Eine Gleichung in der Normalenform beschreibt eine Ebene mittels eines Normalenvektors $\overrightarrow n$ und eines Stützvektors $\overrightarrow p$ . Der Normalenvektor ist ein Vektor der senkrecht zur Ebene steht, während der Stützpunkt der Ortsvektor eines Punktes in der Ebene ist. Die Normalenform ist dann wie folgt definiert:

$(\overrightarrow x+\overrightarrow p)\cdot\overrightarrow n=0$

Relation zur Koordinatengleichung

Es ist möglich eine Ebenengleichung in Normalenform in eine Koordinatengleichung umzurechnen und umgekehrt.

Erinnerung – Die Koordinatengleichung einer Ebene ist von der Form $\ ax+by+cz=d$

Von Koordinatengleichung zu Normalenform

VORGEHEN

Schreibe die Koeffizienten auf der linken Seite des Gleichheitszeichens in der Koordinatengleichung in einen Vektor. Dieser Vektor ist der Normalenvektor:

$\overrightarrow n = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$

Finde einen Punkt $P(x_p,y_p,z_p)$ der die Koordinatengleichung erfüllt. Schreibe die Koordinaten in einen Vektor. Dieser Vektor ist ein Stützvektor der Normalenform:

$\overrightarrow p = \begin{pmatrix}x_p\\y_p\\z_p\end{pmatrix}$

Stelle die Gleichung auf.

Von der Normalenform zur Koordinatengleichung

VORGEHEN

Schreibe die Einträge des Normalenvektors als Koeffizienten in die Koordinatengleichung:

$\overrightarrow n=\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix} \Rightarrow n_1x+n_2y+n_3z=d$

Setze die Einträge des Stützvektors in die Gleichung ein um zu berechnen:

$\overrightarrow p=\begin{pmatrix}x_p\\y_p\\z_p\end{pmatrix} \Rightarrow d=n_1x_p+n_2y_p+n_3z_p$

Stelle die Gleichung auf.

Beispiel – Stelle die zugehörige Koordinatengleichung zur folgenden Normalenform auf.

$\left(\left(\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}-2\\0\\1\\\end{matrix}\right)\right)\cdot\left(\begin{matrix}3\\4\\5\\\end{matrix}\right)=0$ 

Schritt 1.	$3x+4y+5z=d$
Schritt 2.	$d=3\cdot\left(-2\right)+4\cdot0+5\cdot1=(-1)$
Schritt 3.	$3x+4y+5z=(-1)$

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Was ist der Stützvektor?

Der Stützvektor ist der Ortsvektor eines Punktes in einer Ebene.

Was ist ein Normalvektor?

Ein Normalvektor einer Ebene ist ein Vektor der senkrecht auf der Ebene steht.

Was ist die Normalvektorform?

Die Normalvektorform (oder auch Normalenform) einer Ebene beschreibt die Ebene in Vektorschreibweise mittels eines Normalenvektors und eines Stützvektors.

Was bringt die Normalenform?

Mittels der Normalenform lassen sich leicht Schnittwinkel berechnen und sie dient als Grundlage für die Berechnung der Hess'schen Normalform.

Was ist eine Normalenform?

Die Normalenform einer Ebene beschreibt die Ebene in Vektorschreibweise mittels eines Normalenvektors und eines Stützvektors.

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