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Erklärvideo

Lehrperson: Martin

Zusammenfassung

Eigenvektoren und Eigenwerte berechnen

Definition

Der Eigenvektor einer quadratischen Matrix $A$ ist ein Vektor, dessen Richtung nicht verändert wird, wenn er mit der Matrix $A$ multipliziert wird. Eigenvektoren unterscheiden sich vom Nullvektor.

Die Multiplikation zwischen der Matrix $A$ und dem Vektor führt zur Streckung des Vektors. Der Streckungsfaktor wird als Eigenwert bezeichnet.

Konkret bedeutet dies:

Das Produkt eines Eigenvektors $\overrightarrow v$ mit der Matrix $A$ entspricht einem Vielfachen des Eigenvektors, und zwar genau dem Produkt zwischen Eigenwert $\lambda$ und Eigenvektor.

$A\cdot\overrightarrow v = \lambda \cdot\overrightarrow v$

Eigenschaften

Matrizen haben typischerweise mehrere Eigenwerte und Eigenvektoren.
Ist $\lambda$ ein Eigenwert der Matrix $A$ , so ist $\frac{1}{\lambda}$ ein Eigenwert der Inversen $A^{-1}$ .
Falls eine $n\ \times n\$ Matrix $n$ Eigenwerte hat, entspricht das Produkt der Eigenwerte $\lambda_i$ (mit Multiplizität) der Determinante: $\prod_{i=1}^{n}{\lambda_i=\ \lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\lambda_3\cdot\ldots}\cdot\lambda_n\ =det(A)$ .
Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten der gleichen Matrix sind zueinander orthogonal (senkrecht).

Anwendungen

Eigenvektoren und Eigenwerte werden in zahlreichen Bereichen der Physik, dem Maschinenbau, der Elektrotechnik, Informatik, etc. angewendet.

Beispiel: Schwingungsfähige Systeme besitzen oftmals eine Resonanzfrequenz. Diese wird durch die Eigenvektoren beschrieben.

Eigenvektoren und Eigenwerte bestimmen

VORGEHEN

1.	Subtrahiere den unbekannten Eigenwert $\lambda$ von jedem Eintrag in der Hauptdiagonalen der Matrix $A$ :
2.	Stelle die Formel zur Berechnung der Determinanten der Matrix auf. In der Formel wird die Unbekannte $\lambda$ enthalten sein.
3.	Setze $det(A-\lambda\cdot E_n)=0$ und löse nach $\lambda$ , um die unbekannten Eigenwerte $\lambda_i$ zu finden.
4.	Berechne zu jedem Eigenwert $\lambda_i$ den zugehörigen Eigenvektor $\overrightarrow v.$ Führe dazu für jeden Eigenwert die folgenden Schritte aus: I. Setze den Eigenwert in die Gleichung $(A-\ \lambda\cdot E_n)\cdot \overrightarrow v = \overrightarrow o$ ein. Konkret heißt das: Ziehe den berechneten Eigenwert von der Hauptdiagonale der Matrix A ab. Multipliziere die erhaltene Matrix mit dem unbekannten Vektor und setze den erhaltenen Vektor dem Nullvektor gleich. Dadurch erhält man ein Gleichungssystem. II. Löse die Gleichungen nach einer Komponente ${v_i}$ auf. Die anderen Komponenten werden durch ${v_i}$ ausgedrückt. III. Definiere den Wert einer anderen Komponente ${v_j};$ üblicherweise wird $v_j=1$ gewählt. IV. Setzen den in Schritt III definierten Wert für $v_j$ in die Gleichungen aus Schritt II ein.

Beispiel – Berechne die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren der Matrix $A=\left(\begin{matrix}2&1\\7&-4\\\end{matrix}\right)$ 

Matrix aufstellen $A-\lambda\cdot E_2$ :

$\left(\begin{matrix}2&1\\7&-4\\\end{matrix}\right)-\lambda\cdot\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-\lambda&1\\7&-4-\lambda\\\end{matrix}\right)$ 

Determinante aufstellen:

$det\left(\begin{matrix}2-\lambda&1\\7&-4-\lambda\\\end{matrix}\right)=(2-\lambda)\cdot(-4-\lambda)-7\cdot1=\lambda^2+2\lambda-15$ 

Term gleich Null setzen und Gleichung lösen:

$\lambda^2+2\lambda-15=0\\(\lambda+5)(\lambda-3)=0$

Eigenwerte:

$\underline{\lambda_1=-5,\lambda_2=3}$ 

Eigenvektoren bestimmen: Setze in die Gleichung $(A-\ \lambda_1\cdot E_2)\cdot\overrightarrow v = \overrightarrow o$ ein:

$\left(\left(\begin{matrix}2&1\\7&-4\\\end{matrix}\right)-(-5)\cdot\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)\right)\cdot\left(\begin{matrix}v_1\\v_2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\\\end{matrix}\right)$

$\left(\begin{matrix}7&1\\7&1\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}v_1\\v_2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\\\end{matrix}\right)$ 

Multipliziere Vektor und Matrix:

$\left(\begin{matrix}{7v}_1+v_2\\{7v}_1+v_2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\\\end{matrix}\right)$ 

Löse die Gleichung nach einer Komponente auf:

$v_2=-7v_1$ 

Setze $v_1=1$ . Daraus folgt $v_2=-7v_1=-7$ .

Der Eigenvektor zu $\lambda_1$ lautet:

$\underline{\overrightarrow v =\left(\begin{matrix}1\\-7\\\end{matrix}\right)}$ 

Mit den gleichen Rechenschritten erhält man für den Eigenvektor:

$\underline{\overrightarrow v =\left(\begin{matrix}1\\1\\\end{matrix}\right)}$ 

Lerne mit Grundlagen

Dauer:

Teil 1

Matrizen: Definition, Eigenschaften & spezielle Matrizen

Abkürzung

Teil 2