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Trigonometrie

Sinus und Kosinus im Dreieck: Definition & Werte

Erklärvideo

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Lehrperson: Martin

Zusammenfassung


SiSinus und Kosinus im Dreieck: Definition & Werte

Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse

Definition

In einem rechtwinkligen Dreieck mit dem spitzen Winkel α\alpha haben die Seiten folgende Bezeichnungen:


Ankathete zu

Kathete  anliegend zum Winkel α\alpha

Gegenkathete zu

Kathete aa​ gegenüber vom Winkel α\alpha

Hypotenuse

Seite cc​ gegenüber vom rechten Winkel


Mathematik; Trigonometrie; 9. Klasse Gymnasium; Sinus und Kosinus im Dreieck: Definition & Werte


Hinweis 1: Katheten sind die Dreieckseiten, die am rechten Winkel anliegen.


Hinweis 2Beachte, dass im rechtwinkligen Dreieck immer der Satz des Pythagoras gilt:

Kathete2+Kathete2=Hypothenuse2Kathete^2+Kathete^2=Hypothenuse^2


Hinweis 3: Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der nicht rechtwinkligen Winkel 90°90\degree​, da die Summe aller drei Winkel immer 180°180\degree​ ergibt.



Sinus und Kosinus

Definition

Sinus (sin\sin) und Kosinus (cos\cos) beschreiben Zusammenhänge von Seitenverhältnissen und Winkeln eines rechtwinkligen Dreiecks.


Auf Basis von zwei Seitenlängen oder einer Seitenlänge und einem Winkel kann man alle fehlenden Winkel und Seitenlänge eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen.


Sinus

Der Sinus beschreibt das Verhältnis zwischen Gegenkathete, Hypotenuse und dem Eckwinkel:


sin(α)=Gegenkathete von αHypotenuse\sin(\alpha)=\frac{Gegenkathete\,von\,\alpha}{Hypotenuse}​​


Arkussinus

Der Arkussinus (sin1\sin^{-1}​, oder arcsinarcsin) berechnet für ein gegebenes Verhältnis (Gegenkathete von α\alpha zu Hypotenuse) den Winkel α\alpha 


sin1\sin^{-1}​ ist somit die Umkehrfunktion von sin\sin.

α=sin1(Gegenkathete von αHypotenuse)\alpha=sin^{-1}(\frac{Gegenkathete\,von\,\alpha}{Hypotenuse})​​


Kosinus

Der Kosinus beschreibt das Verhältnis zwischen Ankathete und Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck:

cos(α)=Ankathete von αHypotenuse\cos(\alpha)=\frac{Ankathete\,von\,\alpha}{Hypotenuse}​​


Arkuskosinus

Der Arkuskosinus (cos1\cos^{-1}, oder arccosarccos) berechnet für ein gegebenes Verhältnis (Ankathete von α\alpha zu Hypotenuse) den Winkel α\alpha.



\alpha zu Hypotenuse) den Winkel 

\alpha

cos1\cos^{-1}​ ist somit die Umkehrfunktion von cos\cos.


α=cos1=Ankathete von αHypotenuse\alpha=\cos^{-1}=\frac{Ankathete\,von\,\alpha}{Hypotenuse}​​



Beispiel - Berechne die Winkel α\alpha​ und γ\gamma:

Mathematik; Trigonometrie; 9. Klasse Gymnasium; Sinus und Kosinus im Dreieck: Definition & Werte


Hypotenuse mit dem Satz des Pythagoras:

32+42 cm=5 cm\sqrt{3^2+4^2}\,cm=5\,cm​​

sin(α)\sin(\alpha)​ berechnen:

sin(α)=GegHyp=35\sin(\alpha)=\frac{Geg}{Hyp}=\frac35​​

Den Winkel α\alpha​ mithilfe des Arkussinus berechnen:

α=sin1(35)=36,9°\alpha=sin^{-1}(\frac35)=\underline{36{,}9\degree}​​

cos(γ)\cos(\gamma)​ berechnen:

cos(γ)=AnHyp=35\cos(\gamma)=\frac{An}{Hyp}=\frac35​​

Den Winkel γ\gamma​ mithilfe des Arkuskosinus berechnen:

γ=cos1(35)=53,1°\gamma=\cos^{-1}(\frac35)=\underline{53{,}1\degree}​​

Hinweis: Man hätte auch anderes vorgehen und zudem die Winkelsumme von 180°180\degree​ nutzen können.



Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus

Folgende Formeln helfen beim Vereinfachen von Termen und Auflösen von Gleichungen.


Quadratsumme

sin(x)2+cos(x)2=1\sin⁡(x)^2+\cos⁡(x)^2=1​​


Winkelverschiebung

sin(x)=cos(90°x)cos(x)=sin(90°x)\sin(x)=\cos(90\degree-x)\\\cos(x)=\sin(90\degree-x)\\​​



Werte von Sinus und Kosinus

Teils ist verlangt, die Werte von Sinus und Kosinus für bestimmte Winkel zu kennen. Die Folgende Tabelle kann hierbei hilfreich sein:


Mathematik; Trigonometrie; 9. Klasse Gymnasium; Sinus und Kosinus im Dreieck: Definition & Werte


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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wofür brauche ich Sinus und Kosinus?

Was berechnet man mit dem Sinus?

Was rechnet man mit dem Kosinus aus?

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