Satzaufgaben mit quadratischer Funktion lösen

Hintergrund

Bei Satzaufgaben mit quadratischen Funktionen beschreibt die quadratische Funktion einen konkreten Zusammenhang aus der Angabe.

Beispiele

Bei manchen Satzaufgaben ist die quadratische Funktion gegeben, bei anderen muss man diese bestimmen. Auf Basis der quadratischen Funktion muss man Punkte der Funktion bestimmen und in den Zusammenhang übersetzen.

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Vorgehen mit gegebener Funktion

Beispiel

Die Funktion $$f(x)=-0,005x^2+0,6x-10$$ beschreibt einen Brückenbogen. Die Straße bildet die $$x$$​-Achse. Die Werte von $$x$$​ und $$y$$​ sind Distanzen in Metern.

Bestimme:

a) Die Länge der Brücke.

b) Wo die Brücke die maximale Höhe erreicht und wie hoch die Brückenpfeiler dort sind.

Skizze:

Die $$x$$-Achse liegt auf der Straße und beschreibt die Strecke.

Die $$y$$​-Achse steht senkrecht dazu und beschreibt die Höhe über dem Boden.

a) Länge der Brücke = Abstand der Nullstellen der Funktion

Nullstellen: $$0=-0,005x^2+0,6x-10$$

$$\begin{aligned}x_1&=\frac{-0,6+\sqrt{0,6^2-4\cdot (-0,005)\cdot(-10)}}{2\cdot(-0,005)}=20\\x_2&=\frac{-0,6-\sqrt{0,6^2-4\cdot (-0,005)\cdot(-10)}}{2\cdot(-0,005)}=100\end{aligned}$$​​

Die Brücke befindet sich zwischen $$20 m$$​ und $$100 m$$​, ist also $$\underline{80 m}$$​ lang.

b) Maximale Höhe = $$y$$​-Wert des Scheitelpunktes

Scheitelpunkt $$S(x_s|y_s)$$​ bestimmen:

$$x_s$$​- Wert des Scheitelpunktes ist in der Mitte der Nullstellen:

$$x_s=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{20+100}{2}=60$$​​

$$y_s$$​-Wert bestimmen:

$$f(x_s)=-0,005\cdot 60^2+0,6\cdot 60-10=8$$​​

Der Scheitelpunkt ist $$S(60|8)$$​.

Der höchste Punkt liegt bei Meter $$\underline{60 m}$$​ ($$\underline{40 m}$$​ nach Brückenstart).

Der Brückenpfeiler am höchsten Punkt ist $$\underline{8 m }$$ hoch.