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Ableitung Potenzfunktion und Ableitungsregeln

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Ableitung Exponentialfunktion & Ableitungsregeln

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Exponentialgleichungen lösen

Exponentialfunktionen: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Logarithmen: Definition & Logarithmusgesetze

Logarithmusgleichungen lösen

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Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

Zusammengesetzte Funktionen: Ableitungen & Verkettungen

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Erklärvideo

Lehrperson: Nele

Zusammenfassung

Exponentialfunktionen: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Definition

Bei der Exponentialfunktion steht die Variable $x$ im Exponenten.

Die Exponentialfunktion wird häufig verwendet, um einen Wachstum- oder Zerfallsprozess zu beschreiben.

$f(x)=a^x$

$a$ : Basis, wird auch Wachstumsfaktor genannt. $a$ ist eine konstante Zahl größer als Null: $a\in\mathbb{R}^+$

Basisfunktionen

Exponentialfunktionen der Form kann man als Basisfunktionen der Exponentialfunktion bezeichnen.

$f(x)=2^x$

$f(x)=3^x$

$f(x)=\left(\frac12\right)^x$

$f(x)=\left(\frac13\right)^x$

$f(x)=...$

Definitionsbereich $\mathbb{D}$

Für alle $a$ :

Es dürfen alle Zahlen für 𝑥 eingesetzt werden:

$\mathbb{D}=\mathbb{R}$

Wertebereich $\mathbb{W}$

Für alle $a$ :

Die Funktionswerte $y$ sind immer positiv und ungleich null ( $y>0$ ):

$\mathbb{W}=\mathbb{R}^+$

Eigenschaften

Jede Basisfunktion:

verläuft durch die Punkte $(0|1)$ , $(1|a)$ und $\left(-1|\frac1a\right)$ .
mit $a>1$ ist streng monoton wachsend – genannt „Wachstumsfunktion“.
mit $0<a<1$ ist streng monoton fallend – genannt „Zerfallsfunktion“.

Darstellung

$a>1$ : Wachstumsfunktion

$0<a<1$ : Zerfallsfunktion

Mathematik; Potenzfunktionen und Exponentialfunktionen; 9. Klasse Gymnasium; Exponentialfunktionen: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Wertetabelle für $f(x)=2^x$

$x$

$-3$

$-2$

$-1$

$0$

$1$

$2$

$3$

$y$

$\frac18$

$\frac14$

$\frac12$

$1$

$2$

$4$

$8$

Wertetabelle für $f(x)=\left(\frac12\right)^2$

x

$-3$

$-2$

$-1$

$0$

$1$

$2$

$3$

$y$

$8$

$4$

$2$

$1$

$\frac12$

$\frac14$

$\frac18$

Allgemeine Exponentialfunktion

Die Formel der allgemeinen Exponentialfunktion ist eine veränderte Form der Basisfunktionen.

Formel

$f(x)=ba^{x-c}+d$

$a$	Basis / Wachstumsfaktor der Exponentialfunktion
$b$	Streckungs-/Stauchungsfaktor
$c$	Verschiebung in $x$ -Richtung
$d$	Verschiebung in $y$ -Richtung

Definitionsbereich $\mathbb{D}$

Für alle $a$ :

Es dürfen weiterhin alle Zahlen für $x$ eingesetzt werden:

$\mathbb{D}=\mathbb{R}$

Wertebereich $\mathbb{W}$

Für alle $a$ :

Der Wertebereich verschiebt sich mit $d$ : $(y>d)$

$\mathbb{W}=\mathbb{R}_{>d}$

Der Wertebereich wird gespiegelt mit negativen $d$ : $(y<d)$

$\mathbb{W}=\mathbb{R}_{<d}$

Streckungs-/Stauchungsfaktor

$\|b\|>1$ : Streckung in y-Richtung	$0<\|b\|<1$ : Stauchung in y-Richtung	$b$ negativ - Spiegelung an $x$ -Achse

Verschiebung in x- und y-Achsenrichtung

c<0

: in negative

x

-Richtung

c>0

: in positive

x

-Richtung

$d<0$ : in negative $y$ -Richtung	$d>0$ : positive $y$ -Richtung

Lerne mit Grundlagen

Dauer:

Teil 1

Logarithmen: Definition & Logarithmusgesetze

Teil 2

Exponentialgleichungen lösen

Abkürzung

Optional

Teil 3