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Mengen und Vierfeldertafel: Wahrscheinlichkeiten darstellen

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Lehrperson: Martin

Zusammenfassung

Mengen und Vierfeldertafel: Wahrscheinlichkeiten darstellen

Mengendiagramme

Einzelne Ereignisse eines Zufallsexperiments können miteinander verknüpft werden und in Form von Mengendiagrammen dargestellt werden. Die Frage ist dabei häufig, ob die Ereignisse zusammen eintreten oder ob eines der beiden Ereignisse einzeln eintritt.


Notation

Bedeutung

Schnittmengen

ABA∩B​​

Beschreibt Ereignis,dass sowohl
AA​, als auch BB​ eintritt.


ABˉA∩\bar{B}​​

Beschreibt Ereignis,dass
AA​ eintritt, aber BB​ nicht eintritt.


AˉB\bar{A}∩B​​

Beschreibt Ereignis,dass
BB​ eintritt, aber AA​ nicht eintritt.


AˉBˉ\bar{A} ∩\bar{B}​​

Beschreibt Ereignis,dass weder
AA​ noch BB​ eintritt.

Vereinigungsmenge

ABA ∪B​​

Beschreibt Ereignis,dass entweder
AA​ oder BB​ oder beide eintreten.


Hinweis
Die Häufigkeit der jeweiligen Menge wird mit H(...)H(...) ​ dargestellt:
„Häufigkeit des Ereignisses AB=H(AB)A∩B“ = H(A∩B)​.


Beispiel
In der Eisdiele Polarstern wurden heute die Bestellungen von 100100 Kunden notiert.
Dabei wurde festgehalten, dass 5050​ Kunden heute Vanilleeis bestellt haben (Ereignis V), 6565​ Kunden haben ihr Eis im Becher bestellt (Ereignis B).
Des Weiteren wurde notiert, dass 3030​ der 5050​ Kunden, die Vanilleeis bestellt haben, dieses im Becher bestellten.
Ereignis V und Ereignis B traten also 3030​ mal gemeinsam auf: H(VB)=30H(V∩B)=30​.
Daraus folgt auch, dass 2020​ Kunden Vanilleeis bestellten, aber nicht im Becher:
H(VBˉ)=H(V)H(VB)=5030=20H(V∩\bar{B}) = H(V)- H(V∩B) = 50-30=20​.


Vierfeldertafel

Eine Vierfeldertafel bietet einen guten Überblick über die absoluten Häufigkeiten verschiedener Ereignisse, sowie deren Verknüpfungen. Neben den absoluten Häufigkeiten können auch die relativen Häufigkeiten (Wahrscheinlichkeiten) in einer Vierfeldertafel dargestellt werden.


Vierfeldertafel - Absolute Häufigkeiten

Wird ein Zufallsexperiment mit Ereignissen AA​ und BBnn​ mal durchgeführt, so können die absoluten Häufigkeiten in der folgenden Vierfeldertafel übersichtlich dargestellt werden. Die absoluten Häufigkeiten der Ereignisse A,B,Aˉ,BˉA, B, \bar{A}, \bar{B}​ sind dabei die Summenwerte der jeweiligen Spalten- und Zeileneinträge.



 AA

 Aˉ\bar{A}

 \sum

 BB

H(AB)H(A∩B)​​

H(AˉB)H(\bar{A}∩B)​​

 H(B)H(B)

 Bˉ\bar{B}

H(ABˉ)H(A∩\bar{B})​​

 H(AˉBˉ)H(\bar{A}∩\bar{B})

 H(Bˉ)H(\bar{B})

 \sum

 H(A)H(A)

 H(Aˉ)H(\bar{A})

 nn



Beispiel

Für unsere Eisdiele Polarstern ergibt sich dadurch folgende Darstellung der absoluten Häufigkeiten:



Kein Vanille

Vanille

Total

Becher

3535

3030

6565

Kein Becher

1515

2020

3535

Total

5050

5050

100100


Vierfeldertafel - Wahrscheinlichkeiten

Man kann statt absoluten Häufigkeiten auch relative Häufigkeiten in die Vierfeldertafel eintragen und diese dann als Wahrscheinlichkeiten interpretieren.

Dabei müssen die absoluten Häufigkeiten einfach jeweils durch die Gesamtzahl der Durchführungen des Zufallsexperiments  geteilt werden.



AA​​
Aˉ\bar{A}​​
\sum​​
BB​​
P(AB)P(A∩B)​​
P(AˉB)P(\bar{A}∩{B})​​
P(B)P(B)​​
Bˉ\bar{B}​​
P(ABˉ)P(A∩\bar{B})​​
P(AˉBˉ)P(\bar{A}∩\bar{B})​​
P(Bˉ)P(\bar{B})​​
\sum​​
P(A)P(A)​​
P(Aˉ)P(\bar{A})​​
100%100\%​​


, wobei P()=(H())nP(…)= (H(…))⁄n​.


Beispiel

Mit Hilfe der absoluten Häufigkeiten können wir nun die relativen Häufigkeiten für unsere Eisdiele berechnen.


Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Bechers:


P(B)=65100=0,65P(B)=\frac{65}{100}=0{,}65​​


Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Vanilleeis:


P(V)=50100=0,5P(V)=\frac{50}{100}=0{,}5​​


Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Vanilleeis im Becher:


P(VB)=35100=0,35P(V∩B)=\frac{35}{100}=0{,}35​​


usw.


Die Wahrscheinlichkeiten können wieder in einer Vierfeldertafel dargestellt werden:



Kein Vanille

Vanille

Total

Becher

35%35\%

30%30\%

65%65\%

Kein Becher

15%15\%

20%20\%

35%35\%

Total

50%50\%

50%50\%

100%100\%


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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie rechnet man mit Hilfe einer Vierfeldertafel der absoluten Häufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten aus?

Wie liest man eine Vierfeldertafel?

Wozu braucht man eine Vierfeldertafel?

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