Eigenvektoren und Eigenwerte berechnen

Definition

Der Eigenvektor einer quadratischen Matrix $$A$$​ ist ein Vektor, dessen Richtung nicht verändert wird, wenn er mit der Matrix $$A$$​ multipliziert wird. Eigenvektoren unterscheiden sich vom Nullvektor. 

Die Multiplikation zwischen der Matrix $$A$$​ und dem Vektor führt zur Streckung des Vektors. Der Streckungsfaktor wird als Eigenwert bezeichnet. 

Konkret bedeutet dies: 

Das Produkt eines Eigenvektors $$\overrightarrow v$$​ mit der Matrix $$A$$​ entspricht einem Vielfachen des Eigenvektors, und zwar genau dem Produkt zwischen Eigenwert $$\lambda$$​ und Eigenvektor. 

$$A\cdot\overrightarrow v = \lambda \cdot\overrightarrow v$$​​

Eigenschaften

• Matrizen haben typischerweise mehrere Eigenwerte und Eigenvektoren. 
  
• Ist $$\lambda$$​ ein Eigenwert der Matrix $$A$$​, so ist $$\frac{1}{\lambda}$$​ ein Eigenwert der Inversen $$A^{-1}$$​.
  
• Falls eine $$n\ \times n\$$​ Matrix $$n$$​ Eigenwerte hat, entspricht das Produkt der Eigenwerte $$\lambda_i$$​ (mit Multiplizität) der Determinante: $$\prod_{i=1}^{n}{\lambda_i=\ \lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\lambda_3\cdot\ldots}\cdot\lambda_n\ =det(A)$$​.
  
• Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten der gleichen Matrix sind zueinander orthogonal (senkrecht).
  

Anwendungen

Eigenvektoren und Eigenwerte werden in zahlreichen Bereichen der Physik, dem Maschinenbau, der Elektrotechnik, Informatik, etc. angewendet.

Beispiel: Schwingungsfähige Systeme besitzen oftmals eine Resonanzfrequenz. Diese wird durch die Eigenvektoren beschrieben.

Eigenvektoren und Eigenwerte bestimmen

VORGEHEN

Beispiel – Berechne die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren der Matrix $$A=\left(\begin{matrix}2&1\\7&-4\\\end{matrix}\right)$$​

Matrix aufstellen $$A-\lambda\cdot E_2$$​:

$$\left(\begin{matrix}2&1\\7&-4\\\end{matrix}\right)-\lambda\cdot\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-\lambda&1\\7&-4-\lambda\\\end{matrix}\right)$$​​

Determinante aufstellen:

$$det\left(\begin{matrix}2-\lambda&1\\7&-4-\lambda\\\end{matrix}\right)=(2-\lambda)\cdot(-4-\lambda)-7\cdot1=\lambda^2+2\lambda-15$$​​

Term gleich Null setzen und Gleichung lösen:

​$$\lambda^2+2\lambda-15=0\\(\lambda+5)(\lambda-3)=0$$​​

Eigenwerte:

$$\underline{\lambda_1=-5,\lambda_2=3}$$​​

Eigenvektoren bestimmen: Setze  in die Gleichung $$(A-\ \lambda_1\cdot E_2)\cdot\overrightarrow v = \overrightarrow o$$​ ein:

$$\left(\left(\begin{matrix}2&1\\7&-4\\\end{matrix}\right)-(-5)\cdot\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)\right)\cdot\left(\begin{matrix}v_1\\v_2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\\\end{matrix}\right)$$​​

$$\left(\begin{matrix}7&1\\7&1\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}v_1\\v_2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\\\end{matrix}\right)$$​​

Multipliziere Vektor und Matrix:

$$\left(\begin{matrix}{7v}_1+v_2\\{7v}_1+v_2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\\\end{matrix}\right)$$​​

Löse die Gleichung nach einer Komponente auf:

$$v_2=-7v_1$$​​

Setze $$v_1=1$$​. Daraus folgt $$v_2=-7v_1=-7$$​.

Der Eigenvektor zu $$\lambda_1$$​ lautet: 

$$\underline{\overrightarrow v =\left(\begin{matrix}1\\-7\\\end{matrix}\right)}$$​​

Mit den gleichen Rechenschritten erhält man für  den Eigenvektor:

$$\underline{\overrightarrow v =\left(\begin{matrix}1\\1\\\end{matrix}\right)}$$​​