Home

Mathematik

Integral berechnen

Numerische Integration: Methoden

Numerische Integration: Methoden

Erklärvideos

Zusammenfassung

Übungen

Lektion auswählen

Mein Buch

Select an option

Analytische Geometrie

Kreise und Kugeln: Lagebeziehungen und Formeln

Tangential- und Polarebene: Lage von Kugel und Ebene

Ebenen

Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

Vektoren: Normalenform und Koordinatengleichung

Hess'sche Normalform: Formel und Eigenschaften

Lagebeziehungen zwischen Ebenen

Ebene und Punkt: Abstand und Reflexion

Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade

Vektoren Geraden

Lagebeziehungen zwischen Geraden

Punkt und Gerade: kürzester Abstand und Reflexionspunkt bestimmen

Zwischenwinkel zwischen zwei Vektoren berechnen

Vektoren

Basiswissen Vektoren: Eigenschaften und Verbindungsvektor

Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln

Koordinatensysteme und Koordinatenebenen

Komponentendarstellung in 2D und 3D

Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D

Skalarprodukt: Berechnung und Rechenregeln

Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

Vektorräume

Vektorräume & lineare Unabhängigkeit

Matrizen

Matrizen: Definition, Eigenschaften & spezielle Matrizen

Matrizenrechnung: Vorgehen & Rechenregeln

Determinante von Matrizen berechnen

Inverse Matrizen: Definition & Eigenschaften

Eigenvektoren und Eigenwerte berechnen

Lineare Abbildungen mit Matrizen

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme & Gauß Verfahren

Markov-Ketten

Prozessdiagramme und Zustandsverteilungen

Rechnen mit Übergangsmatrizen: Definition & Anwendung

Wartezeiten in Markow-Ketten: Definition & Anwendung

Signifikanztest

Stichprobenuntersuchung: Vertrauensintervalle & Signifikanz

Zweiseitigen Signifikanztest durchführen: Vorgehen

Einseitigen Signifikanztest durchführen: Vorgehen

Fehler 1. und 2. Art: Definition & Beispiel

Bayes’sche Statistik: Definition & Beispiel

Zufallsgröße

Erwartungswert, Mittelwert & Standardabweichung

Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zuvallsvariablen

Bernoulliexperiment und -kette

Binomialverteilung: Funktionen & Kennwerte

Normalverteilung: Funktionen & Darstellung

Satz von Moivre-Laplace: Definition & Anwendung

Exponentialverteilung einer Zufallsvariablen

Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeit: Definition und Eigenschaften

Mengenlehre: Darstellung, Eigenschaften & Venn-Diagramm

Einstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Mehrstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Baumdiagramm zeichnen & Wahrscheinlichkeit bestimmen

Mengen und Vierfeldertafel: Wahrscheinlichkeiten darstellen

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit

Satz von Bayes: Definition & Formel

Kombinatorik

Fakultät: Definition und Formel

Binomialkoeffizient: Formel und Berechnung

Permutationsformeln: Anwendung & Beispiele

Variationensformeln: Anwendung & Beispiele

Kombinationsformeln: Anwendung & Beispiele

Gemischte Formeln für Permutation, Variation & Kombination

Verschachtelte Kombinatorik-Probleme

Folgen

Arithmetische und geometrische Folgen

Eigenschaften von Folgen: Monotonie, Beschränkung & Grenzwert

Grenzwerte einer Funktion berechnen

Integral berechnen

Herleitung der Integralrechnung

Stammfunktion, bestimmtes und unbestimmtes Integral

Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Numerische Integration: Methoden

Extrem- und Wendepunkte

Polynomfunktion bestimmen

Achsenschnittpunkte einer Funktion bestimmen

Monotonie: Definition und Vorgehen

Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

Wendepunkte bestimmen und unterscheiden

Schreibweise und Bestimmung des Definitionsbereichs

Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bestimmen

Verschiedene Extremalwertprobleme lösen

Funktionenscharen: Definition & Beispiele

Ableiten

Differentialrechnung: Definition & Vorgehen

Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel

Ableitung Potenzfunktion und Ableitungsregeln

Ableitung trigonometrischer Funktionen

Ableitung Exponentialfunktion & Ableitungsregeln

Tangenten- und Normalengleichung bestimmen

Gleichungen und Funktionen

Exponentialgleichungen lösen

Exponentialfunktionen: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Logarithmen: Definition & Logarithmusgesetze

Logarithmusgleichungen lösen

Wachstums- und Zerfallsprozesse berechnen

Trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus & Tangens

Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

Zusammengesetzte Funktionen: Ableitungen & Verkettungen

​​Grenzwerte & Asymptoten bestimmen

Erklärvideo

Lehrperson: David Schaurecker

Zusammenfassung

Numerische Integration: Methoden 

Kann zu einer gegebenen Funktion keine Stammfunktion gefunden werden, kann auf dem konventionellen Weg kein Integral berechnet werden. Um jedoch eine Näherung zu berechnen, können numerische Methoden zur Abschätzung angewendet werden.


Approximationsmethoden

Sehnentrapezregel

Eine Möglichkeit ein Integral abzuschätzen ist durch die Sehnentrapezregel gegeben. Das Intervall [a;b][a;b][a;b],  über dem integriert werden soll, wird zunächst in nnn​ gleich große Stücke zerteilt. Die Fläche unter der Kurve über jedem dieser Teilstücke wird dann mit einem Trapez approximiert, in dem die jeweiligen diskreten Funktionswerte f(x0)=y0,f(x1)=y1,f(x2)=y2,etcf(x_0)=y_0,f(x_1)=y_1,f(x_2)=y_2,etcf(x0​)=y0​,f(x1​)=y1​,f(x2​)=y2​,etc​  mit einer geraden Linie verbunden werden. Die yiy_iyi​​ repräsentieren hierbei, gleichzeitig, auch jeweils die linken Seitenlängen der Trapeze.

Mathematik; Integrieren; 11.-12. Klasse Gymnasium; Numerische Integration: Methoden


Die oben abgebildete Approximation des Integrals anhand der Sehnentrapezregel kann wie folgt berechnet werden:


∫abf(x)≈Sn=(b−a)2n⋅(y0+2y1+2y2+⋯+2yn−1+yn)∫_a^bf(x)≈S_n=\frac{(b-a)}{2n}\cdot(y_0+2y_1+2y_2+⋯+2y_{n-1}+y_n)∫ab​f(x)≈Sn​=2n(b−a)​⋅(y0​+2y1​+2y2​+⋯+2yn−1​+yn​)​​



Tangententrapezregel

Bei der Tangententrapezregel, wird ebenfalls zuerst das Intervall, über dem integriert werden soll, in nnn​ gleich große Stücke zerteilt (nnn​ sei eine gerade natürliche Zahl). Die Fläche unter der Kurve über einem Teilstück wird wiederum durch ein Trapez approximiert. Jedoch wird die Seite, die das Trapez nach oben begrenzt, bei dieser Methode durch die Tangente an die Kurve in der Mitte des Teilstücks definiert.

Mathematik; Integrieren; 11.-12. Klasse Gymnasium; Numerische Integration: Methoden

Die oben abgebildete Approximation des Integrals anhand der Tangententrapezregel kann wie folgt berechnet werden:


​∫abf(x)≈Tn=2(b−a)n⋅(y1+y3+y5+⋯+yn−1)∫_a^bf(x) ≈T_n=\frac{2(b-a)}{n}\cdot(y_1+y_3+y_5+⋯+y_{n-1})∫ab​f(x)≈Tn​=n2(b−a)​⋅(y1​+y3​+y5​+⋯+yn−1​)​​



Fassregel von Keppler

Bei der Fassregel von Keppler werden lediglich drei Funktionswerte zur Approximation des Intergrals verwendet: f(a)f(a)f(a),f(a+b2)f(\frac{a+b}{2})f(2a+b​)​ und f(b)f(b)f(b)​ . Die Formel zur Approximation lautet wie folgt:


∫abf(x)≈b−a6⋅(f(a)+4⋅f(a+b2)+f(b))∫_a^bf(x)≈\frac{b-a}{6}\cdot(f(a)+4\cdot f(\frac{a+b}{2})+f(b))∫ab​f(x)≈6b−a​⋅(f(a)+4⋅f(2a+b​)+f(b))

Read more

Lerne mit Grundlagen

Lerne in kleinen Schritten mit Theorieeinheiten und wende das Gelernte mit Übungssets an!
Dauer:
Herleitung der Integralrechnung

Teil 1

Herleitung der Integralrechnung

Abkürzung

Erziele 80% um direkt zum letzten Teil zu springen.

Dies ist die Lektion, in der du dich gerade befindest, und das Ziel des Pfades.

Numerische Integration: Methoden

Teil 2

Numerische Integration: Methoden

Finaler Test

Test aller vorherigen Teile, um einen Belohnungsplaneten zu erhalten.

Erstelle ein Konto, um mit den Übungen zu beginnen.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Welche Approximationsmethoden für die numerische Integration gibt es?

Es gibt die Sehnentrapezregel, die Tangententrapezregel und die Fassregel von Keppler.

Wofür braucht man numerische Integration?

Kann zu einer gegebenen Funktion keine Stammfunktion gefunden werden, kann auf dem konventionellen Weg kein Integral berechnet werden. Um jedoch eine Näherung zu berechnen, können numerische Methoden zur Abschätzung angewendet werden.

Was ist numerische Integration?

Kann zu einer gegebenen Funktion keine Stammfunktion gefunden werden, kann auf dem konventionellen Weg kein Integral berechnet werden. Um jedoch eine Näherung zu berechnen, können numerische Methoden zur Abschätzung angewendet werden.

©2020 - 2025 evulpo AG

Beta