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Zusammenfassung

Differentialrechnung: Definition & Vorgehen

Differentialrechnung

Definition

Mit der Differentialrechnung bestimmt man die Steigung (Veränderung) eines Graphen in einem bestimmten Punkt x0x_0x0​​.

Die Steigung eines Graphen in einem Punkt entspricht der Steigung einer Tangente in dem Punkt.

Die Steigung einer Funktion ändert sich für gewöhnlich mit jedem x-Wert (außer bei linearen Funktionen).

​

​

​


Ableitung - Herleitung

Um entweder die Steigung einer Funktion in einem Punkt oder die Ableitung einer Funktion herzuleiten, verwendet man den Differenzen- oder den Differentialquotienten.


Differenzenquotient bilden (mittlere Änderungsrate)

Die Steigung der Sekante ist der „Differenzenquotient“ (Quotient aus einer Differenz):


MAN BILDET EINE SEKANTE DURCH ZWEI PUNKTE:

  1. den Punkt, in dem man die Steigung sucht.
    P0(x0∣f(x0))P_0\left(x_0|f\left(x_0\right)\right)P0​(x0​∣f(x0​))​
  2. einen Punkt etwas weiter weg (+∆x+∆x+∆x​ entlang der xxx​-Achse) auf der Funktion.
    P2(x0+∆x∣f(x0+∆x))P_2(x_0+∆x | f(x_0+∆x))P2​(x0​+∆x∣f(x0​+∆x))​
​Sekantensteigung=∆y∆x=f(x0+∆x)−fx0∆xSekantensteigung=\frac{∆y}{∆x}=\frac{f(x_0+∆x)-fx_0}{∆x}Sekantensteigung=∆x∆y​=∆xf(x0​+∆x)−fx0​​​​
Mathematik; Ableitung und Differenzialrechnung; 10. Klasse Gymnasium; Differentialrechnung: Definition & Vorgehen


Differentialquotient bilden (erste Ableitung)

Verkleinert man den Abstand der x-Werte (verkleinert ∆x∆x∆x​), so nähert sich die Steigung der Sekante der Steigung der Tangente an der Stelle x0x_0x0​​ an.


Abstand verkleinern durch lim⁡∆x→0\lim \limits_ {∆x→0 }∆x→0lim​​. Dieser Grenzwert heißt „Differentialquotient“ oder „Ableitung“ der Funktion fff​ an der Stelle x0x_0x0​​:


VORGEHEN

Ableitung bilden und die Steigung in einem Punkt berechnen.

1.

Stelle den Differenzenquotient auf:

f(x0+∆x)−f(x0)∆x\frac{f(x_0+∆x)-f(x_0)}{∆x}∆xf(x0​+∆x)−f(x0​)​​​

Hinweis: Anstatt ∆x∆x∆x​ schreibt man oft auch h.

2.

Vereinfache den Bruch so weit wie möglich.

3.

Differentialquotient bestimmen: Berechne den Grenzwert lim⁡∆x→0\lim\limits_{∆x→0}∆x→0lim​​ bzw. lim⁡h→0\lim\limits_{h\rightarrow0}h→0lim​​.

4.

Vereinfache den Term so weit wie möglich.


Beispiel

Bestimme die erste Ableitung von f(x)=3x2+2f\left(x\right)=3x^2+2f(x)=3x2+2​ am beliebigen Punkt x0x_0x0​​ mit Hilfe des Differenzenquotienten.

Berechne die Steigung an der Stelle x=2x=2x=2​.


Differenzenquotienten aufstellen:

f(x0+∆x)−f(x0)∆x=(3⋅(x0+∆x)2+2)−(3x02+2)∆x\frac{f(x_0+∆x)-f(x_0)}{∆x}=\frac{(3\cdot (x_0+∆x)^2+2)-(3x_0^2+2)}{∆x}∆xf(x0​+∆x)−f(x0​)​=∆x(3⋅(x0​+∆x)2+2)−(3x02​+2)​​​


Vereinfachen:

=3(x02+2x0∆x+∆x2)−3x02∆x=6x0∆x+3∆x2∆x=6x0+3∆x=\frac{3(x_0^2+2x_0∆x+∆x^2)-3x_0^2}{∆x}=\frac{6x_0∆x+3∆x^2}{∆x}=6x_0+3∆x=∆x3(x02​+2x0​∆x+∆x2)−3x02​​=∆x6x0​∆x+3∆x2​=6x0​+3∆x​​


Differentialquotient bei x0x_0x0​​ bestimmen:

lim⁡∆x→0(6x0+3∆x)=6x0\lim\limits_{∆x→0}(6x_0+3∆x)=6x_0∆x→0lim​(6x0​+3∆x)=6x0​​​


1. Ableitung für beliebiges xxx​:

f′(x)=6x‾\underline{f^\prime\left(x\right)=6x}f′(x)=6x​​​


Steigung an der Stelle x=2:f′(2)=6⋅2=12‾x=2: f^\prime\left(2\right)=6\cdot2=\underline{12}x=2:f′(2)=6⋅2=12​​ 







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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie bildet man den Differentialquotienten?

Man berechnet den Differentialquotienten (auch erste Ableitung genannt), indem man beim Differenzenquotienten ∆x mit dem Limes gegen 0 konvergieren lässt. Hinweis, oft schreibt man anstelle von ∆x auch h.

Was ist der Unterschied zwischen dem Differenzenquotienten und dem Differentialquotienten?

Der Differenzenquotient ist die Steigung der Sekante. Er ist also der Quotient aus einer Differenz mit ∆x. Der Differentialquotient ist, wenn dieses ∆x gegen 0 geht. Somit wird aus der Steigung der Sekanten die Steigung der Tangente.

Was versteht man unter Differentialrechnung?

Mit der Differentialrechnung bestimmt man die Steigung (Veränderung) eines Graphen in einem bestimmten Punkt x0. Die Steigung eines Graphen in einem Punkt entspricht der Steigung einer Tangente in dem Punkt. Die Steigung einer Funktion ändert sich für gewöhnlich mit jedem x-Wert (außer bei linearen Funktionen).

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