Trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus & Tangens

Definition

Bei den Trigonometrischen Funktionen steht die Variable im Argument vom Sinus, Kosinus oder Tangens (mehr Fälle werden hier nicht betrachtet). Sinus-, Kosinus und Tangensfunktionen sind periodische Funktionen, die sich entlang der $$x$$​ -Achse in regelmäßigen Abständen wiederholen.

Am Einheitskreis

Man kann den Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis darstellen: Die Strecke, welche parallel zur $$y$$​-Achse verläuft und vom Punkt $$A$$​ auf der einen Seite und von der $$x$$-Achse auf der anderen Seite begrenzt wird, hat eine Länge von $$\sin(\alpha)$$​. Dabei ist der Punkt $$A$$​ der Schnittpunkt der Geraden, welche durch den Winkel $$\alpha$$​ bestimmt wird mit dem Einheitskreis.

Die Strecke vom Koordinatenursprung bis zum Punkt $$B$$​ hat eine Länge von $$\cos(\alpha)$$​. Der Punkt $$B$$​ wird beschrieben durch den Schnittpunkt der ersten Strecke, welche die Länge $$\sin(\alpha)$$​ hat mit der $$x$$-Achse.

Wenn man nun eine weitere Strecke vom (rechten) Schnittpunkt des Kreises mit der $$x$$​-Achse bis zu dem Punkt, an dem sich diese Strecke mit dem (verlängerten) Winkel $$\alpha$$​ schneidet zeichnet, so hat diese Strecke die Länge $$\tan(\alpha)$$​.

Dies ist auch aus der folgenden Abbildung ersichtlich. Hier wurde es am Beispiel $$\alpha=45\degree$$​dargestellt.

Sinusfunktion

Formel

$$f(x)=\sin(x)$$​

Definitionsbereich $$\mathbb{D}$$​

Es dürfen alle Zahlen für $$x$$​  eingesetzt werden:

$$\mathbb{D}=\mathbb{R}$$​​

Wertebereich

Die Funktionswerte liegen immer zwischen $$-1$$​ und $$1$$​:

$$\mathbb{W}=[-1;1]$$​​

Eigenschaften

• $$\sin(x)$$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung: $$\sin(-x)=-\sin(x)$$.
• $$\sin(x)$$​wiederholt sich mit Periode $$2\pi$$: $$\sin(x+2\pi)=\sin(x)$$

​

Nullstellen

• $$\sin(x)$$ schneidet die $$x$$​ -Achse bei: $$...,(-2\pi|0),(-\pi|0),(0|0),(\pi|0),(2\pi|0),...$$ .
  
• Die Nullstellen von $$\sin(x)$$​ wiederholen sich alle $$\pi$$: $$\sin(x)=0$$​ für $$x=k\cdot\pi$$ mit $$k\in\mathbb{Z}$$.​

Hochpunkte

• $$\sin(x)$$ hat ihre höchsten Punkte bei: $$..., \left(-\frac{3\pi}{2}|1\right),\left(\frac{\pi}{2}|1\right),\left(\frac{5\pi}{2}|1\right),...$$​​
• Die höchsten Punkte wiederholen sich alle $$\sin(x)=1$$​ für $$x=\frac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi$$​ mit $$k\in\mathbb{Z}$$​ 

​

Tiefpunkte

• ​$$\sin(x)$$ hat ihre tiefsten Punkte bei: $$..., \left(-\frac{\pi}{2}|1\right),\left(\frac{3\pi}{2}|1\right),\left(\frac{7\pi}{2}|1\right),...$$​
• Die tiefsten Punkte wiederholen sich alle $$2\pi$$: $$\sin(x)=-1$$ für $$x=\frac32\pi+k\cdot 2\pi$$ mit $$k\in\mathbb{Z}$$
  

​

Darstellung

Wertetabelle für $$y=\sin(x)$$:

Kosinusfunktion

Formel

$$f(x)=\cos(x)$$​​

Definitionsbereich $$\mathbb{D}$$​

Es dürfen alle Zahlen für $$x$$​ eingesetzt werden:

​$$\mathbb{D}=\mathbb{R}$$​​

Wertebereich

Die Funktionswerte liegen immer zwischen $$-1$$​ und $$1$$​:

$$\mathbb{W}=[-1;1]$$​​

Eigenschaften

• ​$$\cos(x)$$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse: $$\cos(-x)=\cos(x)$$​
  
• $$\cos(x)$$ wiederholt sich mit Periode: $$2\pi$$: $$\cos(x+2\pi)=\cos(x)$$​
  

Nullstellen

• $$\cos(x)$$ schneidet die x-Achse bei: $$...,\left(-\frac{3\pi}{2}|0\right),\left(-\frac{\pi}{2}|0\right),\left(\frac{\pi}{2}|0\right),\left(\frac{3\pi}{2}|0\right),...$$​​
• Die Nullstellen wiederholen sich alle $$\pi$$: $$\cos(x)=0$$ für $$x=\frac \pi2+k\cdot \pi$$ mit $$k\in\mathbb{Z}$$​​
  

Hochpunkte

• $$\cos(x)$$​ hat ihre höchsten Punkte bei: $$...,(-2\pi|1),(0|1),(2\pi|1),...$$​
  
• Die höchsten Punkte wiederholen sich alle $$2\pi$$: $$\cos(x)=1$$ für $$x=k\cdot 2\pi$$ mit $$k\in\mathbb{Z}$$

Tiefpunkte 

• $$\cos(x)$$​ hat ihre tiefsten Punkte bei: $$...,(-\pi|-1),(\pi|-1),(3\pi|-1),...$$​
  
• Die tiefsten Punkte wiederholen sich alle $$2\pi$$: $$\cos(x)=-1$$ für $$x=\pi+k\cdot 2\pi$$ mit $$k\in\mathbb{Z}$$​

Darstellung

Wertetabelle für $$f(x)=\cos(x)$$:

Tangensfunktion

Formel

$$f(x)=\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$$​​

Definitionsbereich

Es dürfen alle Zahlen für $$x$$​ eingesetzt werden, für die gilt $$x\neq\frac{\pi}2+k\cdot \pi\,(k\in\mathbb{Z})$$​:

$$\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{\frac\pi2+k\cdot\pi,k\in\mathbb{Z}\}$$​​

Wertebereich $$\mathbb{W}$$​  

Die Funktionswerte $$y$$ können alle Zahlen annehmen:

​$$\mathbb{W}=\mathbb{R}$$​​

Eigenschaften

• $$\tan(x)$$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
  
• $$\tan(x)$$​ wiederholt sich mit Periode $$\pi$$: $$\tan(x+\pi)=\tan(x)$$.

Nullstellen

$$\tan(x)$$ schneidet die $$y$$​-Achse bei: $$...,(-\pi|0),(0|0),(\pi|0),...$$ .

• Die Nullstellen wiederholen sich alle $$\pi$$: $$\tan(x)=0$$ für $$x=k\cdot \pi$$ mit $$k\in\mathbb{Z}$$.

Asymptoten

$$\tan(x)$$ hat sich wiederholende senkrechte Asymptoten alle $$\pi$$​: $$x=\frac\pi2+k\cdot\pi$$ mit $$k\in\mathbb{Z}$$​

Darstellung

Wertetabelle für $$\tan(x)$$: