Numerische Integration: Methoden

Kann zu einer gegebenen Funktion keine Stammfunktion gefunden werden, kann auf dem konventionellen Weg kein Integral berechnet werden. Um jedoch eine Näherung zu berechnen, können numerische Methoden zur Abschätzung angewendet werden.

Approximationsmethoden

Sehnentrapezregel

Eine Möglichkeit ein Integral abzuschätzen ist durch die Sehnentrapezregel gegeben. Das Intervall $[a;b]$ , über dem integriert werden soll, wird zunächst in $n$ gleich große Stücke zerteilt. Die Fläche unter der Kurve über jedem dieser Teilstücke wird dann mit einem Trapez approximiert, in dem die jeweiligen diskreten Funktionswerte $f(x_0)=y_0,f(x_1)=y_1,f(x_2)=y_2,etc$ mit einer geraden Linie verbunden werden. Die $y_i$ repräsentieren hierbei, gleichzeitig, auch jeweils die linken Seitenlängen der Trapeze.

Mathematik; Integrieren; 11.-12. Klasse Gymnasium; Numerische Integration: Methoden

Die oben abgebildete Approximation des Integrals anhand der Sehnentrapezregel kann wie folgt berechnet werden:

$∫_a^bf(x)≈S_n=\frac{(b-a)}{2n}\cdot(y_0+2y_1+2y_2+⋯+2y_{n-1}+y_n)$

Tangententrapezregel

Bei der Tangententrapezregel, wird ebenfalls zuerst das Intervall, über dem integriert werden soll, in $n$ gleich große Stücke zerteilt ( $n$ sei eine gerade natürliche Zahl). Die Fläche unter der Kurve über einem Teilstück wird wiederum durch ein Trapez approximiert. Jedoch wird die Seite, die das Trapez nach oben begrenzt, bei dieser Methode durch die Tangente an die Kurve in der Mitte des Teilstücks definiert.

Mathematik; Integrieren; 11.-12. Klasse Gymnasium; Numerische Integration: Methoden

Die oben abgebildete Approximation des Integrals anhand der Tangententrapezregel kann wie folgt berechnet werden:

$∫_a^bf(x) ≈T_n=\frac{2(b-a)}{n}\cdot(y_1+y_3+y_5+⋯+y_{n-1})$

Fassregel von Keppler

Bei der Fassregel von Keppler werden lediglich drei Funktionswerte zur Approximation des Intergrals verwendet: $f(a)$ , $f(\frac{a+b}{2})$ und $f(b)$ . Die Formel zur Approximation lautet wie folgt:

$∫_a^bf(x)≈\frac{b-a}{6}\cdot(f(a)+4\cdot f(\frac{a+b}{2})+f(b))$