N-te Wurzel & Wurzel von negativen Zahlen

Quadratwurzel

Definition

Die Quadratwurzel sucht nach der Zahl, welche mit sich selbst multipliziert (quadriert) die Zahl unter der Wurzel ergibt. Die (Quadrat-)Wurzel ist die Umkehrung des Quadrats. Du schreibst $$\sqrt[2]{...}$$ oder $$\sqrt[]{...}$$​

Beispiele

$$\sqrt1=1\qquad \sqrt4=2\qquad \sqrt9=3\qquad \sqrt{16}=4\\\sqrt{25}=5\qquad \sqrt{36}=6\qquad \sqrt{49}=7\qquad \sqrt{64}=8\\\sqrt{81}=9\qquad \sqrt{100}=10\qquad \sqrt{121}=11\qquad \sqrt{144}=12$$​​

Hinweise: Nicht für jede Zahl ist das Ergebnis der Wurzel eine ganze Zahl. Es können auch unendliche Dezimalzahlen das Ergebnis sein:

$$\sqrt3=1{,}732\,...\\\sqrt5=2{,}236\,...$$​​

Terme unter der Wurzel müssen immer positiv sein. Es existieren keine Zahlen, die ein negatives Quadrat haben:

$$\sqrt{-49}= \,?\\-49^2=x^2$$​​

nicht möglich, keine Lösung

Wurzel von Variablen

Die Quadratwurzel halbiert den Exponenten einer Variablen.

Beispiele

$$\sqrt{x^2}=x^{\frac22}=x^1=x\qquad \sqrt{a}=a^{\frac12}\qquad \sqrt{y^6}=y^{\frac62}=y^3$$​​

Dritte Wurzel

Definition

Die dritte Wurzel "Kubikwurzel" sucht nach der Zahl, welche "hoch drei" die Zahl unter der Wurzel ergibt. Die Wurzel ist die Umkehrung der dritten Potenz. Du schreibst $$\sqrt[3]{...}$$​.

Beispiele

$$\sqrt[3]{1}=1\qquad\sqrt[3]{8}=2\qquad\sqrt[3]{27}=3\qquad\sqrt[3]{64}=4\\\sqrt[3]{125}=5\qquad\sqrt[3]{216}=6\qquad\sqrt[3]{343}=7\qquad\sqrt[3]{512}=8\qquad$$​​

Dritte Wurzel von Variablen

Die dritte Wurzel drittelt den Exponenten einer Variabel.

Beispiele

$$\sqrt[3]{x^3}=x^{\frac33}=x^1=x\qquad \sqrt[3]{a}=a^{\frac13}\qquad \sqrt[3]{y^6}=y^{\frac63}=y^2$$​​

Allgemeine Wurzel: n-te Wurzel

Definition

Die n-te Wurzel sucht nach der Zahl, welche hoch n die Zahl unter der Wurzel ergibt. Die Wurzel ist die Umkehrung der n-ten Potenz. Du schreibst $$\sqrt[n]{...}$$.

​

n-te Wurzel von Variablen

Die n-te Wurzel teilt den Exponenten einer Variabel durch n.

$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac 1 n}$$​​

Rechnen mit Wurzeln

Addieren und Subtrahieren

Zuerst die Wurzel(n) ausrechnen und dann zusammenrechnen.

$$\sqrt{x+y}≠\sqrt{x}+\sqrt{y}\\\sqrt{x-y}≠\sqrt{x}-\sqrt{y}$$​​

Multiplizieren und Dividieren

Wurzeln separat oder unter einer Wurzel verrechnen.

$$\sqrt{x\cdot y}=\sqrt{x}\cdot \sqrt{y}\\\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$$​​

Wurzel von Wurzel

Wurzelexponenten multiplizieren.

$$\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}}=\sqrt[m\cdot n]{x}=x^{\frac{1}{m\cdot n}}$$​​

Wurzeln potenzieren

Reihenfolge von Wurzel und Potenz ist vertauschbar.

$$(\sqrt[n]{x})^m=\sqrt[n]{x^m}$$​​

Wurzel von Dezimalzahlen

Vorgehen

1. ​Wandle die Zahl in einen Bruch um.
   
2. Ziehe die Wurzel von Zähler und Nenner separat.

Beispiel

​$$\sqrt{2{,}25}=\sqrt{\frac{225}{100}}=\frac{\sqrt{225}}{\sqrt{100}}=\frac{15}{10}=\underline{\frac32}$$​​

Wurzeln von negativen Zahlen

Je nach Definition (und Lehrer) darfst Du auch aus negativen Zahlen Wurzeln ziehen. Dazu muss der Wurzelexponent ungerade sein.

Hinweis: Folgende Definition kann je nach Lehrmittel abweichen.

Definition

Eine ungerade Potenz einer negativen Zahl ergibt eine negative Zahl. Es gilt:

$$\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}, \qquad a≥0, n\,ungerade$$​​

Beispiele

$$\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}=-3\qquad \sqrt[5]{-32}=-\sqrt[5]{32}=-2\qquad \sqrt[7]{-1}=-\sqrt[7]{1}=-1$$​

​​​​