\\-2\end{pmatrix}$$​​

Koordinatengleichung:

$$d=\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {0A}=\begin{pmatrix}-5\\3\\-2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\4\\1\end{pmatrix}=-15+12-2=-5$$​​

$$\underline{E:\ \ \ -5x+3y-2z=-5}$$​​

Koordinatengleichung anhand von einem Punkt und dem Normalenvektor aufstellen

Punkt P auf der Ebene und ein Vektor senkrecht zur Ebene sind gegeben.

VORGEHEN

Beispiel

Gegeben:$$\overrightarrow n=\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}, P(1|4|2)$$​

Koordinatengleichung:

$$d=\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}=2+12-2=12$$​​

Koordinatengleichung:

$$\underline{E:\ \ \ \ 2x+3y-z=12}$$​​

Gleichungstyp umwandeln

Parametergleichung in Koordinatengleichung umwandeln

VORGEHEN

Beispiel

Gegeben: $$g:\overrightarrow x=\begin{pmatrix}-1\\4\\2\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}4\\1\\-1\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}, \ \ \ s,t\in\mathbb{R}$$​

Normalenvektor:

$$\overrightarrow n=\begin{pmatrix}4\\1\\-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-11\\-3\end{pmatrix}$$​​

Koordinatengleichung:

$$d=\begin{pmatrix}2\\-11\\-3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1\\4\\2\end{pmatrix}=-2-44-6=-52$$​​

$$\underline{E:\ \ \ \ 2x-11y-3z=-52}$$​​

Koordinatengleichung in Parametergleichung umwandeln

VORGEHEN

Beispiel

Gegeben: $$E:\ \ \ \ 2x-y+4z=4$$​

Punkte bestimmen:

Stützvektor und Verbindungsvektoren:

Parametergleichung:

$$E: \overrightarrow x=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix},\ \ \ \ \ \ s,t\in\mathbb{R}$$​​