Home

Mathematik

Rechnen mit Potenzen

N-te Wurzel & Wurzel von negativen Zahlen

Erklärvideo

Loading...
Lehrperson: Luca

Zusammenfassung

N-te Wurzel & Wurzel von negativen Zahlen

Quadratwurzel

Definition

Die Quadratwurzel sucht nach der Zahl, welche mit sich selbst multipliziert (quadriert) die Zahl unter der Wurzel ergibt. Die (Quadrat-)Wurzel ist die Umkehrung des Quadrats. Du schreibst ...2\sqrt[2]{...} oder ...\sqrt[]{...}


Beispiele

1=14=29=316=425=536=649=764=881=9100=10121=11144=12\sqrt1=1\qquad \sqrt4=2\qquad \sqrt9=3\qquad \sqrt{16}=4\\\sqrt{25}=5\qquad \sqrt{36}=6\qquad \sqrt{49}=7\qquad \sqrt{64}=8\\\sqrt{81}=9\qquad \sqrt{100}=10\qquad \sqrt{121}=11\qquad \sqrt{144}=12​​



HinweiseNicht für jede Zahl ist das Ergebnis der Wurzel eine ganze Zahl. Es können auch unendliche Dezimalzahlen das Ergebnis sein:

3=1,732 ...5=2,236 ...\sqrt3=1{,}732\,...\\\sqrt5=2{,}236\,...​​

Terme unter der Wurzel müssen immer positiv sein. Es existieren keine Zahlen, die ein negatives Quadrat haben:

49= ?492=x2\sqrt{-49}= \,?\\-49^2=x^2​​

nicht möglich, keine Lösung


Wurzel von Variablen

Die Quadratwurzel halbiert den Exponenten einer Variablen.


Beispiele

x2=x22=x1=xa=a12y6=y62=y3\sqrt{x^2}=x^{\frac22}=x^1=x\qquad \sqrt{a}=a^{\frac12}\qquad \sqrt{y^6}=y^{\frac62}=y^3​​



Dritte Wurzel

Definition

Die dritte Wurzel "Kubikwurzel" sucht nach der Zahl, welche "hoch drei" die Zahl unter der Wurzel ergibt. Die Wurzel ist die Umkehrung der dritten Potenz. Du schreibst ...3\sqrt[3]{...}​.


Beispiele

13=183=2273=3643=41253=52163=63433=75123=8\sqrt[3]{1}=1\qquad\sqrt[3]{8}=2\qquad\sqrt[3]{27}=3\qquad\sqrt[3]{64}=4\\\sqrt[3]{125}=5\qquad\sqrt[3]{216}=6\qquad\sqrt[3]{343}=7\qquad\sqrt[3]{512}=8\qquad​​


Dritte Wurzel von Variablen

Die dritte Wurzel drittelt den Exponenten einer Variabel.


Beispiele

x33=x33=x1=xa3=a13y63=y63=y2\sqrt[3]{x^3}=x^{\frac33}=x^1=x\qquad \sqrt[3]{a}=a^{\frac13}\qquad \sqrt[3]{y^6}=y^{\frac63}=y^2​​



Allgemeine Wurzel: n-te Wurzel

Definition

Die n-te Wurzel sucht nach der Zahl, welche hoch n die Zahl unter der Wurzel ergibt. Die Wurzel ist die Umkehrung der n-ten Potenz. Du schreibst ...n\sqrt[n]{...}.


Mathematik; Reelle Zahlen; 8. Klasse Gymnasium; N-te Wurzel & Wurzel von negativen Zahlen


n-te Wurzel von Variablen

Die n-te Wurzel teilt den Exponenten einer Variabel durch n.

an=a1n\sqrt[n]{a}=a^{\frac 1 n}​​



Rechnen mit Wurzeln

Addieren und Subtrahieren

Zuerst die Wurzel(n) ausrechnen und dann zusammenrechnen.

x+yx+yxyxy\sqrt{x+y}≠\sqrt{x}+\sqrt{y}\\\sqrt{x-y}≠\sqrt{x}-\sqrt{y}​​


Multiplizieren und Dividieren

Wurzeln separat oder unter einer Wurzel verrechnen.

xy=xyxy=xy\sqrt{x\cdot y}=\sqrt{x}\cdot \sqrt{y}\\\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}​​


Wurzel von Wurzel

Wurzelexponenten multiplizieren.

xnm=xmn=x1mn\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}}=\sqrt[m\cdot n]{x}=x^{\frac{1}{m\cdot n}}​​


Wurzeln potenzieren

Reihenfolge von Wurzel und Potenz ist vertauschbar.

(xn)m=xmn(\sqrt[n]{x})^m=\sqrt[n]{x^m}​​


Wurzel von Dezimalzahlen

Vorgehen

  1. ​Wandle die Zahl in einen Bruch um.
  2. Ziehe die Wurzel von Zähler und Nenner separat.



Beispiel

2,25=225100=225100=1510=32\sqrt{2{,}25}=\sqrt{\frac{225}{100}}=\frac{\sqrt{225}}{\sqrt{100}}=\frac{15}{10}=\underline{\frac32}​​



Wurzeln von negativen Zahlen

Je nach Definition (und Lehrer) darfst Du auch aus negativen Zahlen Wurzeln ziehen. Dazu muss der Wurzelexponent ungerade sein.


Hinweis: Folgende Definition kann je nach Lehrmittel abweichen.


Definition

Eine ungerade Potenz einer negativen Zahl ergibt eine negative Zahl. Es gilt:

an=an,a0,n ungerade\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}, \qquad a≥0, n\,ungerade​​



Beispiele

273=273=3325=325=217=17=1\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}=-3\qquad \sqrt[5]{-32}=-\sqrt[5]{32}=-2\qquad \sqrt[7]{-1}=-\sqrt[7]{1}=-1

​​​​

Erstelle ein Konto, um die Zusammenfassung zu lesen.

Übungen

Erstelle ein Konto, um mit den Übungen zu beginnen.

Frequently asked questions about credits

Was ist die dritte Wurzel einer Zahl?

Was muss für Terme unter der Wurzel immer gelten?

Was ist die Quadratwurzel einer Zahl?

Beliebte Suchbegriffe