Gleichungssysteme mit zwei Variablen Definition Ein Gleichungssystem (GLS) ist eine Zusammenstellung von mehreren Gleichungen mit einer oder mehreren unterschiedlichen Variablen.
Ziel ist es, die Werte der Variablen zu berechnen, welche die Gleichung erfüllen.
Beispiel ∣ y − 2 x = 1 1 + y = x ∣ \left| \begin{array}{c} y-2x=1\\1+y=x \end{array}\right| ∣ ∣ y − 2 x = 1 1 + y = x ∣ ∣
Grafische Lösungsmethode Lineare Funktionen zeichnen und schneiden Dieser Lösungsweg ist nur bei mehreren Gleichungen mit zwei Unbekannten möglich.
Vorgehen 1.
Beide Gleichungen nach y auflösen.
2.
Beide Gleichungen jeweils als lineare Funktionen in ein Koordinatensystem einzeichnen:
m m m m : Steigung
b b b : y-Achsenschnittpunkt
3.
Schnittpunkt der Linien ablesen.
Die Werte (x x x
und y y y
) des Schnittpunkts sind die Lösung des Gleichungssystems.
Beispiel
∣ y − 2 x = 1 1 + y = x ∣ \left| \begin{array}{c} y-2x=1 \\1+y=x \end{array} \right| ∣ ∣ y − 2 x = 1 1 + y = x ∣ ∣
Auflösen nach y:
∣ y = 2 x + 1 y = x − 1 ∣ \left| \begin{array}{c} y=2x+1 \\ y=x-1 \end{array} \right| ∣ ∣ y = 2 x + 1 y = x − 1 ∣ ∣
Lösung ablesen:
,x = − 2 ‾ , y = − 3 ‾ \underline{x=-2}, \ \underline{y=-3} x = − 2 , y = − 3
Schriftliche Lösungsmethode Je nach Gleichung bietet sich eine der Methoden eher an. Oftmals ist vorgeschrieben, mit welcher Methode man ein Gleichungssystem lösen muss.
Gleichsetzungsverfahren Vorgehen 1.
Löse beide Gleichungen nach der gleichen Variable auf.
2.
Setze die erhaltenen Terme gleich.
3.
Löse die Gleichung.
4.
Setze die Lösung in eine der vorherigen Gleichungen ein, um die Lösung für andere Variablen zu berechnen.
Tipp: Es ist egal in welche Gleichungen man einsetzt.
Beispiel ∣ y − 2 x = 1 1 + y = x ∣ \left| \begin{array}{c} y-2x=1 \\1+y=x \end{array} \right| ∣ ∣ y − 2 x = 1 1 + y = x ∣ ∣
Auflösen nach y y y
:
∣ y = 1 + 2 x y = x − 1 ∣ \left| \begin{array}{c} y=1+2x \\y=x-1 \end{array} \right| ∣ ∣ y = 1 + 2 x y = x − 1 ∣ ∣
Gleichsetzen:
1 + 2 x = x − 1 x ‾ = − 2 ‾ \begin{aligned} 1+2x &= x-1 \\\underline{x}&\underline{=-2} \end{aligned} 1 + 2 x x = x − 1 = − 2
Zurückeinsetzen:
y = 1 + 2 ⋅ ( − 2 ) y ‾ = − 3 ‾ \begin{aligned} y&=1+2 \cdot (-2) \\\underline{y} & \underline{=-3}\end{aligned} y y = 1 + 2 ⋅ ( − 2 ) = − 3
Lösung: x = − 2 ‾ , y = − 3 ‾ \underline{x=-2}, \underline{y=-3} x = − 2 , y = − 3
Einsetzungsverfahren Vorgehen 1.
Löse eine der Gleichungen nach einer Variable auf.
2.
Ersetze in der anderen Gleichung die Variable durch den erhaltenen Term.
3.
Löse die erhaltene Gleichung.
4.
Setze die Lösung in die Gleichung von Schritt 1 ein, um die Lösung für die andere Variable zu berechnen.
Beispiel
∣ 0 , 5 x = 2 − 2 y − 4 + y = 2 x ∣ \left| \begin{array}{c} 0,5x=2-2y \\-4+y=2x \end{array} \right| ∣ ∣ 0 , 5 x = 2 − 2 y − 4 + y = 2 x ∣ ∣
Zweite Gleichung umstellen:
y = 2 x + 4 y=2x+4 y = 2 x + 4
y y y ersetzen in der ersten Gleichung:
0 , 5 x = 2 − 2 ⋅ ( 2 x + 4 ) 0,5x=2-2\cdot(2x+4) 0 , 5 x = 2 − 2 ⋅ ( 2 x + 4 )
Gleichung lösen:
x = − 4 3 ‾ \underline{x=-\frac{4}{3}} x = − 3 4
Zurückeinsetzen:
y = 2 ⋅ ( − 4 3 ) + 4 y = 4 3 \begin{aligned} y&=2 \cdot (-\frac{4}{3})+4 \\y&=\frac{4}{3} \end{aligned} y y = 2 ⋅ ( − 3 4 ) + 4 = 3 4
Lösung: x = − 4 3 ‾ , y = 4 3 ‾ \underline{x= - \frac{4}{3}}, \underline{y=\frac{4}{3}} x = − 3 4 , y = 3 4
Additionsverfahren Vorgehen 1.
Gleichungen umstellen und sortieren:
Alle Variablen auf die eine Seite
Alle Zahlen ohne Variable auf die andere Seite Tipp: Schreibe die gleichen Variablen untereinander.
2.
Vorfaktoren einer Variable angleichen:
Multipliziere die Gleichungen so, dass der Vorfaktor einer Variable in beiden Gleichungen gleich ist.
3.
Gleichungen subtrahieren:
Subtrahiere gleiche Variablen und Konstanten (eine Variable fällt nun weg)
Notiere die resultierende Gleichung 4.
Löse die erhaltene Gleichung.
5.
Setze die Lösung in eine vorherige Gleichung ein, um die Lösung für die andere Variable zu berechnen.
Tipp: Es ist egal in welche Gleichungen man einsetzt.
Beispiel ∣ 0 , 5 x = 2 − 2 y − 4 + y = 2 x ∣ \left| \begin{array}{c} 0,5x=2-2y \\-4+y=2x \end{array} \right| ∣ ∣ 0 , 5 x = 2 − 2 y − 4 + y = 2 x ∣ ∣
Umstellen:
0 , 5 x + 2 y = 2 − 2 x + y = 4 \begin{aligned} 0,5x+2y&=2 \\-2x+y&=4 \end{aligned} 0 , 5 x + 2 y − 2 x + y = 2 = 4
y angleichen:
− 2 x + y = 4 ∣ ⋅ 2 0 , 5 x + 2 y = 2 − 4 x + 2 y = 8 \begin{aligned} -2x+y&=4 \qquad |\cdot 2 \\\qquad \\0,5x +2y&=2 \\-4x+2y&=8 \end{aligned} − 2 x + y 0 , 5 x + 2 y − 4 x + 2 y = 4 ∣ ⋅ 2 = 2 = 8
Gleichungen subtrahieren:
0 , 5 x − ( − 4 x ) + 2 y − 2 y = 2 − 8 0,5x-(-4x)+2y-2y=2-8 0 , 5 x − ( − 4 x ) + 2 y − 2 y = 2 − 8
Gleichung lösen:
x = − 4 3 ‾ \underline{x=-\frac{4}{3}} x = − 3 4
Zurückeinsetzen:
− 4 + y = 2 ⋅ ( − 4 3 ) y ‾ = 4 3 ‾ \begin{aligned}-4+y&=2\cdot (-\frac{4}{3}) \\\underline{y}&\underline{=\frac{4}{3}}\end{aligned} − 4 + y y = 2 ⋅ ( − 3 4 ) = 3 4
Lösung: x = − 4 3 ‾ , y = 4 3 ‾ \underline{x=-\frac{4}{3}}, \underline{y=\frac{4}{3}} x = − 3 4 , y = 3 4 .
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