Eine Ebene kann man als Parametergleichung oder als Koordinatengleichung beschreiben.
Parametergleichung
E:x=p+s⋅u+t⋅v,s,t∈R
p
„Stützvektor“: Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf der Geraden.
u,v
„Richtungsvektoren“: Beliebige Vektoren die die Ebene aufspannen.
s,t
„Streckfaktoren“: Verlängern oder verkürzen die beiden Richtungsvektoren beliebig.
Bedeutung
Mit Veränderung der Streckfaktorensundtkann man jeden Punkt auf der Ebene beschreiben.
Hinweis: Es existieren unendlich viele verschiedene Darstellungen für die gleiche Ebene.
Jeder Punkt auf der Ebene kann Stützvektorpsein.
Jeder Vektor parallel zur Ebene kann Richtungsvektoruundvsein.
Die Richtungsvektoren darf man somit mit einem beliebigen Faktor verlängern oder verkürzen. Meist versucht man möglichst kleine, ganzzahlige Einträge in den Vektoren zu erhalten, indem man mit einem passenden Faktor multipliziert.
Koordinatengleichung
E:n⋅x=d
Wobei:n=abc,x=xyzundd=n⋅p
Ausmultipliziert:E:ax+by+cz=d
n
Normalenvektor
d
Relation der Ebene zum Ursprung. Der Wertdergibt sich aus dem Skalarprodukt vonnund einem beliebigen Ortsvektor eines PunktesPauf der Ebene: d=n⋅p
Hinweis 1:Wennndie Länge 1 hat, dann istdder Abstand zum Ursprung. Istd=0,so geht die Ebene durch den Ursprung.
Hinweis 2:Man kann man hier wieder unendlich viele verschiedene Darstellungen für die gleiche Ebene haben.
Jeder Punkt auf der Ebene kann Stützvektorpsein.
Jeder Vektor senkrecht zur Ebene kann Normalenvektornsein.
Den Normalenvektor darf man somit wie ein Richtungsvektor verkürzen, um möglichst kleine Einträge zu erhalten.
Mittelnormalebene
Definition
Die Ebene liegt in der Mitte von zwei PunktenAundB. Jeder Punkt in der Ebene hat den gleichen Abstand zuAundB.
Eigenschaften
Ebene ist senkrecht zur StreckeAB. (n=AB)
Stützpunkt: Mittelpunkt vonAB. (p=0A+21AB)
Gleichungen aufstellen
Parametergleichung anhand von 3 Punkten aufstellen
Drei beliebige Punkt A, B und C auf der Ebene sind gegeben.
VORGEHEN
1.
Verbindungsvektoren AB undACberechnen.
2.
Parametergleichung aufstellen:
Richtungsvektoren: u=ABundv=AC
Stützvektor:p=0A
Beispiel
Gegeben:A(3∣4∣1), B(2∣1∣−1)undC(2∣3∣2).
Verbindungsvektoren
AB=−1−3−2geku¨rzt→132
AC=−1−11
Parametergleichung:
E:x=341+s⋅132+t⋅−1−11,s,t∈R
Koordinatengleichung anhand von 3 Punkten aufstellen
Drei beliebige PunktA,BundCauf der Ebene sind gegeben.
VORGEHEN
1.
Verbindungsvektoren ABundACberechnen.
2.
Normalenvektorn=AB×ACundd=n⋅pberechnen, wobeipeiner der Ortsvektoren vonA,BoderCist.
3.
Koordinatengleichung aufstellen.
Beispiel
Gegeben:A(3∣4∣1),B(2∣1∣−1) undC(2∣3∣2).
Verbindungsvektoren:
AB=−1−3−2
AC=−1−11
Normalenvektor:
n=−1−3−2×−1−11=−53−2
Koordinatengleichung:
d=n⋅0A=−53−2⋅341=−15+12−2=−5
E:−5x+3y−2z=−5
Koordinatengleichung anhand von einem Punkt und dem Normalenvektor aufstellen
Punkt P auf der Ebene und ein Vektor senkrecht zur Ebene sind gegeben.
VORGEHEN
1.
d berechnen. d=n⋅0P
n ist der Vektor senkrecht zur Ebene.
2.
Koordinatengleichung aufstellen.
Beispiel
Gegeben:n=23−1,P(1∣4∣2)
Koordinatengleichung:
d=23−1⋅142=2+12−2=12
Koordinatengleichung:
E:2x+3y−z=12
Gleichungstyp umwandeln
Parametergleichung in Koordinatengleichung umwandeln
VORGEHEN
1.
Normalenvektor berechnen:n=u×v
2.
d=n⋅p berechnen.
3.
Koordinatengleichung aufstellen.
Beispiel
Gegeben:g:x=−142+s⋅41−1+t⋅302,s,t∈R
Normalenvektor:
n=41−1×302=2−11−3
Koordinatengleichung:
d=2−11−3⋅−142=−2−44−6=−52
E:2x−11y−3z=−52
Koordinatengleichung in Parametergleichung umwandeln
VORGEHEN
1.
Bestimme drei beliebige Punkte auf der Ebene: Wähle zwei Koordinaten frei und berechne den Dritten.
2.
Bestimme die Parametergleichung mithilfe der drei Punkte. (Vorgehen wie oben)
Beispiel
Gegeben:E:2x−y+4z=4
Punkte bestimmen:
Gewählt:
Punkt
x=0,y=0→z=1
A(0∣0∣1)
y=0,z=0→x=2
B(2∣0∣0)
x=0,z=0→y=4
C(0∣4∣0)
Stützvektor und Verbindungsvektoren:
p=0P=001
u=AB=20−1
v=AC=04−1
Parametergleichung:
E:x=001+s⋅20−1,s,t∈R
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Dauer:
Teil 1
Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung
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Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Was ist eine Koordinatengleichung?
Die Koordinatengleichung einer Ebene beschreibt die Ebene mittels Punktkoordinaten. Sie ist nützlich um zu überprüfen, ob ein gegebener Punkt in der Ebene liegt.
Was ist eine Parametergleichung?
Eine Parametergleichung einer Ebene ist eine Gleichung, die die Ebene mittels zweier Vektoren in der Ebene darstellen.
Wie stellt man eine Ebenengleichung auf?
Man setzt die bekannten Informationen in die Ebenengleichung ein, um die unbekannten Parameter zu bestimmen.
Welche Formen der Ebenengleichung gibt es?
Es existieren die Koordinatenform, die Parameterform, die Normalenform und die Hess'sche Normalform.