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Trigonometrie

Bogenmaß aus Gradmaß berechnen: Definition & Formel

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Lehrperson: Martin

Zusammenfassung

Bogenmaß aus Gradmaß berechnen: Definition & Formel

Definition

Das Bogenmaß dient dazu, mit einem gegebenen Winkel α\alpha die Bogenlänge xx, also die zugehörige Länge des Teilstückes, das der Winkel auf der Einheitskreisbahn abdeckt, zu berechnen.


Mathematik; Trigonometrische Funktionen; 10. Klasse Gymnasium; Bogenmaß aus Gradmaß berechnen: Definition & Formel


Um von Gradmaß in Bogenmaß umzurechnen, benutzt man folgende Formeln:


x=α180°πx=\frac{\alpha}{180\degree}\cdot \pi​​

α=xπ180°\alpha=\frac{x}{\pi}\cdot180\degree​​

Legende:


xx​​

Bogenmaß; Vielfaches von π\pi

α\alpha​​

Winkel am Einheitskreis, Einheit °\degree


Anmerkung: Man sagt zum Bogenmaß auch Radiant. Es gilt 1 rad=180°π57,296°1\,rad = \frac{180\degree}{\pi }\approx 57,296\degree und 2π rad=360°2π\, rad=360°.


Hinweis: Die Funktionswerte von Kosinus und Sinus bleiben gleich, unabhängig davon, ob man den jeweiligen Wert in Bogenmaß oder in Gradmaß einsetzt. Es gilt cos(x)=cos(α)cos⁡(x)=cos(α) und sin(x)=sin(α)sin⁡(x)=sin(α), für xx der Winkel α\alpha umgerechnet im Bogenmaß.



Beispiel: Wie lang ist das Teilstück auf dem Einheitskreis, wenn der Winkel α=32°α=32° ist. Was sind die zugehörigen Sinus- und Kosinuswerte?  


Berechnung vom Bogenmaß:


x=α180°π=32°180°π=845πx=\frac{α}{180°}\cdot π=\frac{32°}{180°}\cdot π=\frac{8}{45} π​​


Berechnung Sinuswert:


sin(32°)=sin(845π)0,53sin⁡(32°)=sin⁡(\frac{8}{45} π)≈\underline{0,53}​​


Berechnung Kosinuswert:


cos(32°)=cos(845π)0,85cos⁡(32°)=cos⁡(\frac{8}{45} π)≈\underline{0,85}​​


Länge von Kreisstücken von allgemeinen Kreisen


Man kann mit ähnlichen Formeln auch die Länge von Kreisstücken bestimmen, wenn man die Größe des jeweiligen Winkels kennt, wenn der Kreis nicht den Radius r=1r=1​ hat. Dazu verwendet man folgende Formeln:


x=α180°πrx=\frac{\alpha}{180\degree}\cdot \pi \cdot r​​

α=xπr180°\alpha=\frac{x}{\pi \cdot r } \cdot 180\degree​​

Hierbei ist rr​ der beliebige Radius des Kreises.

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie viel sind 90° in Radiant?

Was ist ein Radiant?

Was ist das Bogenmaß?

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