Potenzgesetze anwenden mit Beispielen

Schreibweise

$$\underbrace2_{Vorfaktor}\cdot \underbrace {3^4}_{Basis^{Hochzahl}}$$​​

Rechengesetze

Negativer Exponent

Ein negativer Exponent stellt die Basis mit der Hochzahl in den Nenner.

• Die Hochzahl wird dann positiv.
  
• Der Vorfaktor bleibt im Zähler.
  

Beispiele

$$x^{-2}=\frac{1}{x^2}\qquad 9^{-4}=\frac1{9^4}\qquad 2x^{-1}=\frac2 {x^1}$$​​

Addition und Subtraktion

Voraussetzung

Es müssen die gleiche Basis und die gleiche Hochzahl stehen.

$$ax^b+cx^b=(a+c)x^b$$​​

Vorgehen

1. ​Vorfaktoren addieren oder subtrahieren.
2. Basis mit Hochzahl abschreiben.

Beispiele

$$9\cdot 3^6-5\cdot 3^6=\underbrace4_{9-5}\cdot 3^6\\2x^2+x^2=\underbrace 3_{2+1}x^2$$​​

Multiplikation

Gleiche Basis: Exponenten addieren und Basis abschreiben

​$$a^b \cdot a^c =a^{b+c}$$

​​

Beispiele

​$$7^2\cdot 7^3=7^{2+3}=7^5\\x^5 \cdot x^2=x^{5+2}=x^7\\9^3 \cdot 9^5=9^{3+5}=9^8$$​​

Gleiche Hochzahl: Basen multiplizieren und Hochzahl abschreiben

$$a^x \cdot b^x=(a \cdot b )^x$$

​​

Beispiele

​$$9^{10}\cdot 2^{10}=(9\cdot2)^{10}=18^{10} \\4^2 \cdot 5^2=(4 \cdot 5)^2=20^2\\3^x\cdot5^x=(3 \cdot 5)^x=15^x$$​​

Division

Gleiche Basis: Exponenten subtrahieren und Basen abschreiben

$$x^a \div x^b=x^{a-b}$$

​​

Beispiele

$$5^2\div 5^6=5^{2-6}=5^{-4}\\8^5 \div 8^2=8^{5-2}=8^3\\x^{12} \div x^7=x^{12-7}=x^5$$​​

Gleiche Hochzahl: Basen dividieren und Hochzahl abschreiben

$$x^a \div y^a= (x \div y)^a$$

​​

Beispiele

$$12^9\div 4^9=(12\div 4)^9=3^9\\(x+y)^9\div (x+y)^9=((x+y)\div (x+y))^9=1^9=1$$​​

Klammern auflösen

Punktrechnung in der Klammer: Exponenten übertragen und Basen abschreiben

$$(a \cdot b) ^x= a^x \cdot b^x$$

​​

Beispiele

$$(2\cdot 3)^4=2^4\cdot 3^4\\(3ab)^2=3^2\cdot a^2\cdot b^2=9a^2 b^2$$​​

Strichrechnung in der Klammer: Mehrere Klammern multiplizieren, wie bei der Klammermultiplikation und den binomischen Formeln.

Beispiele

​$$(a+b)^2=a^2 + 2ab+ b^2\\(a-b)^2=a^2 -2ab+b^2$$​​