Mengen und Vierfeldertafel: Wahrscheinlichkeiten darstellen
Mengendiagramme
Einzelne Ereignisse eines Zufallsexperiments können miteinander verknüpft werden und in Form von Mengendiagrammen dargestellt werden. Die Frage ist dabei häufig, ob die Ereignisse zusammen eintreten oder ob eines der beiden Ereignisse einzeln eintritt.
Notation | Bedeutung |
Schnittmengen |
A∩B | Beschreibt Ereignis,dass sowohl A, als auch B eintritt.
|
| A∩Bˉ | Beschreibt Ereignis,dass A eintritt, aber B nicht eintritt. |
| Aˉ∩B | Beschreibt Ereignis,dass B eintritt, aber A nicht eintritt. |
|
Aˉ∩Bˉ
| Beschreibt Ereignis,dass weder A noch B eintritt. |
Vereinigungsmenge |
A∪B | Beschreibt Ereignis,dass entweder A oder B oder beide eintreten. |
Hinweis
Die Häufigkeit der jeweiligen Menge wird mit H(...) dargestellt:
„Häufigkeit des Ereignisses A∩B“=H(A∩B).
Beispiel
In der Eisdiele Polarstern wurden heute die Bestellungen von 100 Kunden notiert.
Dabei wurde festgehalten, dass 50 Kunden heute Vanilleeis bestellt haben (Ereignis V), 65 Kunden haben ihr Eis im Becher bestellt (Ereignis B).
Des Weiteren wurde notiert, dass 30 der 50 Kunden, die Vanilleeis bestellt haben, dieses im Becher bestellten.
Ereignis V und Ereignis B traten also 30 mal gemeinsam auf: H(V∩B)=30.
Daraus folgt auch, dass 20 Kunden Vanilleeis bestellten, aber nicht im Becher:
H(V∩Bˉ)=H(V)−H(V∩B)=50−30=20.
Vierfeldertafel
Eine Vierfeldertafel bietet einen guten Überblick über die absoluten Häufigkeiten verschiedener Ereignisse, sowie deren Verknüpfungen. Neben den absoluten Häufigkeiten können auch die relativen Häufigkeiten (Wahrscheinlichkeiten) in einer Vierfeldertafel dargestellt werden.
Vierfeldertafel - Absolute Häufigkeiten
Wird ein Zufallsexperiment mit Ereignissen A und B n mal durchgeführt, so können die absoluten Häufigkeiten in der folgenden Vierfeldertafel übersichtlich dargestellt werden. Die absoluten Häufigkeiten der Ereignisse A,B,Aˉ,Bˉ sind dabei die Summenwerte der jeweiligen Spalten- und Zeileneinträge.
|
A |
Aˉ |
∑ |
B | H(A∩B) | H(Aˉ∩B) |
H(B) |
Bˉ | H(A∩Bˉ) | H(Aˉ∩Bˉ) |
H(Bˉ) |
∑ |
H(A) |
H(Aˉ) |
n |
Beispiel
Für unsere Eisdiele Polarstern ergibt sich dadurch folgende Darstellung der absoluten Häufigkeiten:
| Kein Vanille | Vanille | Total |
Becher | 35 | 30 | 65 |
Kein Becher | 15 | 20 | 35 |
Total | 50 | 50 | 100 |
Vierfeldertafel - Wahrscheinlichkeiten
Man kann statt absoluten Häufigkeiten auch relative Häufigkeiten in die Vierfeldertafel eintragen und diese dann als Wahrscheinlichkeiten interpretieren.
Dabei müssen die absoluten Häufigkeiten einfach jeweils durch die Gesamtzahl der Durchführungen des Zufallsexperiments
geteilt werden.
| | | |
| | P(Aˉ∩B) | |
| P(A∩Bˉ) | P(Aˉ∩Bˉ) | |
| | | |
, wobei P(…)=(H(…))⁄n.
Beispiel
Mit Hilfe der absoluten Häufigkeiten können wir nun die relativen Häufigkeiten für unsere Eisdiele berechnen.
Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Bechers:
P(B)=10065=0,65
Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Vanilleeis:
P(V)=10050=0,5
Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Vanilleeis im Becher:
P(V∩B)=10035=0,35
usw.
Die Wahrscheinlichkeiten können wieder in einer Vierfeldertafel dargestellt werden:
| Kein Vanille | Vanille | Total |
Becher | 35% | 30% | 65% |
Kein Becher | 15% | 20% | 35% |
Total | 50% | 50% | 100% |