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Mathematik

Lineare Gleichungssysteme

Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Erklärvideo

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Lehrperson: Luca

Zusammenfassung

Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Definition

Ein Gleichungssystem (GLS) ist eine Zusammenstellung von mehreren Gleichungen mit einer oder mehreren unterschiedlichen Variablen.

Ziel ist es, die Werte der Variablen zu berechnen, welche die Gleichung erfüllen.



Beispiel

y2x=11+y=x\left| \begin{array}{c} y-2x=1\\1+y=x \end{array}\right|​​



Grafische Lösungsmethode

Lineare Funktionen zeichnen und schneiden

Dieser Lösungsweg ist nur bei mehreren Gleichungen mit zwei Unbekannten möglich.



Vorgehen

1.

Beide Gleichungen nach y auflösen.

2.

Beide Gleichungen jeweils als lineare Funktionen in ein Koordinatensystem einzeichnen:

y=mx+by=mx+b


mmm:

Steigung


bb​:

y-Achsenschnittpunkt

3.

Schnittpunkt der Linien ablesen.

Die Werte (xx  und yy ) des Schnittpunkts sind die Lösung des Gleichungssystems.



Beispiel

y2x=11+y=x\left| \begin{array}{c} y-2x=1 \\1+y=x \end{array} \right|​​


Auflösen nach y:

y=2x+1y=x1\left| \begin{array}{c} y=2x+1 \\ y=x-1 \end{array} \right|​​


Lösung ablesen: ,x=2, y=3\underline{x=-2}, \ \underline{y=-3}​​

Mathematik; Lineare Gleichungssysteme; 8. Klasse Gymnasium; Gleichungssysteme mit zwei Variablen




Schriftliche Lösungsmethode

Je nach Gleichung bietet sich eine der Methoden eher an. Oftmals ist vorgeschrieben, mit welcher Methode man ein Gleichungssystem lösen muss.



Gleichsetzungsverfahren

Vorgehen

1.

Löse beide Gleichungen nach der gleichen Variable auf.

2.

Setze die erhaltenen Terme gleich.

3.

Löse die Gleichung.

4.

Setze die Lösung in eine der vorherigen Gleichungen ein, um die Lösung für andere Variablen zu berechnen.

Tipp: Es ist egal in welche Gleichungen man einsetzt.



Beispiel

y2x=11+y=x\left| \begin{array}{c} y-2x=1 \\1+y=x \end{array} \right|


Auflösen nach yy :

y=1+2xy=x1\left| \begin{array}{c} y=1+2x \\y=x-1 \end{array} \right|​​


Gleichsetzen:

1+2x=x1x=2\begin{aligned} 1+2x &= x-1 \\\underline{x}&\underline{=-2} \end{aligned}​​


Zurückeinsetzen:

y=1+2(2)y=3\begin{aligned} y&=1+2 \cdot (-2) \\\underline{y} & \underline{=-3}\end{aligned}​​


Lösung: x=2,y=3\underline{x=-2}, \underline{y=-3}




Einsetzungsverfahren

Vorgehen

1.

Löse eine der Gleichungen nach einer Variable auf.

2.

Ersetze in der anderen Gleichung die Variable durch den erhaltenen Term.

3.

Löse die erhaltene Gleichung.

4.

Setze die Lösung in die Gleichung von Schritt 1 ein, um die Lösung für die andere Variable zu berechnen.



Beispiel

0,5x=22y4+y=2x\left| \begin{array}{c} 0,5x=2-2y \\-4+y=2x \end{array} \right|


Zweite Gleichung umstellen:

y=2x+4y=2x+4​​

Mathematik; Lineare Gleichungssysteme; 8. Klasse Gymnasium; Gleichungssysteme mit zwei Variablen

yy​ ersetzen in der ersten Gleichung:

0,5x=22(2x+4)0,5x=2-2\cdot(2x+4)​​


Gleichung lösen:

x=43\underline{x=-\frac{4}{3}}​​


Zurückeinsetzen:

y=2(43)+4y=43\begin{aligned} y&=2 \cdot (-\frac{4}{3})+4 \\y&=\frac{4}{3} \end{aligned}​​


Lösung: x=43,y=43\underline{x= - \frac{4}{3}}, \underline{y=\frac{4}{3}}




Additionsverfahren

Vorgehen

1.

Gleichungen umstellen und sortieren:

  • Alle Variablen auf die eine Seite
  • Alle Zahlen ohne Variable auf die andere Seite

Tipp: Schreibe die gleichen Variablen untereinander.

2.

Vorfaktoren einer Variable angleichen:

Multipliziere die Gleichungen so, dass der Vorfaktor einer Variable in beiden Gleichungen gleich ist.

3.

Gleichungen subtrahieren:

  • Subtrahiere gleiche Variablen und Konstanten (eine Variable fällt nun weg)
  • Notiere die resultierende Gleichung

4.

Löse die erhaltene Gleichung.

5.

Setze die Lösung in eine vorherige Gleichung ein, um die Lösung für die andere Variable zu berechnen.

Tipp: Es ist egal in welche Gleichungen man einsetzt.



Beispiel

0,5x=22y4+y=2x\left| \begin{array}{c} 0,5x=2-2y \\-4+y=2x \end{array} \right|


Umstellen:

0,5x+2y=22x+y=4\begin{aligned} 0,5x+2y&=2 \\-2x+y&=4 \end{aligned}​​


y angleichen:

2x+y=420,5x+2y=24x+2y=8\begin{aligned} -2x+y&=4 \qquad |\cdot 2 \\\qquad \\0,5x +2y&=2 \\-4x+2y&=8 \end{aligned}​​


Gleichungen subtrahieren:

0,5x(4x)+2y2y=280,5x-(-4x)+2y-2y=2-8​​


Gleichung lösen:

x=43\underline{x=-\frac{4}{3}}​​


Zurückeinsetzen:

4+y=2(43)y=43\begin{aligned}-4+y&=2\cdot (-\frac{4}{3}) \\\underline{y}&\underline{=\frac{4}{3}}\end{aligned}​​


Lösung:  x=43,y=43\underline{x=-\frac{4}{3}}, \underline{y=\frac{4}{3}}.


Mathematik; Lineare Gleichungssysteme; 8. Klasse Gymnasium; Gleichungssysteme mit zwei Variablen


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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Welche schriftlichen Lösungsverfahren gibt es?

Was ist die grafische Lösungsmethode von Gleichungssystemen mit 2 Variablen?

Was ist ein Gleichungssystem mit 2 Variablen?

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