Bogenmaß aus Gradmaß berechnen: Definition & Formel

Definition

Das Bogenmaß dient dazu, mit einem gegebenen Winkel $$\alpha$$ die Bogenlänge $$x$$, also die zugehörige Länge des Teilstückes, das der Winkel auf der Einheitskreisbahn abdeckt, zu berechnen.

Um von Gradmaß in Bogenmaß umzurechnen, benutzt man folgende Formeln:

Legende:

Anmerkung: Man sagt zum Bogenmaß auch Radiant. Es gilt $$1\,rad = \frac{180\degree}{\pi }\approx 57,296\degree$$ und $$2π\, rad=360°$$.

Hinweis: Die Funktionswerte von Kosinus und Sinus bleiben gleich, unabhängig davon, ob man den jeweiligen Wert in Bogenmaß oder in Gradmaß einsetzt. Es gilt $$cos⁡(x)=cos(α)$$ und $$sin⁡(x)=sin(α)$$, für $$x$$ der Winkel $$\alpha$$ umgerechnet im Bogenmaß.

Beispiel: Wie lang ist das Teilstück auf dem Einheitskreis, wenn der Winkel $$α=32°$$ ist. Was sind die zugehörigen Sinus- und Kosinuswerte?  

Berechnung vom Bogenmaß:

​$$x=\frac{α}{180°}\cdot π=\frac{32°}{180°}\cdot π=\frac{8}{45} π$$​​

Berechnung Sinuswert:

​$$sin⁡(32°)=sin⁡(\frac{8}{45} π)≈\underline{0,53}$$​​

Berechnung Kosinuswert:

​$$cos⁡(32°)=cos⁡(\frac{8}{45} π)≈\underline{0,85}$$​​

Länge von Kreisstücken von allgemeinen Kreisen

Man kann mit ähnlichen Formeln auch die Länge von Kreisstücken bestimmen, wenn man die Größe des jeweiligen Winkels kennt, wenn der Kreis nicht den Radius $$r=1$$​ hat. Dazu verwendet man folgende Formeln:

Hierbei ist $$r$$​ der beliebige Radius des Kreises.