SiSinus und Kosinus im Dreieck: Definition & Werte

Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse

Definition

In einem rechtwinkligen Dreieck mit dem spitzen Winkel $$\alpha$$ haben die Seiten folgende Bezeichnungen:

Hinweis 1: Katheten sind die Dreieckseiten, die am rechten Winkel anliegen.

Hinweis 2: Beachte, dass im rechtwinkligen Dreieck immer der Satz des Pythagoras gilt:

​$$Kathete^2+Kathete^2=Hypothenuse^2$$

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Hinweis 3: Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der nicht rechtwinkligen Winkel $$90\degree$$​, da die Summe aller drei Winkel immer $$180\degree$$​ ergibt.

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Sinus und Kosinus

Definition

Sinus ($$\sin$$​) und Kosinus ($$\cos$$​) beschreiben Zusammenhänge von Seitenverhältnissen und Winkeln eines rechtwinkligen Dreiecks.

Auf Basis von zwei Seitenlängen oder einer Seitenlänge und einem Winkel kann man alle fehlenden Winkel und Seitenlänge eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen.

Sinus

Der Sinus beschreibt das Verhältnis zwischen Gegenkathete, Hypotenuse und dem Eckwinkel:

​$$\sin(\alpha)=\frac{Gegenkathete\,von\,\alpha}{Hypotenuse}$$​​

Arkussinus

Der Arkussinus ($$\sin^{-1}$$​, oder $$arcsin$$​) berechnet für ein gegebenes Verhältnis (Gegenkathete von $$\alpha$$​ zu Hypotenuse) den Winkel $$\alpha$$​.  

$$\sin^{-1}$$​ ist somit die Umkehrfunktion von $$\sin$$​.

​$$\alpha=sin^{-1}(\frac{Gegenkathete\,von\,\alpha}{Hypotenuse})$$​​

Kosinus

Der Kosinus beschreibt das Verhältnis zwischen Ankathete und Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck:

​$$\cos(\alpha)=\frac{Ankathete\,von\,\alpha}{Hypotenuse}$$​​

Arkuskosinus

Der Arkuskosinus ($$\cos^{-1}$$, oder $$arccos$$​) berechnet für ein gegebenes Verhältnis (Ankathete von $$\alpha$$​ zu Hypotenuse) den Winkel $$\alpha$$​.

\alpha zu Hypotenuse) den Winkel 
\alpha

$$\cos^{-1}$$​ ist somit die Umkehrfunktion von $$\cos$$​.

$$\alpha=\cos^{-1}=\frac{Ankathete\,von\,\alpha}{Hypotenuse}$$​​

Beispiel - Berechne die Winkel $$\alpha$$​ und $$\gamma$$​:

Hypotenuse mit dem Satz des Pythagoras:

​$$\sqrt{3^2+4^2}\,cm=5\,cm$$​​

$$\sin(\alpha)$$​ berechnen:

​$$\sin(\alpha)=\frac{Geg}{Hyp}=\frac35$$​​

Den Winkel $$\alpha$$​ mithilfe des Arkussinus berechnen:

​$$\alpha=sin^{-1}(\frac35)=\underline{36{,}9\degree}$$​​

$$\cos(\gamma)$$​ berechnen:

​$$\cos(\gamma)=\frac{An}{Hyp}=\frac35$$​​

Den Winkel $$\gamma$$​ mithilfe des Arkuskosinus berechnen:

​$$\gamma=\cos^{-1}(\frac35)=\underline{53{,}1\degree}$$​​

Hinweis: Man hätte auch anderes vorgehen und zudem die Winkelsumme von $$180\degree$$​ nutzen können.

Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus

Folgende Formeln helfen beim Vereinfachen von Termen und Auflösen von Gleichungen.

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Quadratsumme

​$$\sin⁡(x)^2+\cos⁡(x)^2=1$$​​

Winkelverschiebung

​$$\sin(x)=\cos(90\degree-x)\\\cos(x)=\sin(90\degree-x)\\$$​​

Werte von Sinus und Kosinus

Teils ist verlangt, die Werte von Sinus und Kosinus für bestimmte Winkel zu kennen. Die Folgende Tabelle kann hierbei hilfreich sein: