Differentialrechnung: Definition & Vorgehen

Differentialrechnung

Definition

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Ableitung - Herleitung

Um entweder die Steigung einer Funktion in einem Punkt oder die Ableitung einer Funktion herzuleiten, verwendet man den Differenzen- oder den Differentialquotienten.

Differenzenquotient bilden (mittlere Änderungsrate)

Die Steigung der Sekante ist der „Differenzenquotient“ (Quotient aus einer Differenz): MAN BILDET EINE SEKANTE DURCH ZWEI PUNKTE: den Punkt, in dem man die Steigung sucht. $$P_0\left(x_0|f\left(x_0\right)\right)$$​ einen Punkt etwas weiter weg ($$+∆x$$​ entlang der $$x$$​-Achse) auf der Funktion. $$P_2(x_0+∆x | f(x_0+∆x))$$​ ​$$Sekantensteigung=\frac{∆y}{∆x}=\frac{f(x_0+∆x)-fx_0}{∆x}$$​​

Differentialquotient bilden (erste Ableitung)

Verkleinert man den Abstand der x-Werte (verkleinert $$∆x$$​), so nähert sich die Steigung der Sekante der Steigung der Tangente an der Stelle $$x_0$$​ an.

Abstand verkleinern durch $$\lim \limits_ {∆x→0 }$$​. Dieser Grenzwert heißt „Differentialquotient“ oder „Ableitung“ der Funktion $$f$$​ an der Stelle $$x_0$$​:

VORGEHEN

Ableitung bilden und die Steigung in einem Punkt berechnen.

Beispiel

Bestimme die erste Ableitung von $$f\left(x\right)=3x^2+2$$​ am beliebigen Punkt $$x_0$$​ mit Hilfe des Differenzenquotienten.

Berechne die Steigung an der Stelle $$x=2$$​.

Differenzenquotienten aufstellen:

$$\frac{f(x_0+∆x)-f(x_0)}{∆x}=\frac{(3\cdot (x_0+∆x)^2+2)-(3x_0^2+2)}{∆x}$$​​

Vereinfachen:

$$=\frac{3(x_0^2+2x_0∆x+∆x^2)-3x_0^2}{∆x}=\frac{6x_0∆x+3∆x^2}{∆x}=6x_0+3∆x$$​​

Differentialquotient bei $$x_0$$​ bestimmen:

$$\lim\limits_{∆x→0}(6x_0+3∆x)=6x_0$$​​

1. Ableitung für beliebiges $$x$$​:

$$\underline{f^\prime\left(x\right)=6x}$$​​

Steigung an der Stelle $$x=2: f^\prime\left(2\right)=6\cdot2=\underline{12}$$​