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Differentialrechnung: Definition & Vorgehen

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Lehrperson: Nele

Zusammenfassung

Differentialrechnung: Definition & Vorgehen

Differentialrechnung

Definition

Mit der Differentialrechnung bestimmt man die Steigung (Veränderung) eines Graphen in einem bestimmten Punkt x0x_0.

Die Steigung eines Graphen in einem Punkt entspricht der Steigung einer Tangente in dem Punkt.

Die Steigung einer Funktion ändert sich für gewöhnlich mit jedem x-Wert (außer bei linearen Funktionen).



Mathematik; Ableitung und Differenzialrechnung; 10. Klasse Gymnasium; Differentialrechnung: Definition & Vorgehen


Ableitung - Herleitung

Um entweder die Steigung einer Funktion in einem Punkt oder die Ableitung einer Funktion herzuleiten, verwendet man den Differenzen- oder den Differentialquotienten.


Differenzenquotient bilden (mittlere Änderungsrate)

Die Steigung der Sekante ist der „Differenzenquotient“ (Quotient aus einer Differenz):


MAN BILDET EINE SEKANTE DURCH ZWEI PUNKTE:

  1. den Punkt, in dem man die Steigung sucht.
    P0(x0f(x0))P_0\left(x_0|f\left(x_0\right)\right)
  2. einen Punkt etwas weiter weg (+x+∆x entlang der xx-Achse) auf der Funktion.
    P2(x0+xf(x0+x))P_2(x_0+∆x | f(x_0+∆x))
Sekantensteigung=yx=f(x0+x)fx0xSekantensteigung=\frac{∆y}{∆x}=\frac{f(x_0+∆x)-fx_0}{∆x}​​
Mathematik; Ableitung und Differenzialrechnung; 10. Klasse Gymnasium; Differentialrechnung: Definition & Vorgehen


Differentialquotient bilden (erste Ableitung)

Verkleinert man den Abstand der x-Werte (verkleinert x∆x), so nähert sich die Steigung der Sekante der Steigung der Tangente an der Stelle x0x_0 an.


Abstand verkleinern durch limx0\lim \limits_ {∆x→0 }. Dieser Grenzwert heißt „Differentialquotient“ oder „Ableitung“ der Funktion ff an der Stelle x0x_0:


VORGEHEN

Ableitung bilden und die Steigung in einem Punkt berechnen.

1.

Stelle den Differenzenquotient auf:

f(x0+x)f(x0)x\frac{f(x_0+∆x)-f(x_0)}{∆x}​​

Hinweis: Anstatt x∆x schreibt man oft auch h.

2.

Vereinfache den Bruch so weit wie möglich.

3.

Differentialquotient bestimmen: Berechne den Grenzwert limx0\lim\limits_{∆x→0}​ bzw. limh0\lim\limits_{h\rightarrow0}.

4.

Vereinfache den Term so weit wie möglich.


Beispiel

Bestimme die erste Ableitung von f(x)=3x2+2f\left(x\right)=3x^2+2 am beliebigen Punkt x0x_0 mit Hilfe des Differenzenquotienten.

Berechne die Steigung an der Stelle x=2x=2.


Differenzenquotienten aufstellen:

f(x0+x)f(x0)x=(3(x0+x)2+2)(3x02+2)x\frac{f(x_0+∆x)-f(x_0)}{∆x}=\frac{(3\cdot (x_0+∆x)^2+2)-(3x_0^2+2)}{∆x}​​


Vereinfachen:

=3(x02+2x0x+x2)3x02x=6x0x+3x2x=6x0+3x=\frac{3(x_0^2+2x_0∆x+∆x^2)-3x_0^2}{∆x}=\frac{6x_0∆x+3∆x^2}{∆x}=6x_0+3∆x​​


Differentialquotient bei x0x_0 bestimmen:

limx0(6x0+3x)=6x0\lim\limits_{∆x→0}(6x_0+3∆x)=6x_0​​


1. Ableitung für beliebiges xx:

f(x)=6x\underline{f^\prime\left(x\right)=6x}​​


Steigung an der Stelle x=2:f(2)=62=12x=2: f^\prime\left(2\right)=6\cdot2=\underline{12} 


Mathematik; Ableitung und Differenzialrechnung; 10. Klasse Gymnasium; Differentialrechnung: Definition & Vorgehen






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Wie bildet man den Differentialquotienten?

Was ist der Unterschied zwischen dem Differenzenquotienten und dem Differentialquotienten?

Was versteht man unter Differentialrechnung?

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