Erwartungswert, Mittelwert & Standardabweichung

Deskriptive Statistik

In der deskriptiven Statistik werden Datensätze erhoben, die anschließend ausgewertet werden. Man kann zum Beispiel auswerten, welchen Wert die Daten im Mittel haben und um wie viel die Daten durchschnittlich von diesem Mittelwert abweichen.

Urliste

In einer Urliste sammelt man alle Daten, die erhoben wurden. Gleiche Werte werden so oft aufgeführt, wie sie gemessen wurden.

Mittelwert

Um aus den Daten den Mittelwert zu bestimmen, summiert man alle Werte auf und teilt durch die Anzahl der aufgenommenen Werte. Der Mittelwert wird meist als $$\bar{x}$$ bezeichnet. Die Anzahl der erhobenen Daten sei $$n$$ und $$x_i$$ bezeichne den $$i$$-ten Datenwert.​

​$$\bar{x} =\frac{1}{n}(x_1+x_2 +_…+x_i+_…+x_n)$$​​

​​Beispiel

Die Körpergröße von $$10$$ Personen wurde gemessen. Es ergaben sich folgende Resultate (dies ist die Urliste):

Der Mittelwert aus diesen Daten beträgt:

$$\bar{x} =\frac{1}{10}\cdot (174+189+152+168+176+153+160+174+183+169) \,cm=\underline{169,8 \,cm}$$​​

Empirische Standardabweichung

Die empirische Standardabweichung $$s$$ dient als Maß für die Streuung der Daten um den Mittelwert. Um sie zu berechnen, muss man vorher den Mittelwert bestimmt haben. Die Größe ist wie folgt definiert:

​$$s=\sqrt{\frac1n ((x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+...+(x_n-\bar{x})^2)}$$​​

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 Beispiel

Wie groß ist die empirische Standardabweichung aus den Daten vom obigen Beispiel?

$$s=\sqrt{\frac{1}{10}((174-169,8)^2+(189-169,8)^2+(152-169,8)^2+(168-169,8)^2 +_…+(169-169,8)^2)}$$​​

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​$$s \approx \underline{11,47\, cm}$$​​

Zufallsgrößen

Bei der Durchführung eines Zufallsexperiments, wie zum Beispiel dem Werfen eines (fairen) Würfels, dem Ziehen von bunten Kugeln aus einem Sack oder dem Drehen eines Glücksrades, werden durch Zufallsgrößen den Ergebnissen Zahlen zugeordnet. Die einzelnen Ereignisse haben jeweils unterschiedliche Auftritts-Wahrscheinlichkeiten. Zufallsgrößen helfen dabei, Zufallsexperimente theoretisch zu beschreiben, ohne dass Daten erhoben werden.

Erwartungswert

Der Erwartungswert gibt an, welcher Wert im Durchschnitt auftreten wird, wenn man das Zufallsexperiment durchführt. Bei sehr vielen Durchführungen des Experiments nähert sich der Mittelwert der Daten dem Erwartungswert an.

Der Erwartungswert wird oft bezeichnet mit $$E(X)$$​. Er kann wie folgt berechnet werden:

​$$E(X)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+...+ x_n\cdot P(X=x_n)$$​​

Hierbei bezeichnet $$x_i$$​den $$i$$​-ten möglichen Wert, den die Zufallsgröße $$X$$​annehmen kann. Es gibt $$n$$​ mögliche Werte, welche die Zufallsgröße annehmen kann und $$P(X=x_i)$$​ bezeichnet die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße den Wert $$x_i$$​ annimmt.
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Standardabweichung

Die Standardabweichung $$\sigma$$​ gibt an, wie groß die Abweichungen der Daten vom Erwartungswert im Mittel sind. Um die Standardabweichung zu berechnen, muss man vorher den Erwartungswert $$E(X)$$​ berechnet haben. $$\sigma$$​ kann man wie folgt berechnen:

$$\sigma=\sqrt{(x_1-(E(X))^2 \cdot P(X=x_1)+(x_2-(E(X))^2 \cdot P(X=x_2)+...+(x_n-(E(X))^2 \cdot P(X=x_n)}$$​​

Beispiel:

In einem Sack befinden sich $$10$$​ Kugeln. $$5$$​ Davon sind gestreift, $$3$$​ sind grau und $$2$$​ sind weiß. Wenn man eine gestreifte Kugel zieht, bekommt man einen Punkt, für eine graue gibt es zwei Punkte und für eine weiße gibt es fünf Punkte. Wenn man eine Kugel aus dem Sack zieht, wie hoch ist dann die zu erwartende Punktzahl? (Beachte: p steht jeweils für Punkt(e), nicht die Wahrscheinlichkeit $$P$$​)

$$E(X)=1p\cdot P(X=gestreift)+2p\cdot P(X=grau)+5p\cdot P(X=weiß)$$

$$E(X)=qp\cdot \frac{5}{10}+2p \cdot \frac{3}{10}+ 5p \cdot \frac{2}{10} = \underline{2,1p}$$​​​

Die zu erwartende Punktezahl bei zufälliger Auswahl einer Kugel ist also $$2,1$$ Punkte.

Und wie groß ist die Standardabweichung?

$$σ=\sqrt{(1p-2,1p)^2\cdot P(X=1p)+(2p-2,1p)^2\cdot P(X=2p)+(5p-2,1p)^2\cdot P(X=5p)}$$

​$$\sigma=\sqrt{(-1,1p)^2\cdot \frac{5}{10}+(-0,1p)^2\cdot \frac{3}{10}+(2,9p)^2\cdot \frac{2}{10}}\approx \underline {1,51p}$$​​

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Bei Zufälliger Wahl der Kugel wird die Abweichung der Punktezahl (nach unten und nach oben) also im Mittel $$1,51$$​ Punkte betragen.