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Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

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Wahrscheinlichkeit: Definition und Eigenschaften

Mengenlehre: Darstellung, Eigenschaften & Venn-Diagramm

Einstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

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Baumdiagramm zeichnen & Wahrscheinlichkeit bestimmen

Mengen und Vierfeldertafel: Wahrscheinlichkeiten darstellen

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Kombinatorik

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Variationensformeln: Anwendung & Beispiele

Kombinationsformeln: Anwendung & Beispiele

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Arithmetische und geometrische Folgen

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Grenzwerte einer Funktion berechnen

Integral berechnen

Herleitung der Integralrechnung

Stammfunktion, bestimmtes und unbestimmtes Integral

Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Numerische Integration: Methoden

Extrem- und Wendepunkte

Polynomfunktion bestimmen

Achsenschnittpunkte einer Funktion bestimmen

Monotonie: Definition und Vorgehen

Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

Wendepunkte bestimmen und unterscheiden

Schreibweise und Bestimmung des Definitionsbereichs

Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bestimmen

Verschiedene Extremalwertprobleme lösen

Funktionenscharen: Definition & Beispiele

Ableiten

Differentialrechnung: Definition & Vorgehen

Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel

Ableitung Potenzfunktion und Ableitungsregeln

Ableitung trigonometrischer Funktionen

Ableitung Exponentialfunktion & Ableitungsregeln

Tangenten- und Normalengleichung bestimmen

Gleichungen und Funktionen

Exponentialgleichungen lösen

Exponentialfunktionen: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Logarithmen: Definition & Logarithmusgesetze

Logarithmusgleichungen lösen

Wachstums- und Zerfallsprozesse berechnen

Trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus & Tangens

Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

Zusammengesetzte Funktionen: Ableitungen & Verkettungen

​​Grenzwerte & Asymptoten bestimmen

Erklärvideo

Lehrperson: David Schaurecker

Zusammenfassung

Numerische Integration: Methoden 

Kann zu einer gegebenen Funktion keine Stammfunktion gefunden werden, kann auf dem konventionellen Weg kein Integral berechnet werden. Um jedoch eine Näherung zu berechnen, können numerische Methoden zur Abschätzung angewendet werden.


Approximationsmethoden

Sehnentrapezregel

Eine Möglichkeit ein Integral abzuschätzen ist durch die Sehnentrapezregel gegeben. Das Intervall [a;b][a;b][a;b],  über dem integriert werden soll, wird zunächst in nnn​ gleich große Stücke zerteilt. Die Fläche unter der Kurve über jedem dieser Teilstücke wird dann mit einem Trapez approximiert, in dem die jeweiligen diskreten Funktionswerte f(x0)=y0,f(x1)=y1,f(x2)=y2,etcf(x_0)=y_0,f(x_1)=y_1,f(x_2)=y_2,etcf(x0​)=y0​,f(x1​)=y1​,f(x2​)=y2​,etc​  mit einer geraden Linie verbunden werden. Die yiy_iyi​​ repräsentieren hierbei, gleichzeitig, auch jeweils die linken Seitenlängen der Trapeze.

Mathematik; Integrieren; 11.-12. Klasse Gymnasium; Numerische Integration: Methoden


Die oben abgebildete Approximation des Integrals anhand der Sehnentrapezregel kann wie folgt berechnet werden:


∫abf(x)≈Sn=(b−a)2n⋅(y0+2y1+2y2+⋯+2yn−1+yn)∫_a^bf(x)≈S_n=\frac{(b-a)}{2n}\cdot(y_0+2y_1+2y_2+⋯+2y_{n-1}+y_n)∫ab​f(x)≈Sn​=2n(b−a)​⋅(y0​+2y1​+2y2​+⋯+2yn−1​+yn​)​​



Tangententrapezregel

Bei der Tangententrapezregel, wird ebenfalls zuerst das Intervall, über dem integriert werden soll, in nnn​ gleich große Stücke zerteilt (nnn​ sei eine gerade natürliche Zahl). Die Fläche unter der Kurve über einem Teilstück wird wiederum durch ein Trapez approximiert. Jedoch wird die Seite, die das Trapez nach oben begrenzt, bei dieser Methode durch die Tangente an die Kurve in der Mitte des Teilstücks definiert.

Mathematik; Integrieren; 11.-12. Klasse Gymnasium; Numerische Integration: Methoden

Die oben abgebildete Approximation des Integrals anhand der Tangententrapezregel kann wie folgt berechnet werden:


​∫abf(x)≈Tn=2(b−a)n⋅(y1+y3+y5+⋯+yn−1)∫_a^bf(x) ≈T_n=\frac{2(b-a)}{n}\cdot(y_1+y_3+y_5+⋯+y_{n-1})∫ab​f(x)≈Tn​=n2(b−a)​⋅(y1​+y3​+y5​+⋯+yn−1​)​​



Fassregel von Keppler

Bei der Fassregel von Keppler werden lediglich drei Funktionswerte zur Approximation des Intergrals verwendet: f(a)f(a)f(a),f(a+b2)f(\frac{a+b}{2})f(2a+b​)​ und f(b)f(b)f(b)​ . Die Formel zur Approximation lautet wie folgt:


∫abf(x)≈b−a6⋅(f(a)+4⋅f(a+b2)+f(b))∫_a^bf(x)≈\frac{b-a}{6}\cdot(f(a)+4\cdot f(\frac{a+b}{2})+f(b))∫ab​f(x)≈6b−a​⋅(f(a)+4⋅f(2a+b​)+f(b))

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Lerne mit Grundlagen

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Numerische Integration: Methoden

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Numerische Integration: Methoden

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Welche Approximationsmethoden für die numerische Integration gibt es?

Es gibt die Sehnentrapezregel, die Tangententrapezregel und die Fassregel von Keppler.

Wofür braucht man numerische Integration?

Kann zu einer gegebenen Funktion keine Stammfunktion gefunden werden, kann auf dem konventionellen Weg kein Integral berechnet werden. Um jedoch eine Näherung zu berechnen, können numerische Methoden zur Abschätzung angewendet werden.

Was ist numerische Integration?

Kann zu einer gegebenen Funktion keine Stammfunktion gefunden werden, kann auf dem konventionellen Weg kein Integral berechnet werden. Um jedoch eine Näherung zu berechnen, können numerische Methoden zur Abschätzung angewendet werden.

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